【文章內(nèi)容簡介】 /N ? /N 25 漢寧窗 31 8? /N ? /N 44 哈明窗 41 8? /N ? /N 53 布萊克曼窗 57 12? /N 11? /N 74 切比雪夫窗 可調(diào) 可調(diào) 可調(diào) 可調(diào) 巴特利特窗 可調(diào) 可調(diào) 可調(diào) 可調(diào) 表 21 各種窗函數(shù)的基本參數(shù) 9 窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的一般步驟 如下 ： (1) 根據(jù)對阻帶衰減及過渡帶的指標(biāo)要求，選擇窗函數(shù)類型，并估計(jì)窗口長度 N。 (2) 構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) ()jdHe? 。 (3) 計(jì)算 ()dhn，即 1( ) ( )2 j j nddh n H e e d? ??? ?? ?? ?。 (4) 加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果： ( ) ( ) ( )dh n W n h n? 。 窗口設(shè)計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計(jì)簡單， 可以設(shè)計(jì)任意頻率特性的濾波器，因而很實(shí)用，其缺點(diǎn)是通帶和阻帶的邊界頻率不易控制，長度 N 也不易一次決定，往往要反復(fù)幾次才能求得滿意的結(jié)果。 頻率抽樣設(shè)計(jì)法 一個(gè)有限長的序列，如果滿足 頻率采樣定理的條件， 則 可以通過頻譜的有限個(gè)采樣點(diǎn)的值準(zhǔn)確地恢復(fù)，頻率采樣 法正是采用這種思想來設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的。 設(shè)理想濾波器的頻率響應(yīng)為 ()jdHe? ，它是連續(xù)頻率 ? 的周期函數(shù)，對其抽樣， 則 每一個(gè)周期有 N 個(gè)抽樣值，即 22( ) ( ) ( )| k jkj Nd d dkNH k H e H e???? ??? (21) 對 ()dHk作 IDFT，可得到 N 點(diǎn)的單位抽樣序列 ()hn ，即： 2101( ) ( ) , 0 , 1 , 1N j n kNdkh n H k e n NN???? ? ?? (22) 將 ()hn 作為所設(shè)計(jì)濾波器的單位脈沖響應(yīng)，這樣就可以求出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即： 10( ) ( )N nnH z h n z? ???? (23) 若 ()Hz用 ()dHk表示，即將 (22)式代入 (23)式中可得： 21100211001( ) [ ( ) ]1 ()NN j nknNdnkNN j nknNdknH z H k e zNH k e zN?????????????????? (24) 經(jīng)推導(dǎo)，有： 10 12011( ) ( )1NNd j n kk nNzH z H kN ez???? ????? (25) (25)式就是直接利用頻率采樣值 ()dHk形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 用頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的一般步驟 如下 ： (1) 根據(jù)阻帶最小衰減選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 (2) 確定過渡帶寬度 B，估算濾波器長度 N。 (3) 構(gòu)造一個(gè)希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) ()jdHe? 。 (4) 頻域采樣： 22( ) ( ) ( )| k jkj Nd d dkNH k H e H e???? ???。 (5) 對 ()dHk進(jìn)行 N 點(diǎn)的 IDFT，得到 ()hn 。 (6) 將 ()hn 作為所設(shè)計(jì)的 FIR 濾波器的單位脈沖響應(yīng)，求其系統(tǒng)函數(shù)： 10( ) ( )N nnH z h n z? ???? 由于頻譜的有限個(gè)采樣值恢復(fù)出來的頻率響應(yīng)實(shí)際上是對理想頻率響應(yīng)的逼近，因此，這種方法必然有一定的逼近誤差。若被逼近的頻率響應(yīng)比較平滑，則各采樣點(diǎn)之間的逼近誤差較?。环粗?，則逼近誤差較大。 為了提高逼近的質(zhì)量，可以采用人為的擴(kuò)展過渡帶的方法，即在頻率相應(yīng)的過渡帶內(nèi)插入一個(gè)或多個(gè)比較連續(xù)的采樣點(diǎn)，使過渡帶比較連續(xù)，從而通帶和阻帶之間變化比 較緩慢，使得設(shè)計(jì)得到的濾波器對理想濾波器的逼近誤差較小。 切比雪夫逼近設(shè)計(jì)法 窗函數(shù)法和頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器都是比較有效的，但是它們都有固有的缺點(diǎn)。窗函數(shù)法不容易設(shè)計(jì)預(yù)定給出截止頻率的濾波器，也不能解決當(dāng)濾波器的階數(shù) N 給定時(shí)，怎樣設(shè)計(jì)一個(gè)最佳的 FIR 數(shù)字濾波器的問題。頻率采樣法是一種優(yōu)化方法，但在進(jìn)行優(yōu)化時(shí)所使用的變量僅限于過渡帶上的幾個(gè)采樣值，因而它不是最優(yōu)設(shè)計(jì)。 從 FIR 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以看出，極點(diǎn)都在 z平面的原點(diǎn)，而零點(diǎn)的分布是任意的。不同的分布將對應(yīng)不同的頻率響應(yīng)，最優(yōu)設(shè)計(jì)實(shí) 際上就是調(diào)節(jié)這些零點(diǎn)的分布，使得實(shí)際濾波器的頻率響應(yīng) ()jHe? 和理想濾波器的頻率響應(yīng) ()jdHe? 之間的最大絕對誤差最小。切比雪夫逼近法 正是利用這種思想進(jìn)行 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的。這種設(shè)計(jì)方法由于是 11 在一致意義上對 ()jdHe? 做最佳逼近，因而獲得了較好的通帶和阻帶性能。 切比雪夫一致逼近原理 切比雪夫最佳一致逼近的基本思想是，對給定區(qū)間 [a,b]上的連續(xù)函數(shù) ()fx，在所有 二次多項(xiàng)式的集合 nP 中，尋找一個(gè)多項(xiàng)式 ()Px? ，使它在 [a,b]上對 ()fx的偏差和其他一切屬于nP 的多項(xiàng)式 ()px 對 ()fx的偏差相比是最小的，即： m a x | ( ) ( ) | m in { m a x | ( ) ( ) |}a x b a x bP x f x p x f x?? ? ? ?? ? ? (26) 根據(jù)切比雪夫逼近理論，這樣的多項(xiàng)式 ()Px? 是存在的，且是唯一的，并指出了構(gòu)造這種最佳一致逼近多項(xiàng)式的方法，就是有名 的“交錯(cuò)點(diǎn)組定理”，該定理描述如下： 設(shè) ()fx是定義在 [a,b]上的連續(xù)函數(shù)， ()px 為 nP 中一個(gè)階次不超過 n的多項(xiàng)式，并令： m a x | ( ) ( ) |n a x bE p x f x???? (27) 及： ( ) ( ) ( )E x p x f x?? (28) ()px 是 ()fx最佳一致逼近多項(xiàng)式的充要條件是， ()Ex 在 [a,b]上至少存在 n+2 個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)1 2 2na x x x b?? ? ? ? ?，使得： ( ) , 1 , 2 , , 2inE x E i n? ? ? ? (29) 且： 1( ) ( ) , 1 , 2 , , 2iiE x E x i n?? ? ? ? (210) 這 n+2 個(gè)點(diǎn)即是“交錯(cuò)點(diǎn)組”，顯然 1 2 2, , , nx x x ? 是 ()Ex的極值點(diǎn) n階切比雪夫多項(xiàng)式： ( ) c os( a r c c os ) , 1 1nC x n x x? ? ? ? (211) 在區(qū)間 [1,1]上存在 n+1 個(gè)點(diǎn) c o s( ) , 0 ,1, ,kx k k nn???，輪流使得 ()nCx取得最大值 +1 和最小值 1。 ()nCx是 x的多項(xiàng)式，且最高項(xiàng) nx 的系數(shù)是 12n? ，可以證明，在所有 n階多項(xiàng)式中 ，多項(xiàng)式1()2nnCx?和 0 的偏差最小。如果在尋找 ()px 時(shí)，能使誤差函數(shù)為某一個(gè) ()nCx，那么這樣的 ()px 將是對 ()fx的最佳一致逼近。 12 FIR 數(shù)字濾波器的切比雪夫設(shè)計(jì)法步驟 (1) 規(guī)定所需的頻率響應(yīng) ()jdHe? ，加權(quán)函數(shù) ()jWe? 和濾波器的單位脈沖響應(yīng)的長度 N。 (2) 形成 ()iPe?? 、 ()iWe?? 和 ()jPe? 。 (3) 利用 Remez算法多重交換求解 ()idHe? 的逼近函數(shù) ()iHe? 。 (4) 計(jì)算濾波器的單位脈沖響應(yīng) ()hn 。 采用切比雪夫逼近設(shè)計(jì)方法能夠得到既有嚴(yán)格線性相位，又有很好衰減特性的濾波器，因此切比雪夫畢金鳳在濾波器設(shè)計(jì)中占有很重要的地位。 基于三種設(shè)計(jì)方法的數(shù)字 低通 FIR 濾波器比較 若要求設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 數(shù)字低通濾波器，技術(shù)指標(biāo) 均為 ： ??? ， ??? ，50s dB? ? ， 分別采用窗函數(shù)、頻率采樣、切比雪夫一致逼近三種設(shè)計(jì)方法，最后比較 三種方法的 設(shè)計(jì)性能。 采用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) 根據(jù)窗函數(shù)的最小阻帶衰減 50s dB? ? ，由表 21 可知，可選擇 哈明 窗，滿足阻帶衰減條件且具有較小的階次。 調(diào)用 MATLAB 程序 (見附錄 1)可得其設(shè)計(jì)濾波器的沖激響應(yīng)和幅度相應(yīng)如下圖： 13 采用頻率采樣法 設(shè)計(jì) 將過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m與濾波器阻帶最小衰減 s? 的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)列于表 22，因此可以根據(jù)給定的阻帶最小衰減 s? 選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m。 m 1 2 3 s? 44~54dB 65~75dB 85~95dB 表 22 過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)與濾波器阻帶最小衰減經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) 由 s? =50dB，根據(jù)表 22 可得過渡帶的采樣點(diǎn) m=1。 取補(bǔ)充的采樣點(diǎn)樣值為 T=，又過渡帶寬度 B= ? ? =? ，所以可估算濾波器長度 N≥ (m+1)2? /B=40，留一點(diǎn)富余量，取 N=41。 由 ??? 和 ??? 可算得 濾波器截止頻率： 0 .6 52psc ??????? 調(diào)用 MATLAB 程序 (見附錄 2)可得其設(shè)計(jì)濾波器的沖激響應(yīng)和幅度相應(yīng)如下圖： 14 采用切比雪夫一致逼近法設(shè)計(jì) 調(diào)用 MATLAB 程序 (見附錄 3)可得其設(shè)計(jì)濾波器的沖激響應(yīng)和幅度相應(yīng)如下圖： 基于以上三種 FIR 數(shù)字濾波器的性能比較 通過觀察窗口設(shè)計(jì)法、頻率采樣法、切比雪夫一致逼近法三種方法設(shè)計(jì)的 FIR 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)和幅頻衰減特性 ， 比較列出 濾波器單位脈沖響應(yīng) h(n)的長度 N 和幅度 最 小 衰減量 。 FIR 設(shè)計(jì)方法 窗口設(shè)計(jì)法 頻率采樣法 切比雪夫一致逼近法 濾波器長度 N 70 41 35 幅度 最 小 衰減 (dB) 50 30 50 表 23 基于三種設(shè)計(jì)方法的濾波器性能比較 由表 23 可知：由切比雪夫一致逼近法設(shè)計(jì)的 FIR 數(shù)字濾波器長度 N 最小，即設(shè)計(jì)出濾波器階數(shù)最小， 頻率采樣 法次之，而窗口設(shè)計(jì)法濾波器長度最大。從幅頻特性來看：切比雪夫一致逼近法設(shè)計(jì) 的 FIR 數(shù)字濾波器 與窗口設(shè)計(jì)法 的幅度最 小 衰減相同， 頻率采樣法居中。綜上可知： 采用切比雪夫一致逼近法設(shè)計(jì)的 FIR 數(shù)字濾波器 無論是濾波器長度 N 還是幅頻特性 性能 均是 最佳 的 。 15 本章小結(jié) 本章主要討論 FIR 數(shù)字濾波器的幾種設(shè)計(jì)方法，詳細(xì)說明了這幾種方法的設(shè)計(jì)思路和設(shè)計(jì)步驟，窗函數(shù)法是從時(shí)域出發(fā)，通過對理想濾波器的單位脈沖響應(yīng) 加窗截?cái)嗟乃枷雭碓O(shè)計(jì)的，而頻率采樣法是從頻域出發(fā) ，依據(jù)頻率采樣定理和頻域內(nèi)插公式來實(shí)現(xiàn)的，最后介紹 了切比雪夫一致逼 近法，該設(shè)計(jì)方法是基于切比雪夫一致逼近原理來設(shè)計(jì) FIR 濾波器的，然后通過實(shí)例，依據(jù)同一 FIR 數(shù)字 低通 濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)，分別采用三種設(shè)計(jì)方法，通過 比較 設(shè)計(jì)出來的 FIR 濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)的長度 N 和幅頻最 小 衰減量，得出切比雪夫一致逼近法既能做到嚴(yán)格的線性相位，又有很好的衰減特性，且設(shè)計(jì)的 FIR 數(shù)字濾波器長度 N最小，故說明切比雪夫一致逼近法是三種方法中最佳的 FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法。 16 3 基于 MATLAB的 FIR 數(shù)字濾波器的最佳設(shè)計(jì)與仿真 MATLAB 簡介 MATALB 是由 matrix 和 laboratory 兩個(gè)英語單詞的前三個(gè)字母組合而成，是“ Matrix Laboratory”的縮寫，意為“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，它是 Mathworks 公司于 1984 年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算可視化軟件，集數(shù)值分析、矩陣分析、信號(hào)處理和圖形顯示 于 一體，被譽(yù)為“巨人肩上的工具”，是當(dāng)今美國很流行的科學(xué)計(jì)算軟件。信息技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展到今天，科學(xué)計(jì)算在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，在許多諸如控制論、時(shí)間序列分析、系統(tǒng)仿真、圖像處理等方面產(chǎn)生了大量的矩陣及其相應(yīng)的計(jì)算問題。自己去編寫大量復(fù)雜的計(jì)算程序，不僅會(huì)消耗大量的時(shí)間和精力，減緩工作進(jìn)程，而且往往質(zhì)量不高，美國Mathwork軟件公司推出的 MATLAB 軟件就是為了給人們提供一個(gè)方便的數(shù)值計(jì)算平臺(tái) 而設(shè)計(jì)的。 MATLAB 語言是當(dāng)今國際上科學(xué)界最具影響力、也是最有活力的軟件之一。它起源于矩陣運(yùn)算，并已經(jīng)發(fā)展成一種高度集成的計(jì)算機(jī)語言。它提供了強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算、靈活的程序設(shè)計(jì)流程、高質(zhì)量的圖形可視化與