一題多解之利用導數(shù)證明不等式問題[大全五篇](編輯修改稿)
2024-10-29 14:44 本頁面
【文章內容簡介】 （a+bbba+bbab1x139。0(Qx1)另一方面，設函數(shù)G(x)=xlnx(x1)G(x)=1=xx∴G(x)在(1,+165。)上是增函數(shù)且在x=x0處連續(xù)，又G(1)=10∴當x1時，G(x)G(1)0,∴xlnx,即綜上所述，a+ba+bln bb1a+ba+bln.。a+bbb(x)=2x+alnx(a0)，證明：對于任意的兩個正數(shù)x1,x2，總有f(x1)+f(x2)x+x2179。f(1)成立；解：由：2x1x2f(x1)+f(x2)x+x，f(12)=...=aln22x1+x22x1x2x1+x2163。1222。ln2x1x2x1+x2163。0，而：x1+x2179。2x1x2222。又因為：a0,所以：aln2x1x2x1+x2179。0，即：f(x1)+f(x2)x+x2179。f(1)成立。ex0，函數(shù) f(x)=+a(1)求函數(shù) f(x)的單調區(qū)間；(2)當x=時，函數(shù) f(x)取得極值，證明：對于任意的2x1,x2206。[,],|f(x1)f(x2)|163。1322ex(x2+a2x)ex[(x1)2+a1]=解：(1)f39。(x)=(x2+a)2(x2+a)2①當a179。1時，f39。(x)179。0恒成立，f(x)在(165。,+165。)上是增函數(shù)；② 當0a1時，令f162。(x)0，即(x1解得x1或x1)2+a10，因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間(165。,1內單調遞增，在區(qū)間(1+165。)162。(x)0,即(x1)2+a10，解得1x1 因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間（1內單調遞減.（2）當x=11311時，函數(shù)f(x)取得極值，即 f39。()=0,\()2+a2180。=0，\a=.24222133由(Ⅰ)f(x)在(165。,)單調遞增，在(1,)單調遞減，(,+165。)f(x)在x=1133時取得極大值f()f(x)在x=時取得極小值f()=，22221313故在[,]上，f(x)的最大值是f()=f()=222213對于任意的x1,x2206。[,],|f(x1)f(x2)|163。第三篇：利用導數(shù)證明不等式利用導數(shù)證明不等式例1．已知x0，求證：xln(1+x)分析：設f(x)=x－lnx。x206。[0,+165。)?？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒0時，f(x)f(0)，這只要證明：f(x)在區(qū)間[0,+165。)是增函數(shù)。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165。)上可導。且limf(x)=0=f(0)+x174。0 由f39。(x)=11x 可得：當x206。(0,+165。)時，f39。(x)f(0)=0 =x+1x+1 即x－lnx0，所以：x0時，xlnx 評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)），并利 用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)單調性的定義，證明要 證的不等式。例2：當x206。(0,p)時，證明不等式sinxx成立。證明：設f(x)=sinxx,則f39。(x)=cosx1.∵x206。(0,p),∴f39。(x)0.∴f(x)=sinxx在x206。(0,p)內單調遞減，而f(0)=0.∴f(x)=sinxxf(0)=0, 故當x206。(0,p)時，sinxx成立。點評：一般地，證明f(x)g(x),x206。(a,b),可以構造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)，如果F39。(x)0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時若F(a)163。0,由減函數(shù)的定義可知，x206。(a,b)時，有F(x)0,即證明了f(x)g(x)。x練習：0時，證明不等式e1+x+12x成立。2證明：設f(x)=e1xx12x,則f39。(x)=(x)=e1x,則g39。(x)=0時，g39。(x)=e10.\g(x)在(0,+165。)上單調遞增，而g(0)=0.\g(x)g(0)=0,\g(x)0在(0,+165。)上恒成立，\f(x)在即f39。(x)0在(0,+165。)恒成立。(0,+165。)上單調遞增，又f(0)=0,\
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