【正文】 假設(shè)，或重新建模，不斷完善。競(jìng)賽的內(nèi)容：競(jìng)賽題目一般來(lái)源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過(guò)適當(dāng)簡(jiǎn)化加工的實(shí)際問(wèn)題，不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專門(mén)知識(shí)，只需要學(xué)過(guò)普通高校的數(shù)學(xué)課程。我國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是由教育部高教司和中國(guó)工業(yè)與數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)主辦、面向全國(guó)高等院校的、每年一屆的通訊競(jìng)賽。180。180。180。180。180。180。180。104S2=180。180。180。180。180。180。180。180。驗(yàn)證該假設(shè)條件的方法有兩種： 擴(kuò)大輸入誤差仿真法和復(fù)合仿真法，這里略去其驗(yàn)證過(guò)程。具體運(yùn)行過(guò)程如下：第一步：將傳感器誤差設(shè)置為零，初始狀態(tài)設(shè)置為標(biāo)準(zhǔn)值，運(yùn)行模擬程序。 誤差分析系統(tǒng)建立誤差分析系統(tǒng)框圖如圖 1 所示，下面將對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。 傳感器誤差模型由于只研究誤差對(duì)制導(dǎo)律的影響，所以這里假設(shè)需要測(cè)量的量均可由導(dǎo)航系統(tǒng)直接測(cè)得，誤差大小均考慮為典型誤差值。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由運(yùn)載火箭的發(fā)射入軌精度決定，若探測(cè)器在飛行途中進(jìn)行軌道修正，則經(jīng)過(guò)軌道修正以后的軌道位置誤差將由導(dǎo)航誤差決定，速度誤差將由姿態(tài)誤差和制導(dǎo)誤差決定。i!247。01rxryr520003u197。3u197。0234。232。ry247。則G=u197。182。3247。u197。u197。r232。u197。r182。則式（9）變?yōu)閍mp。247。rv230。248。=vv247。230。rT238。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：vvamp。xin或表示為dY=PdX(4)這里 P 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣: Pi=182。由此圖中可看出，改進(jìn)方法提高了著陸的安全性，當(dāng)探測(cè)器的初始質(zhì)量mo=350kg。根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒(méi)有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過(guò)程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開(kāi)；2）全關(guān)；3）先開(kāi)有關(guān)；4）先關(guān)后開(kāi)。證明。根據(jù)式及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有根據(jù)是時(shí)間t的斜率非零的線性函數(shù)，）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。此時(shí)如果最優(yōu)解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過(guò)程中探測(cè)器質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程可表示為上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m0為探測(cè)器質(zhì)量；k0為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；u表示制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的秒耗量可通過(guò)一定的機(jī)構(gòu)加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問(wèn)題的控制變量。因此，可行的方案是通過(guò)在地面計(jì)算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關(guān)鍵路徑點(diǎn)狀態(tài)存儲(chǔ)到著陸器計(jì)算機(jī)中，通過(guò)在線查表或者在利用對(duì)計(jì)算量要求較小的反饋制導(dǎo)律完成安全著陸任務(wù)。其中探測(cè)器各參數(shù)分別取為：m0=2000kg,g=[]ms2,c=2kms,T1=,T2=13kN.。R，線性約束參數(shù)D206。M2234。234。235。M234。2234。235。1235。nMM234。234。 ,p=234。234。234。有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個(gè)控制時(shí)域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿足 y3=Ay2+B(p2+g4)=A3y0+A2B(p0+g4)+AB(p1+g4)+B(p2+g4)Myn=Ayn1+B(pn1+g4)=Any0+An1B(p0+g4)+L+AB(pn2+g4)+B(pn1+g4)y1=Ay0+B(p0+g4)y2=Ay1+B(p1+g4)=A2y0+AB(p0+g4)+B(pn2+g4)+B(p1+g4)為表達(dá)方便，令233。c=[tanqaltT000000] 等效燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題的離散化首先將整個(gè)飛行時(shí)間均分成 n 段（對(duì)應(yīng) n +1 個(gè)點(diǎn)），每段步長(zhǎng)為Dt，離散化后的著陸器運(yùn)動(dòng)方程為：yk+1=Ayk+B(pk+g4)其中A206。d163。=Acy+Bc(p+g4)（8）d235。7*7234。234。233。min242。根據(jù)動(dòng)力下降段的起點(diǎn)位置可以確定動(dòng)力學(xué)方程初始條件,由于起點(diǎn)處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn),故其初始條件為: r0=rpq0=0v0=0 w0=1rpmrp(2ra)ra+rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點(diǎn)半徑和遠(yuǎn)地點(diǎn)半徑。162。=2 (8)by將(7)式再次對(duì)x求導(dǎo)得2a2+2b2(y162。t(T22x+Ty2)=7500Nv2=2at180。a247。 231。= 231。根據(jù)上述的基本要求，請(qǐng)你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問(wèn)題：（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方向。海拔為2641m。本文分別對(duì)所提出的最終著陸段導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真以驗(yàn)證個(gè)方法的可行性。該方法根據(jù)著陸區(qū)內(nèi)障礙成像的特點(diǎn)，通過(guò)匹配相應(yīng)的陰影區(qū)與光照區(qū)完成對(duì)巖石、彈坑的檢測(cè)，利用圖像灰度方差對(duì)粗糙區(qū)域進(jìn)行提取：在檢測(cè)出故障信息的基礎(chǔ)上，選取安全著陸點(diǎn)以保證軟著陸任務(wù)的成功。使同學(xué)們?cè)诮?jīng)過(guò)“學(xué)模型”到“應(yīng)用模型”再到“創(chuàng)造模型”的遞進(jìn)階梯式訓(xùn)練后建模能力得到不斷提高。論文結(jié)構(gòu)，寫(xiě)作特點(diǎn)和要求。建模與計(jì)算是數(shù)學(xué)模型的兩大核心，當(dāng)模型建立后，計(jì)算就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵要素，而算法好壞將直接影響運(yùn)算速度的快慢及答案的優(yōu)劣。在培訓(xùn)過(guò)程中我們首先要使學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的意義及競(jìng)賽規(guī)則，學(xué)生只有在充分了解數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的意義及規(guī)則的前提下才能明確參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的目的；其次引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)各種方法掌握建模必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)（如初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)等），向?qū)W生主要傳授數(shù)學(xué)建模中常用的但學(xué)生尚未學(xué)過(guò)的方法，如圖論方法、優(yōu)化中若干方法、概率統(tǒng)計(jì)以及運(yùn)籌學(xué)等方法。從1992年開(kāi)始由教育部高教司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（CSIAM）舉辦我國(guó)自己的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)非常具有創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性的活動(dòng)，不可能用一些條條框框規(guī)定出各種模型如何具體建立。②蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)解決問(wèn)題的算法，同時(shí)可以通過(guò)模擬可以來(lái)檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法，通常使用Mathematica、Matlab軟件實(shí)現(xiàn)）。為了使學(xué)生較好地掌握競(jìng)賽論文的撰寫(xiě)要領(lǐng)，我們的做法是：①通過(guò)對(duì)歷屆建模競(jìng)賽的優(yōu)秀論文進(jìn)行剖析，總結(jié)出建模論文的一般結(jié)構(gòu)及寫(xiě)作要點(diǎn)，讓學(xué)生去學(xué)習(xí)體會(huì)和摸索。為了檢測(cè)培訓(xùn)的效果，一般我們都要按競(jìng)賽的題型要求出一題是連續(xù)型、另一題是離散型組織一二次模擬競(jìng)賽，要求各組學(xué)生在三天內(nèi)獨(dú)立完成模型的建立、求解與論文寫(xiě)作，并就自己的論文作報(bào)告，讓學(xué)生在實(shí)踐中提高自己的建模能力、臨場(chǎng)應(yīng)變能力和組織協(xié)調(diào)能力。為了消除測(cè)量噪聲帶來(lái)的干擾，利用擴(kuò)展Kalman濾波理論設(shè)計(jì)了導(dǎo)航濾波器。根據(jù)計(jì)劃，嫦娥三號(hào)將在北京時(shí)間12月14號(hào)在月球表面實(shí)施軟著陸。在距月面100米處時(shí)，嫦娥三號(hào)要進(jìn)行短暫的懸停，掃描月面地形，避開(kāi)障礙物，尋找著陸點(diǎn)。二、問(wèn)題分析對(duì)于問(wèn)題一：嫦娥三號(hào)從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過(guò)程中不考慮月球表面太陽(yáng)風(fēng)的影響，忽略月球的自轉(zhuǎn)速度引起的科氏力的影響，由于下降時(shí)間比較短也不考慮太陽(yáng)、地球?qū)︽隙鹑?hào)的攝動(dòng)影響，所以此時(shí)假設(shè)在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因?yàn)榻德錅p速時(shí)間比較短只有垂直于月面的方向運(yùn)動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)，所以在確定著陸點(diǎn)位置和著陸軌跡時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮燃料最優(yōu)情況下推力最大，方向自由的方法即取F=7500N建立主減速段動(dòng)力學(xué)模型。R0+R1248。248。231。解法2:軌跡方程法。162。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對(duì)動(dòng)力下降段這一階段。優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過(guò)程中燃料消耗最少,即J=242。tanqalt（6）u=a=TDm（7）d=Tmz=lnmDD等效著陸器運(yùn)動(dòng)方程： y=234。+234。zu+g249。0100000249。R7180。p0249。p1F2234。4(n+1)180。7233。234。Y3n1234。L0249。1234。AB+B234。OOO0235。v182。本文選用 SDPT3 進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時(shí)間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測(cè)器質(zhì)量變化曲線。2)取決于探測(cè)器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對(duì)應(yīng)于期望著陸點(diǎn)位置水平距離較大情況。令軟著陸初始條件探測(cè)器到達(dá)月面時(shí)速度減小到給定的值，故終端條件自由。定理一。下面再分三種情況進(jìn)行分析。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。一種方法是將終端高度從到達(dá)月面時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸。fDx1+L+Dxn+O(x1Lxn)（2）182。協(xié)方差矩陣中對(duì)角線元素是方差，非對(duì)角線元素為協(xié)方差。182。式中 g(r)=197。231。231。232。Dr246。Dv247。230。vv182。r=rvT231。r248。230。230。231。r248。235。rx246。231。ryrz247。02234。234。(13)32rr3u197。（16）Fi.()i!i=0FDt取前 6 階截?cái)?，即：eFDt230。248。表 1 初始軌道位置和速度誤差對(duì)軌道終點(diǎn)誤差的影響圖 1 軌道位置總誤差時(shí)間歷程（3σ）圖 2 速度總誤差時(shí)間歷程（3σ）基于敏感系數(shù)矩陣的制導(dǎo)誤差分析在月球軟著陸主制動(dòng)段，影響制導(dǎo)精度的誤差源主要有偏離標(biāo)準(zhǔn)飛行軌跡的初始條件誤差和導(dǎo)航與控制傳感器誤差。YZUVWA]Tq=(8)那么，單個(gè)測(cè)量量的估計(jì)誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個(gè)元素qj 來(lái)表示。217。第三步： 將第二步運(yùn)行的系統(tǒng)輸出和標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行的系統(tǒng)輸出進(jìn)行比較即可確定各誤差源的影響。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。101S3=180。180。180。180。180。可以說(shuō)：數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為全國(guó)高校規(guī)模最大課外科技活動(dòng)。競(jìng)賽評(píng)獎(jiǎng)以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問(wèn)題。預(yù)報(bào)與決策： 生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)報(bào)、氣象預(yù)報(bào)、人口預(yù)報(bào)、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)預(yù)報(bào)等等，都要有預(yù)報(bào)模型。競(jìng)賽分本科、?？苾山M進(jìn)行，本科生參加本科組競(jìng)賽，?？粕鷧⒓訉？平M競(jìng)賽（也可參加本科組競(jìng)賽），研究生不得參加。不過(guò)這并不要緊，我們是勇敢者，既然已經(jīng)選擇了挑戰(zhàn)，無(wú)論多艱難都要堅(jiān)持下去，絕不退縮，在紛繁復(fù)雜的題目中尋找規(guī)律，運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)工具加以解決，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行有效的分類，并逐個(gè)擊破。競(jìng)賽中的合作是一種藝術(shù)，只有大家不斷的磨合，才能使合作達(dá)到默契的程度。同學(xué)可以向本校教務(wù)部門(mén)咨詢。報(bào)名須知：需2張1寸免冠照。由老師給與學(xué)生講解數(shù)學(xué)建模及其數(shù)學(xué)的一些專業(yè)本質(zhì)的知識(shí)，如果說(shuō)一期培訓(xùn)是讓同學(xué)了解數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)知識(shí)，那么暑假的集訓(xùn)就是真槍真刀的剛。我們力爭(zhēng)在本次大賽中取得