【文章內(nèi)容簡介】 yx）歲，根據(jù)題意列方程得y+y+（yx）=50+（yx）,解得y=25,所以哥哥今年25歲． 方法二：設(shè)a表示當(dāng)?shù)艿芎透绺缒挲g一樣時(shí)增加的歲數(shù)，其實(shí)就是哥哥比弟弟大的歲數(shù)． Page 12 of 17 弟弟 | |a |哥哥 | | a | 爸爸 | |a | 設(shè)經(jīng)過了a年，當(dāng)?shù)艿芎透绺绲哪挲g一樣時(shí)，他們的年齡和就相當(dāng)于兩個(gè)哥哥實(shí)際的歲數(shù)再加上a歲．爸爸的歲數(shù)就是實(shí)際的歲數(shù)加上a歲，抵消a歲．也就是兩個(gè)哥哥的年齡等于爸爸的年齡．爸爸的年齡是50歲，哥哥的年齡就是25歲．【鞏固】 今年父親的年齡是48歲，哥哥的年齡是弟弟的2倍．當(dāng)?shù)艿荛L到哥哥現(xiàn)在的年齡時(shí)，父親的年齡恰好等于兄弟倆年齡之和．請問：今年哥哥多少歲？【解析】 今年弟弟的年齡為：48184。(2+1+1+11)=12（歲），所以今年哥哥的年齡為12180。2=24（歲）．【例 21】 1年前父母的年齡和是兄弟二人年齡和的7倍；4年后，父母的年齡和是兄弟二人年齡和的4倍。已知爸爸比媽媽大2歲，媽媽今年幾歲？【解析】 將父母看成一個(gè)人，年齡每年增加2歲，兄弟看成一個(gè)人每年增加2歲，設(shè)父母1年前年齡和是7份，那么1年前兄弟二人的年齡就是1份，后來過了1+4=5年，兄弟年齡是1份加10，4倍就是4份加40，父母年齡是7份加10，所以1份就是(4010)184。(73)=10，所以1年前父母和是70，媽媽年齡(702)184。2=34，媽媽今年35歲。【鞏固】 梁老師問陳老師有多少子女，她說：“現(xiàn)在我和愛人的年齡和是子女年齡和的6倍；兩年前，我們的年齡和是子女年齡和的10倍；六年后，我們的年齡和是子女年齡和的3倍．”問陳老師有多少子女．【解析】 2年前，年齡差是子女年齡和的101=9倍；今年，年齡差是子女年齡和的61=5倍；6年后，年齡差是子女年齡和的31=2倍．這個(gè)時(shí)候可以看到這個(gè)題中的年齡差不是一定的，否則年齡差是9，5，2倍數(shù)，至少是90，這是不合常理的，也就是說子女個(gè)數(shù)不會是2個(gè)．最好的方法就是先假設(shè)陳老師有1個(gè)子女，很快就會得到矛盾，最后可以算出陳老師是3個(gè)子女．【例 22】(北京市“迎春杯”選題)⑴今年，父親年齡是女兒年齡的4倍，三年前父女年齡之和是49歲，問父親現(xiàn)在 歲？女兒現(xiàn)在 歲? ⑵媽媽今年40歲，恰好是小紅年齡的4倍； 年后媽媽的年齡是小紅的2倍? ⑶陳老師今年34歲，她的學(xué)生小光、小亮、小聰?shù)哪挲g分別是11歲． 年后，這三個(gè)學(xué)生年齡的和才同陳老師的年齡相等? 【解析】 ⑴三年前父女之和是49歲，現(xiàn)在父女年齡和是49+3180。2=55歲女兒：55184。(1+4)=11，爸爸：11180。4=44⑵184。4=30(歲)，媽媽年齡是30184。(21)180。2=60(歲)?6040=20(年)⑶小光、小亮、小聰?shù)哪挲g和比陳老師的年齡小3491011=4(歲)每過一年，陳老師增1歲，而三個(gè)學(xué)生共增1180。3=3(歲)，增長的歲數(shù)差為31=2(歲)．幾年后，老師年齡和她的三個(gè)學(xué)生年齡和相等呢?4247。2=2(年)綜合算式：(3491011)184。(31)=2(年)Page 13 of 17【鞏固】 三個(gè)人的年齡和是75歲，最大的人比其它兩個(gè)人的年齡和還要大15歲，最小的人是12歲，問三個(gè)人的年齡各是多少？【解析】 已知“最大的人比其它兩個(gè)人的年齡和還要大15歲”，把“其它兩個(gè)人的年齡和”看成一個(gè)數(shù)，還知道三個(gè)人年齡和是75歲，這便是轉(zhuǎn)化成一個(gè)典型的和差問題，最大的人的年齡是：(75+15)184。2=45(歲)，其它兩人的年齡和是：(7515)184。2=30(歲)，已知最小的年齡是12歲，所以剩下的一人年齡為：3012=18(歲)．【例 23】 已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父年齡恰好等于孫子年齡的5倍．求祖孫三人各多少歲? 【解析】 “祖父和父親年齡差與父親和孫子年齡的差相同”這一條件較難理解，可作出示意圖孫子年齡父親年齡祖父年齡從圖中容易看出，祖父和孫子年齡之和恰為父親年齡的2倍．(1)父親的年齡：82184。2=41(歲)(2)孫子的年齡：(82+1180。2)184。(1+5)1=13(歲)(3)祖父的年齡：8213=69(歲)驗(yàn)算：6941=4113(祖父和父親年齡的差與父親和孫子的差相同)(13+1)180。5=69+1(明年祖父年齡恰好等于孫子年齡的5倍)【例 24】 今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍，幾年后，祖父的年齡將是小明年齡的5倍，又過幾年以后，祖父的年齡將是小明的年齡的4倍，求：祖父今年是多少歲？【解析】 祖父的年齡比小明的年齡大，所以年齡差是小明年齡的5倍，從而是年年差是5的倍數(shù)，同理，由“幾年后，祖父的年齡是小明的年齡的5倍”，“又過幾年以后，祖父的年齡是小明的年齡的4倍”，知道年齡差是3的倍數(shù)，所以，年齡差是5180。4180。3=：60，120，…，合理的選擇是60，今年小明的年齡是60184。5=12(歲)，祖父的年齡是12180。6=72(歲).【例 25】 爸爸、哥哥、妹妹三人現(xiàn)在的年齡和是64歲．當(dāng)爸爸的年齡是哥哥年齡的3倍時(shí)，妹妹是9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲．現(xiàn)在三個(gè)人的年齡各是多少歲？【詳解】（法1）操作分析法．①妹妹9歲時(shí)，爸爸年齡是哥哥年齡的3倍，如果妹妹再增加25歲，妹妹便是34歲．此時(shí)，哥哥和爸爸也都增加25歲．Page 14 of 17 是此時(shí)哥哥的三倍減去50歲；②當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲，假設(shè)此時(shí)妹妹是x歲，則哥哥是2x歲．則妹妹到34歲時(shí)，爸爸是34+34x=68x歲，哥哥是2x+34x=34+x歲．根據(jù)①的分析，妹妹34歲時(shí)爸爸年齡是哥哥年齡的3倍減去50歲，有：可以得到x=4．則此時(shí)妹妹4歲，哥哥是8歲，爸爸是34(34+x)180。350=68x．歲．③此時(shí)三人的年齡和為4+8+34=46，而三人現(xiàn)在的年齡和為64歲，所以還要過(6446)184。3=6歲．則現(xiàn)在妹妹是4+6=10歲，哥哥是8+6=14歲，爸爸是34+6=40歲．（法2）年齡問題中不變的數(shù)量是年齡差，所以我們可以以年齡差為未知數(shù)．設(shè)爸爸和哥哥的年齡差為x歲，哥哥和妹妹的年齡差為y歲，那么爸爸的年齡是哥哥年x歲，哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，妹妹2的年齡為y歲，根據(jù)題目給出的條件有以下等量關(guān)系： 齡的3倍時(shí)，哥哥年齡為x184。(31)=236。x236。x=26239。y=9，這個(gè)二元一次方程組的解為． 2237。237。y=4238。239。238。y+y+x=34如果現(xiàn)在妹妹的年齡為z歲，那么有z+z+4+z+4+26=64．解得z=10，所以現(xiàn)在妹妹10歲，哥哥和爸爸的年齡分別是14歲和40歲．【鞏固】甲、乙、丙三人現(xiàn)在的年齡和是50歲，當(dāng)甲的年齡是乙的年齡的一半時(shí)丙26歲，當(dāng)乙的年齡是丙的年齡的一半時(shí)甲5歲．現(xiàn)在甲、乙、丙各幾歲？【詳解】假設(shè)甲、乙、丙現(xiàn)在的年齡分別為x歲、y歲、z歲，根據(jù)題意有：236。x+y+z=50236。x=8239。239。237。yx+zx=26，解得237。y=15．239。z=27239。zy+xy=5238。238。故現(xiàn)在甲、乙、丙分別為8歲、15歲、27歲．【鞏固】 當(dāng)王力的年齡像李彤現(xiàn)在這么大時(shí)，劉強(qiáng)的年齡比王力和李彤他們現(xiàn)在的年齡之和小7歲．當(dāng)劉強(qiáng)像王力現(xiàn)在這么大時(shí)，王力的年齡是______歲． 【詳解】由題意知，劉強(qiáng)的年齡加上李彤與王力的年齡差，等于王力與李彤的年齡和減去7，即劉+(李王)=王+李7，化為劉王=王7．當(dāng)劉強(qiáng)像王力這么大時(shí)，即劉強(qiáng)的年齡減少(王7)歲，此時(shí)王力的年齡是王(王7)=7歲．3年前姐姐與妹妹的年齡比為5:2，2年后姐姐和妹妹的年齡比為10:7，問姐姐【例 26】和妹妹的年齡差為【解析】 這樣年齡差為3份，從3年前到2年后是5年，恰好對應(yīng)5份，所以姐姐和妹妹的年齡差為3歲Page 15 of 17 【例 27】（第五屆“華杯賽”初賽試題）小明今年的年齡是他出生那年的年份的數(shù)字之和．問：他今年（1995年）多少歲？ 【解析】 設(shè)小明出生那年是19ab年，則1+9+a+b=9510ab，從而有11a+2b=85．若a179。8，則11a+2b＞85；若a163。6，則11a+2b163。66+2180。9=84．所以必有a=7，b=4．小明今年是1+9+7+4=21或19951974=21（歲）．【鞏固】（第五屆“華杯賽”初賽試題）小明今年的年齡是他出生那年的年份的數(shù)字之和．問：他今年（1995年）多少歲？ 【解析】 設(shè)小明出生那年是19ab年，則1+9+a+b=9510ab，從而有11a+2b=85．若a179。8，則11a+2b＞85；若a163。6，則11a+2b163。66+2180。9=84．所以必有a=7，b=4．小明今年是1+9+7+4=21或19951974=21（歲）．【鞏固】（第七屆“華杯賽”初賽試題）小明爺爺?shù)哪挲g是一個(gè)兩位數(shù)，將此兩位數(shù)的數(shù)字交換得到的數(shù)就是小明爸爸的年齡，又知道他們的年齡的差是小明年齡的4倍，求小明的年齡．【解析】 假設(shè)爺爺?shù)哪挲g是10a+b，其中a、b都是數(shù)字，則爸爸的年齡是10b+a，年齡（10a+b）（10ba）=9180。（ab）差是．這差是4的倍數(shù)，所以ab是4的倍數(shù)，但a163。9，而根據(jù)常識，小明爸爸的年齡不可能是十幾歲，因此b179。2，ab163。7，從而必有ab=4．（ab）184。4=9（歲）小明的年齡是9180。．【鞏固】 同學(xué)們可能知道，歌星、影星一般都不愿意公開自己的年齡。這個(gè)小故事說的就是一個(gè)記者千方百計(jì)要從一個(gè)女影星嘴里打聽出她的年齡。影星不想說謊，卻又不愿意把自己的年齡講出來，于是就對記者說：“我5年后歲數(shù)的5倍，減去我5年前歲數(shù)的5倍，正好是我現(xiàn)在的年齡。”記者想了半天，還是沒有想出來影星的年齡。同學(xué)們開動腦筋想一想，這個(gè)影星今年到底多少歲了？ 【解析】 可以假設(shè)影星現(xiàn)在的年齡是a歲，那么她5年前、5年后的年齡分別是5(a5)歲和5(a+5)歲。兩者相差5(a+5)5(a5)=50（歲），所以這個(gè)影星今年的年齡是50歲。同學(xué)們可以考慮一下，自己5年后比5年前的年齡大多少歲？自己的爸爸、媽媽5年后又比5年前的年齡大多少歲呢？我們會發(fā)現(xiàn)，都是10歲。所以，這個(gè)影星今年的年齡是(5+5)180。5=50（歲）?！纠?28】（第五屆“迎春杯”刊賽試題）有甲、乙、丙三個(gè)人，當(dāng)甲的年齡是乙的2倍時(shí)，丙是22歲；當(dāng)乙的年齡是丙的2倍時(shí)，甲是31歲；當(dāng)甲60歲時(shí)，丙是多少歲？【解析】 當(dāng)甲31歲時(shí)，乙是丙年齡的2倍．設(shè)這是丙年齡是a歲，則乙年齡是2a歲，乙、（22+a）丙年齡的差為a．丙22歲時(shí)，乙的年齡為歲，正好等于甲、乙年齡之差（312a），即22+a=312a，得a=3，也就是說，甲與丙的年齡差是313=Page 16 of 17（歲）．因此，當(dāng)甲60歲時(shí)，丙是6028=32（歲）．【鞏固】 甲、乙、丙、丁四個(gè)人的年齡之和是64歲，甲21歲時(shí)，乙17歲；今年甲18歲，丙的年齡是丁的3倍．問丁今年的年齡？【解析】 由“甲21歲時(shí)，乙17歲”可以推知甲比乙大2117=4歲，因此當(dāng)甲18歲時(shí)，乙就是184=14 歲．由于甲、乙、丙、丁四個(gè)人的年齡之和是64歲，甲18歲，乙14歲，故丙和丁的年齡和就是641418=32(歲)．因?yàn)楸哪挲g是丁的3倍，剩下的問題是個(gè)和倍問題．以丁的年齡作為1倍量，丙的年齡就是3倍量，從而兩個(gè)人的年齡和32歲，就是4倍量，因此1倍量的大小即丁的年齡是：32184。4=8(歲)．【例 29】（2001年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽）一位一百多歲的老壽星（2001年時(shí)），公元x2年時(shí)年齡為x歲，此老壽星2001年是多少 【詳解】2001年，老壽星100多歲，說明出生年份是18年．在此后的某一年，他的年齡為x歲，而那一年恰是公元x2年．平方大于1800而小于2001的數(shù)在40與45之間，這就大大縮小了思考范圍，再通過檢驗(yàn)就可確定x，進(jìn)而確定老壽星的出生年份及2001年的歲數(shù)．由于402=1600，452=2025，所以x應(yīng)在41～44之間．而412=1681，422=1764，432=1849，442=1936，所以x顯然不等于442． 若x=43，即1849年時(shí)43歲，則出生于1806年，2001年195歲； 若x=44，即1936年時(shí)44歲，出生于1892年，2001年109歲． 可知比較合乎實(shí)際的答案是老壽星2001年109歲．【例 30】 爸爸、哥哥、妹妹三人現(xiàn)在的年齡和是64歲．當(dāng)爸爸的年齡是哥哥年齡的3倍時(shí)，妹妹是9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲．現(xiàn)在三個(gè)人的年齡各是多少歲？【詳解】（法1）操作分析法．①妹妹9歲時(shí)，爸爸年齡是哥哥年齡的3倍，如果妹妹再增加25歲，妹妹便是34歲．此時(shí)，哥哥和爸爸也都增加25歲．那么此時(shí)爸爸年齡是此時(shí)哥哥的三倍減去50歲；②當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲，假設(shè)此時(shí)妹妹是x歲，則哥哥是2x歲．則妹妹到34歲時(shí)，爸爸是34+34x=68x歲，哥哥是2x+34x=34+x歲．根據(jù)①的分析，妹妹34歲時(shí)爸爸年齡是哥哥年齡的3倍減去50歲，有：可以得到x=4．則此時(shí)妹妹4歲，哥哥是8歲，爸爸是34(34+x)180。350=68x．歲．③此時(shí)三人的年齡和為4+8+34=46，而三人現(xiàn)在的年齡和為64歲，所以還要過(6446)184。3=6歲．則現(xiàn)在妹妹是4+6=10歲，哥哥是8+6=14歲，爸爸是34+6=40歲．（法2）年齡問題中不變的數(shù)量是年齡差，所以我們可以以年齡差為未知數(shù)．設(shè)爸爸和哥哥的年齡差為x歲，哥哥和妹妹的年齡差為y歲，那么爸爸的年齡是哥哥年x歲，哥哥的年齡是妹妹年齡