利用二重積分證明不等式(編輯修改稿)
2024-10-27 16:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 １+xx2\ xln(1+x)x 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m即要證11ln(1+m)ln(1+n)成立。因為m11ln(1+m)ln(1+n)； mn從而：(1+m)n(1+n)m。評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。第三篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式?jīng)]分都沒人答埃。覺得可以就給個好評!最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)!1時,證明不等式xln(x+1)設(shè)函數(shù)f(x)=xln(x+1)求導(dǎo)，f(x)39。=11/(1+x)=x/(x+1)0所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)f(x)f(1)=1ln2o所以xln(x+12..證明：aa^20其中0F(a)=aa^2F39。(a)=12a當(dāng)00。當(dāng)1/2因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/40即有當(dāng)000,證明：不等式xx^3/6先證明sinx因為當(dāng)x=0時，sinxx=0如果當(dāng)函數(shù)sinxx在x0是減函數(shù)，那么它一定因為cosx1≤0所以sinxx是減函數(shù)，它在0點有最大值0，知sinx再證xx179。/6對于函數(shù)xx179。/6sinx當(dāng)x=0時，它的值為0對它求導(dǎo)數(shù)得1x178。/2cosx如果它要證x178。/2+cosx10x0再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時，x178。/2+cosx1值為0再次對它求導(dǎo)數(shù)得xsinx根據(jù)剛才證明的當(dāng)x0sinxx178。/2cosx1是減函數(shù)，在0點有最大值0x178。/2cosx10所以xx179。/6sinx是減函數(shù)，在0點有最大值0得xx179。/6利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式XX178。0，X∈(0,1)成立令f(x)
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