【正文】 變?yōu)閍mp。（11）232。247。令F=231。rv230。248。248。G0247。=vv247。247。230。3rr=rx2+ry2+rz2（9）寫成狀態(tài)方程形式：vvamp。rT238。gvv（8）237。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：vvamp。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關(guān)系。xin或表示為dY=PdX(4)這里 P 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣: Pi=182。x1182。由此圖中可看出，改進(jìn)方法提高了著陸的安全性，當(dāng)探測器的初始質(zhì)量mo=350kg。另一種方法是考慮制動過程由一個主發(fā)動機(jī)和一組小推力發(fā)動機(jī)共同完成，通過調(diào)整開啟的小發(fā)動機(jī)的數(shù)量，來實現(xiàn)變推力降落。根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關(guān)；3）先開有關(guān)；4）先關(guān)后開。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴(yán)格單調(diào)，因而在上至多有一個零點，即至多進(jìn)行一次切換；若，則上為常數(shù)。證明。又因為不與此時由（6b）式有反證假設(shè)矛盾。根據(jù)式及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有根據(jù)是時間t的斜率非零的線性函數(shù)，）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導(dǎo)或時間最優(yōu)制導(dǎo)問題不存在奇異條件。此時如果最優(yōu)解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。軟著陸燃耗最優(yōu)問題的描述 對于最終著陸段，可假設(shè)為一小角度。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中探測器質(zhì)心動力學(xué)方程可表示為上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m0為探測器質(zhì)量；k0為制動發(fā)動機(jī)比沖；u表示制動發(fā)動機(jī)的秒耗量可通過一定的機(jī)構(gòu)加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問題的控制變量。3)當(dāng)探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線關(guān)于該軸線中心對稱。因此，可行的方案是通過在地面計算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關(guān)鍵路徑點狀態(tài)存儲到著陸器計算機(jī)中，通過在線查表或者在利用對計算量要求較小的反饋制導(dǎo)律完成安全著陸任務(wù)。由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗證了下降傾角約束的有效性。其中探測器各參數(shù)分別取為：m0=2000kg,g=[]ms2,c=2kms,T1=,T2=13kN.。rkp 控制上限:(vzΨk+TT[TTv0]T163。R，線性約束參數(shù)D206。000000Y=Fy0+Yp+Lg4分別定義如下常值矩陣：最終可得離散化后的燃料最優(yōu)化問題如下： 指標(biāo)函數(shù)：式(9)可表示為邊界條件：式(3)可表示為控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為狀態(tài)約束：式(5)和式(12)分別可表示為含有 p個線性約束和 q個二階錐約束的最優(yōu)化問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 指標(biāo)函數(shù)min(lTx)滿足約束DTx+f179。234。234。ML32B000234。234。233。235。A234。M234。234。2234。234。Y0249。235。1235。1235。235。n234。MM234。234。234。=234。 ,p=234。234。234。234。234。233。有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個控制時域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿足 y3=Ay2+B(p2+g4)=A3y0+A2B(p0+g4)+AB(p1+g4)+B(p2+g4)Myn=Ayn1+B(pn1+g4)=Any0+An1B(p0+g4)+L+AB(pn2+g4)+B(pn1+g4)y1=Ay0+B(p0+g4)y2=Ay1+B(p1+g4)=A2y0+AB(p0+g4)+B(pn2+g4)+B(p1+g4)為表達(dá)方便，令233。4分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣12A=eDtAc187。c=[tanqaltT000000] 等效燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化首先將整個飛行時間均分成 n 段（對應(yīng) n +1 個點），每段步長為Dt，離散化后的著陸器運動方程為：yk+1=Ayk+B(pk+g4)其中A206。S=234。d163。d],g4=[gTTD0]Tt指標(biāo)函數(shù)：min242。=Acy+Bc(p+g4)（8）d235。7*7234。234。I0233。vmin242。m(t)dtt0f設(shè)計主減速段制導(dǎo)控制律 2動力下降段燃料最優(yōu)精確著陸問題描述 燃料最優(yōu)精確著陸問題著陸器運動方程：考慮采用變推力發(fā)動機(jī)情況，有r=v.v=g+a(1)a=Tmm=aT..其中r=[rhrxry]T，v=[vhvxvy]T分別表示著陸器相對期望著陸點的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對應(yīng)控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認(rèn)為是常值；m為著陸器質(zhì)量，對應(yīng)推力器質(zhì)量排除系數(shù)a。根據(jù)動力下降段的起點位置可以確定動力學(xué)方程初始條件,由于起點處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點,故其初始條件為: r0=rpq0=0v0=0 w0=1rpmrp(2ra)ra+rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點半徑和遠(yuǎn)地點半徑。由于月球表面附近沒有大氣,所以在飛行器的動力學(xué)模型中沒有大氣阻力項。162。)=0 (9) 將(8)、(9)兩式聯(lián)立得a2b2y2+a4x2 (10) y162。=2 (8)by將(7)式再次對x求導(dǎo)得2a2+2b2(y162。眾所周知,太陽系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽進(jìn)行公轉(zhuǎn),太陽位于橢圓的一個焦點上,行星的運動遵循開普勒三定律,筆者發(fā)現(xiàn),在各類物理競賽中,常會涉及到天體運動速度的計算,本文擬從能量和行星運動的軌跡方程兩個不同的角度來探索行星在近日點和遠(yuǎn)日點的速度。t(T22x+Ty2)=7500Nv2=2at180。m242。a247。R0== R0+R1利用能量平衡式求得近地點速度為2180。 231。r0 R0=r1+r2 其中v1：遠(yuǎn)月點速度v2：近月點速度R0：遠(yuǎn)月點月心距R1：近月點月心距（已知月球的半徑為1738千米）R0=1738+100=1838kmR1=1738+15=1753km 在t1時刻處v2= k=2m230。= 231。三、符號說明四、模型假設(shè)對于問題一：忽略月球的自傳和太陽、地球?qū)︽隙鹑栃l(wèi)星的引力攝動 月球近似為一個質(zhì)量均勻的標(biāo)準(zhǔn)球體 將嫦娥三號是為一個質(zhì)點主減速忽略動作調(diào)整所產(chǎn)生的燃料消耗段不考慮太陽風(fēng)的影響五、模型建立與求解 解法一： 假設(shè)嫦娥三號在t時刻在遠(yuǎn)月點開始緩慢下降，在n時刻到達(dá)近月點，整個過程遵循開普勒第三定律，即v0=0在t時刻有：v1=2m230。根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。之后，嫦娥三號在反推火箭的作用下繼續(xù)慢慢下降，直到離月面4米高時再度懸停。海拔為2641m。嫦娥三號如何實現(xiàn)軟著陸以及能否成功成為外界關(guān)注焦點。本文分別對所提出的最終著陸段導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真以驗證個方法的可行性。再次，提出一種李雅普諾夫函數(shù)障礙規(guī)避制導(dǎo)方法。該方法根據(jù)著陸區(qū)內(nèi)障礙成像的特點，通過匹配相應(yīng)的陰影區(qū)與光照區(qū)完成對巖石、彈坑的檢測，利用圖像灰度方差對粗糙區(qū)域進(jìn)行提?。涸跈z測出故障信息的基礎(chǔ)上，選取安全著陸點以保證軟著陸任務(wù)的成功。教師針對學(xué)生模擬競賽中暴露出來的數(shù)學(xué)知識及論文寫作方面的薄弱環(huán)節(jié)，有重點地進(jìn)行訓(xùn)練和強(qiáng)化。使同學(xué)們在經(jīng)過“學(xué)模型”到“應(yīng)用模型”再到“創(chuàng)造模型”的遞進(jìn)階梯式訓(xùn)練后建模能力得到不斷提高。②要求同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)和掌握全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會最新制定的論文格式要求且多閱讀科技文獻(xiàn)。論文結(jié)構(gòu)，寫作特點和要求。③線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題（建模競賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現(xiàn)）。建模與計算是數(shù)學(xué)模型的兩大核心，當(dāng)模型建立后，計算就成為解決問題的關(guān)鍵要素，而算法好壞將直接影響運算速度的快慢及答案的優(yōu)劣。但一般來說，建模主要涉及兩個方面：第一，將實際問題轉(zhuǎn)化為理論模型；第二，對理論模型進(jìn)行計算和分析。在培訓(xùn)過程中我們首先要使學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)建模競賽的意義及競賽規(guī)則，學(xué)生只有在充分了解數(shù)學(xué)建模競賽的意義及規(guī)則的前提下才能明確參加數(shù)學(xué)建模競賽的目的；其次引導(dǎo)學(xué)生通過各種方法掌握建模必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識（如初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)等），向?qū)W生主要傳授數(shù)學(xué)建模中常用的但學(xué)生尚未學(xué)過的方法，如圖論方法、優(yōu)化中若干方法、概率統(tǒng)計以及運籌學(xué)等方法。面向全國高等院校、不分專業(yè)、每年一屆的通訊競賽，比賽時間一般為每年9月的第四個周末。從1992年開始由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會（CSIAM）舉辦我國自己的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。一、數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)工作的培訓(xùn)內(nèi)容建?；A(chǔ)知識、常用工具軟件的使用。數(shù)學(xué)建模是一項非常具有創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性的活動，不可能用一些條條框框規(guī)定出各種模型如何具體建立。常用算法的設(shè)計。②蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過計算機(jī)仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法，通常使用Mathematica、Matlab軟件實現(xiàn)）。⑥圖象處理算法（賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進(jìn)行處理）。為了使學(xué)生較好地掌握競賽論文的撰寫要領(lǐng)，我們的做法是：①通過對歷屆建模競賽的優(yōu)秀論文進(jìn)行剖析，總結(jié)出建模論文的一般結(jié)構(gòu)及寫作要點，讓學(xué)生去學(xué)習(xí)體會和摸索。在培訓(xùn)班上，我們讓學(xué)生以3人一組的形式針對建模案例就如何進(jìn)行分析處理、如何提出合理假設(shè)、如何建模型及如何求解等進(jìn)行研究與討論，并安排讀書報告。為了檢測培訓(xùn)的效果，一般我們都要按競賽的題型要求出一題是連續(xù)型、另一題是離散型組織一二次模擬競賽，要求各組學(xué)生在三天內(nèi)獨立完成模型的建立、求解與論文寫作，并就自己的論文作報告，讓學(xué)生在實踐中提高自己的建模能力、臨場應(yīng)變能力和組織協(xié)調(diào)能力。本文針對最終著陸段安全、精確的需求，對月球軟著陸導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行較深入研究，主要內(nèi)容包括：首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測方法。為了消除測量噪聲帶來的干擾，利用擴(kuò)展Kalman濾波理論設(shè)計了導(dǎo)航濾波器。該方法采用標(biāo)稱控制與閉環(huán)控制相結(jié)合的方式，規(guī)劃標(biāo)稱軌跡以保證著陸器到達(dá)著陸點時其下降速度、加速度亦為零，設(shè)計閉環(huán)控制器產(chǎn)生附加控制量消除初始偏差、著陸器質(zhì)量變化的干擾，以保證著陸器沿標(biāo)稱軌跡到達(dá)著陸點。根據(jù)計劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實施軟著陸。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)，在給定主減速發(fā)動機(jī)的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機(jī)的脈沖組合實現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。在距月面100米