【文章內(nèi)容簡介】 3。0T1vr)p+1vTz(Φky0+Akg4)+z0,z179。0 z0dkT2e 控制下限：4數(shù)值仿真結果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。其中探測器各參數(shù)分別取為：m0=2000kg,g=[]ms2,c=2kms,T1=,T2=13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,600, 800] m，初始速度矢量v0= [30, 10, 40]m/s，傾角qalt=86176。二階錐優(yōu)化問題可以通過大量免費的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進行計算，通過執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質(zhì)量變化曲線。由優(yōu)化結果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現(xiàn)“最大最小最大”的最優(yōu)控制形式，不過為了保持發(fā)動機始終處于點火狀態(tài)，在中間段對應最小推力約束，這與文獻中的分析結論一致。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進行復核計算，也驗證了此計算結果的燃料最優(yōu)性能。*圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)計算結果需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對著陸器的實時在線計算性能提出了較高的要求，經(jīng)測試，無論使用何種優(yōu)化工具，計算給定飛行任務時間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長，這在實際任務中是不允許的。因此，可行的方案是通過在地面計算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關鍵路徑點狀態(tài)存儲到著陸器計算機中，通過在線查表或者在利用對計算量要求較小的反饋制導律完成安全著陸任務。因此，為了研究探測器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。圖 2 各種不同初始速度對應的火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)軌跡簇1)對任意探測器初始位置，特定初始速度對應的燃料最優(yōu)著陸軌跡在末端必然收斂到一個固定的近似圓錐體內(nèi)。2)取決于探測器初始位置和速度的關系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應于期望著陸點位置水平距離較大情況。3)當探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線關于該軸線中心對稱。4)初始速度的大小也直接影響到任務的可靠性，因此需要在超聲速進入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內(nèi)。上述結論對上注探測器關鍵點的選取有著較強的指導意義，比如基于最優(yōu)軌線的斜率對路徑點合并、基于最優(yōu)軌線簇的對稱性對上注軌線進行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點作為路徑點等，這樣可以大大降低探測器自主存儲與計算需求，進而有效提升任務的可靠性。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程對于最終著陸點，假設探測器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中探測器質(zhì)心動力學方程可表示為上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m0為探測器質(zhì)量；k0為制動發(fā)動機比沖；u表示制動發(fā)動機的秒耗量可通過一定的機構加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問題的控制變量。假定制動發(fā)動機的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動推進系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測器停止月面上。重力轉(zhuǎn)彎過程中，探測器的高度、速度和姿態(tài)角度可由雷達高度表、多普勒雷達及慣性儀表測得。令軟著陸初始條件探測器到達月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優(yōu)問題的描述 對于最終著陸段，可假設為一小角度。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡為要設計制導律實現(xiàn)軟著陸，就是使著陸時間對于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問題，其性能指標可表示為對于系統(tǒng)（2）的軟著陸過程，燃耗最優(yōu)問題等價于著陸時間最優(yōu)問題，性能指標為在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中，如果存在一個推力控制程序?qū)⑻綔y器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標（3）或（4）式最大，則稱這個推力程序為軟著陸燃耗最優(yōu)或時間最優(yōu)制導律。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對u的偏導數(shù)為使哈密頓函數(shù)（5）式達到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。如果存在一個有限區(qū)間則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。此時如果最優(yōu)解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。最優(yōu)制導問題的性質(zhì)：1）對于自治系統(tǒng)（2）的時間最優(yōu)控制問題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿足將其對時間求導并將（2c）和（6c）式代入，得另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據(jù)極大值原理，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和共軛變量都是時間的連續(xù)可微函數(shù)，將切換函數(shù)對時間求導，利用（2），（6）式和性質(zhì)2）得 軟著陸最優(yōu)控制中奇異條件的分析對于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸問題，最優(yōu)制導律具有兩個很好的性質(zhì)。定理一。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導或時間最優(yōu)制導問題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設存在奇異條件，則在某個閉區(qū)間設，并由（5）式得。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對時間求導，并將（2）和（6）式代入化簡得性質(zhì)2），下面證明這兩種情形均與反證假設矛盾。根據(jù)式及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有根據(jù)是時間t的斜率非零的線性函數(shù)，）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。這與反證假設矛盾。下面再分三種情況進行分析。又因為不與此時由（6b）式有反證假設矛盾。2）若盾。3），與反證假設矛又因為因此有成立，這與此時（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導律是一種開關（BangBang）控制，只須控制發(fā)動機開關，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。，其開關控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進行一次切換。證明。只要證明最多只在一個時間點成立即可。軟著陸系統(tǒng)（2）在最優(yōu)推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴格單調(diào)，因而在上至多有一個零點，即至多進行一次切換；若，則上為常數(shù)。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開關制導律不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒有切換點。對于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個關于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達式。為實現(xiàn)實時制導，需求出關于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來。根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關；3）先開有關；4）先關后開。對于方式1）軟著陸起始點即是開機點；方式2），3）不能實現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測器先做無制動下降，然后打開發(fā)動機軟著陸到月面。設開機時刻為到發(fā)動機工作時間為式，在區(qū)間內(nèi)積分，并考慮將（11）式中的對數(shù)按泰勒展開，忽略并令消掉T得到切換函數(shù)為由切換函數(shù)（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動發(fā)動機推動的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達月面時實現(xiàn)軟著陸設置為離月面還有幾米時實現(xiàn)軟著陸。另一種方法是考慮制動過程由一個主發(fā)動機和一組小推力發(fā)動機共同完成，通過調(diào)整開啟的小發(fā)動機的數(shù)量，來實現(xiàn)變推力降落。具體地，令切換函數(shù)為式中各符號的含義如圖2所示關機點可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度取為其中T如（12）式中所示，m0為探測器的初始質(zhì)量。圖三為最優(yōu)著陸過程與其改進方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過程的對比圖。由此圖中可看出，改進方法提高了著陸的安全性，當探測器的初始質(zhì)量mo=350kg。時，改進方法比最優(yōu)（a）（b）問題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對于如下非線性函數(shù)關系y=f(x1,x2LLxn)（1）可以使用一階泰勒級數(shù)展開對其進行線性化，有y+Dy=f+182。f182。fDx1+L+Dxn+O(x1Lxn)（2）182。x1182。xn其中，O(x1LLxn)為x1LLxn的高階項。從而得到線性化方程dy=S182。fdxi（3）i=1182。xin或表示為dY=PdX(4)這里 P 是偏導數(shù)矩陣: Pi=182。f（5）182。xi若自變量dx1LLdxn是隨機變量，則線性化方程的函數(shù)dy的協(xié)方差矩陣為：EdYdYT=EPdXdXTPT=PEdXdXTPT(6)即 ()()()Cy=PCXPT(7)式中Cx是自變量的協(xié)方差矩陣；Cy是函數(shù)dY的協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣中對角線元素是方差，非對角線元素為協(xié)方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關系。若給定各種源誤差，如發(fā)動機安裝誤差、敏感器測量誤差或發(fā)動機推力和點火時間等誤差時，便可以分析其對目標軌道誤差的影響以及對控制系統(tǒng)精度的影響，進一步對各系統(tǒng)及元部件提出適當?shù)木纫?。計算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對于軌道參數(shù)的標稱值是小量，因此可以將軌道運動方程進行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關系的誤差方程。在應用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時，對軌道運動產(chǎn)生攝動影響的各項，如月球引力攝動、太陽引力攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動等對誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：vvamp。=Dv236。Drv239。182。gvv（8）237。Dvamp。=vDr239。182。rT238。uvvr，其中u197。為地球引力常數(shù)。式中 g(r)=197。3rr=rx2+ry2+rz2（9）寫成狀態(tài)方程形式：vvamp。246。230。0I246。230。Dr230。Dr246。231。247。231。247。231。=vv247。(10)231。Dv247。231。G0247。231。Dv247。amp。248。232。248。232。248。232。v182。g式中 G=vT182。rv230。0I246。230。Dr246。令F=231。v247。231。G0247。247。,X=231。231。Dv247。（11）232。248。232。248。則式（9）變?yōu)閍mp。=FX(12)X下面推導矩陣 F 的表達式：v182。g182。230。uv246。G=vT=vT231。3r247。182。r182。r232。r248。vv182。230。u197。246。230。u197。246。182。r=rvT231。3247。+231。3247。vT182。r232。r248。232。r248。182。rv233。182。230。u197。246。182。230。u197。246。182。230。u197。246。249。