【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 () 式中，為參考?jí)毫?（ Operating Pressure） 。 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 可壓縮低 Mach 數(shù)流動(dòng)計(jì)算的參考?jí)毫Ρ仨氉屑?xì)選取，以避免出現(xiàn)過(guò)大的舍入誤差?？紤]馬赫數(shù) M 的可壓縮流動(dòng)。離散動(dòng)量方程中壓力差與動(dòng)壓頭有關(guān)（為比熱比，為定壓比熱，為定容比熱），即，當(dāng) M0 時(shí)。因此，低 Mach 數(shù)流動(dòng)計(jì)算對(duì)舍入誤差非常明顯。 不同情況下的參考?jí)毫Φ倪x擇見(jiàn)表 。 表 參考?jí)毫Φ倪x擇 密度關(guān)系式 Mach 數(shù)范圍 參考?jí)毫? 理想氣體 M 0 或近似取流場(chǎng)平均壓力 理想氣體 M 近似取流場(chǎng)平均壓力 密度是溫度的函數(shù) 不可壓縮 常數(shù) 不可壓縮 不可壓縮理想氣體 不可壓縮 近似取流場(chǎng)平均壓力 在有重力的問(wèn)題中， FLUENT 重新定義計(jì)算壓力 ,使計(jì)算得到的壓力場(chǎng)（靜壓）和輸入的壓力值（靜壓或總壓）都不包含靜水壓頭（ ），即 () 或 () 式中，為參考密度；為重力矢量；為位置矢量 () 這樣的定義使靜水壓頭被計(jì)入體積力項(xiàng)中。因此，壓力輸入值不應(yīng)包含靜水壓差，壓力計(jì)算值結(jié)果也不包含靜水壓的影響。 缺省情況下， FLUENT 以計(jì)算域內(nèi)全部單元的平均密度為參考密度；而在某些情況下，則必須給定參考密度。 對(duì)于沒(méi)有壓力邊界的不可壓縮流動(dòng)， FLUENT 以位于或最接近參考單元的壓力作為參考?jí)毫?，并在每次迭代后調(diào)整表壓力值，以避免壓力場(chǎng)浮動(dòng)。這樣，參考?jí)毫ξ贿M(jìn)氣道 /發(fā)動(dòng)機(jī)高空模擬亞聲速自由射流試驗(yàn)數(shù)值模擬 12 置處的表壓力總是為零。為了與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比較，可將參考?jí)毫ξ恢枚x在絕對(duì)壓力為已知的點(diǎn)。 有壓力邊界的 問(wèn)題不需要指定參考?jí)毫Φ奈恢谩? 能量方程 傳熱模型的能量方程（ Energy Equation）如下： () 式中，為有效導(dǎo)熱系數(shù)，為導(dǎo)熱系數(shù) k 與湍流導(dǎo)熱系數(shù)之和；為組分 j 的擴(kuò)散通量。等號(hào)右邊前三項(xiàng)分別代表由于導(dǎo)熱、組分?jǐn)U散和粘性耗散引起的能量輸運(yùn)。包括反應(yīng)生成熱和其它體積熱源。 E 為總能。 控制方程通用形式 在流體與傳熱問(wèn)題中的控制方程可以表示成如下通用形式： () 式中，為通用量，可以代表 u， v， w 或 T 等求解變量；為廣義擴(kuò)散系統(tǒng)；為廣義源項(xiàng)。令式中，則 也包括了質(zhì)量守恒方程?！皬V義”二字的含義是處在和位置上的項(xiàng)不必是原來(lái)物理意義上的量，而是數(shù)值計(jì)算模型中的一種定義，不同求解變量之間的區(qū)別除了邊界條件和初始條件之外，就在于和表達(dá)式不同。 可壓縮流動(dòng) 可壓縮流動(dòng)以 Mach 數(shù) M 表征： () 式中，為氣體聲速，對(duì)于理想氣體 ； R 為氣體常數(shù)。 當(dāng) Mach 數(shù)遠(yuǎn)小于 1 時(shí)（比如，有時(shí)可放寬到），氣體密度隨壓力變化很小，壓縮性效應(yīng)可忽略，否則應(yīng)按可壓縮流動(dòng)計(jì)算。 可壓縮流動(dòng)基本關(guān)系式 對(duì)于理想氣體總壓和總溫與靜 壓 p 和靜溫 T 通過(guò)下式聯(lián)系起來(lái)，當(dāng)為常數(shù)時(shí)，有： () 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 () 可壓縮流動(dòng)求解 可壓縮流動(dòng)求解中速度、密度、壓力和能量的高度耦合以及可能存在的激波導(dǎo)致求解過(guò)程不穩(wěn)定。有助于可壓縮流動(dòng)計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定性的方法有： （ 1） （僅適用于基于壓力求解器）以接近于滯止條件的流動(dòng)參數(shù)進(jìn)行初始化（即，壓力很小但是不為零，壓力和溫度分別等于進(jìn)口總壓和總溫）。在迭代過(guò)程的最初幾十步不求解能量方程。設(shè)置能量方程的亞松弛因子等于 1，壓力的亞松弛因子 ，動(dòng)量的亞松弛因子 。求解過(guò)程穩(wěn)定后再加入能量方程的求解，并將壓力的松弛因子提高到 。 （ 2）設(shè)置合理的溫度和壓力限制值以避免求解過(guò)程發(fā)散。 （ 3）必要時(shí)，先以較低的進(jìn)、出口邊界壓力比進(jìn)行求解，然后再逐步升高壓力比知道預(yù)定工況。對(duì)于低 Mach 數(shù)流動(dòng)，也可以先求解不可壓縮流動(dòng)，然后以所得到的解作為可壓縮流動(dòng)的迭代初值。某些情況下，也可以先求解無(wú)粘性流動(dòng)作作為迭代初值。 湍流模型 湍流流動(dòng)的數(shù)值模擬方法可分為三類(lèi)，即直接模擬 （ Direct Numerical Simulation， DNS） 方法，大渦模擬（ Large Eddy Simulation， LES）方法，以及目前工程流動(dòng)計(jì)算中普遍使用的應(yīng)用 Reynolds 時(shí)均方程模擬方法。 Reynolds 時(shí)均方程方法 Reynolds 時(shí)均方程方法將瞬態(tài) NavierStokes 方程總的求解變量分解成平均值（ Favre 質(zhì)量加權(quán)平均或時(shí)間平均）和脈動(dòng)值分量。對(duì)于速度分量，有 () 其中，和分別為平均速度和脈動(dòng)速度分量（ i=1,2,3）。類(lèi)似的，對(duì)于其它標(biāo)量的瞬時(shí)值、時(shí)均值以及脈動(dòng)值之間 有如下關(guān)系 () 式中，可以代表壓力、能量或組分濃度等標(biāo)量。按 Reynolds 平均法，任意變量的時(shí)間平均值定義為 進(jìn)氣道 /發(fā)動(dòng)機(jī)高空模擬亞聲速自由射流試驗(yàn)數(shù)值模擬 14 () 其中，時(shí)間間隔相對(duì)于湍流的隨機(jī)脈動(dòng)周期而言足夠的大，但相對(duì)于流場(chǎng)的各種時(shí)均量的緩慢變化周期來(lái)說(shuō)則應(yīng)該足夠的小。 將各變量用以上的形式代入連續(xù)性方程和動(dòng)量方程，并除了脈動(dòng)值的時(shí)均值外，其它平均值不帶表示平均值的上劃線符號(hào)，從而得到 Reynolds 平均的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程： () () 式（ ）和式（ ）稱(chēng)為 Reynolds 平均 NavierStokes 方程（ RANS），或 Reynolds方程。 Reynolds 平均 NS 方程中速度和其它求解變量代表平均值（ Favre 質(zhì)量加權(quán)平均或時(shí)均值），與瞬時(shí) NS 方程有相同的形式。與瞬時(shí) NS 相比較，方程中出現(xiàn)的附加項(xiàng)稱(chēng)為 Reynolds 應(yīng)力，代表湍流脈動(dòng)引起的能量（應(yīng)力、熱流密度等）的轉(zhuǎn)移。 采用 Reynolds 平均方程方法要求找到確定附加項(xiàng)的關(guān)系式，以使方程組 封閉，所謂湍流模型就是把湍流的脈動(dòng)值附加項(xiàng)與時(shí)均值聯(lián)系起來(lái)的一些特定關(guān)系式。目前工程上使用的主要有 Reynolds 應(yīng)力方程和湍流渦粘性系數(shù)法。 湍流渦粘性系數(shù)法 湍流粘性系數(shù)法引入湍流粘性系數(shù)，利用 Boussinesq 假設(shè)，即湍流脈動(dòng)所造成的附加應(yīng)力像層流運(yùn)動(dòng)應(yīng)力那樣可以與時(shí)均應(yīng)變率關(guān)聯(lián)起來(lái)： () 其中，為引入的湍流粘性系數(shù)； k 為湍動(dòng)能： () 類(lèi)似于 Reynolds 應(yīng)力的處理，為了將湍流脈動(dòng)引起的其它標(biāo)量 的輸運(yùn)與時(shí)均參數(shù)聯(lián)系起來(lái)，可以引入相應(yīng)的湍流擴(kuò)散系數(shù)，并以通用符號(hào)表示，則有 () 雖然和都不是流體的物性，而是取決于湍流流動(dòng)，但是實(shí)驗(yàn)表明，其比值可以近似地視為常數(shù)。比照分子擴(kuò)散過(guò)程，如果是溫度，則該比值為湍流 Prandtl 數(shù)；如果是組分濃度，則該比值就是湍流 Schmidt 數(shù)。 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 引入 Boussinesq 假設(shè)后，計(jì)算湍流流動(dòng)的關(guān)鍵就在于如何確定湍流粘性系數(shù)。所謂湍流模型，對(duì)于湍流渦粘性系數(shù)法來(lái)講，就是把與湍流時(shí)均參數(shù)聯(lián)系起來(lái)的關(guān)系式。屬于這類(lèi)方法 的湍流模型有 SpalartAllmaras 模型、 k模型及其各種改進(jìn)模型、k模型等。 如果把湍流脈動(dòng)引起附加應(yīng)力的過(guò)程與分子運(yùn)動(dòng)引起應(yīng)力的過(guò)程相比擬，可以設(shè)想湍流粘性系數(shù)應(yīng)當(dāng)與脈動(dòng)的特征速度和脈動(dòng)的特征尺度的乘積有關(guān)，正像分子粘性正比于分子平均自由程與其速度乘積一樣，湍流脈動(dòng)速度可以用湍動(dòng)能的平方根代表。 Prandtl 和 Kolmogorov 基于上述考慮各自提出可表示為 () 其中，為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)；為湍流長(zhǎng)度標(biāo)尺。 模型 湍流模型是最簡(jiǎn)單的“完全模型” 兩方程湍流模型，該模型通過(guò)求解兩個(gè)輸運(yùn)方程獨(dú)立地確定湍流速度和湍流長(zhǎng)度標(biāo)尺。 模型 標(biāo)準(zhǔn)模型是由 Launder 和 Spalding 提出的。目前，標(biāo)準(zhǔn)模型在實(shí)際工程流動(dòng)計(jì)算中應(yīng)用最為廣泛，該方法為基于湍動(dòng)能 k 和湍流耗散率輸運(yùn)方程的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，其中輸運(yùn)方程由嚴(yán)格推到得到，而方程來(lái)自直觀推斷。模型假定流動(dòng)為充分發(fā)展湍流，忽略分子粘性系數(shù)的影響。 （ 1）輸運(yùn)方程 引入湍流耗散率概念，定義為湍流中單位質(zhì)量流體的脈動(dòng)動(dòng)能的耗散率： () 式中，為分子粘性系數(shù) 。 湍流擴(kuò)散率即小尺寸度渦的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能的速率。對(duì)于單位體積的流體，從較大的渦向較小的渦傳遞能量的速度成正比于，反比于傳遞的時(shí)間。而傳遞時(shí)間與湍流長(zhǎng)度標(biāo)尺成正比，與脈動(dòng)速度成正比。于是有 () 式中，為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。 進(jìn)氣道 /發(fā)動(dòng)機(jī)高空模擬亞聲速自由射流試驗(yàn)數(shù)值模擬 16 求解下列輸運(yùn)方程可得到湍動(dòng)能 k 湍流耗散率： () () 其中，代表由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)；代表由于浮力引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)；代表在可壓縮湍流中脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的貢獻(xiàn)；、為常數(shù)；和分別為 k和的湍流 Prandtl 數(shù)；和為自定義源項(xiàng)。 （ 2）模擬湍流粘性系數(shù) 由式（ ）和式（ ），湍流粘性系數(shù)模擬為 () 其中，為常數(shù)（）。 （ 3）模擬常數(shù) 由對(duì)空氣與水在均勻切變湍流和各向同性衰減格子湍流等條件下的實(shí)驗(yàn)確定的模型常數(shù)取下列值： ，， 上述經(jīng)驗(yàn)常數(shù)在一定范圍內(nèi)具有適用性。經(jīng)驗(yàn)表明，和對(duì)影響計(jì)算較大。當(dāng)湍流產(chǎn)生項(xiàng)與消耗項(xiàng)偏離平衡狀態(tài)較遠(yuǎn)，與 相差較遠(yuǎn)。 標(biāo)準(zhǔn)模型亦稱(chēng)為高數(shù)模型 ， 適用于局部湍流數(shù)高于的湍流核心區(qū)，此時(shí)分子粘性相對(duì)于 湍流粘性可以忽略不計(jì)。這里，湍流數(shù)定義為 () 在有壁面的流動(dòng)中，與壁面緊鄰的粘性支層中數(shù)很低，必須考慮分子粘性的影響，可采用標(biāo)準(zhǔn)模型 /壁面函數(shù)法或低數(shù)模型來(lái)處理。 模型 RNG 模型由 Yakhot 和 Orszag 提出，采用稱(chēng)為重整化群（ ReNormalization Group, RNG）理論的嚴(yán)格統(tǒng)計(jì)方法推導(dǎo)得到。該模型是將穩(wěn)態(tài) NS 方程對(duì)一個(gè)平衡態(tài)作 Gauss統(tǒng)計(jì)展開(kāi)，并用對(duì)脈動(dòng)頻譜的波數(shù)段作濾波的方法，從而導(dǎo)出考慮低 Re 數(shù)影響的高Re 數(shù)模型， 其湍動(dòng)能 k 和湍流耗散率由求解與標(biāo)準(zhǔn)模型相似的輸運(yùn)方程得到。 模型 realizable 模型的“ realizable”（可實(shí)現(xiàn)的）指的是模型滿足對(duì) Reynolds 應(yīng)力沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 17 符合實(shí)際湍流流動(dòng)情況的數(shù)學(xué)限制。而標(biāo)準(zhǔn)模型和 RNG 模型均不是可實(shí)現(xiàn)。 realizable 模型的優(yōu)點(diǎn)是其更準(zhǔn)確預(yù)測(cè)平面射流和圓射流的擴(kuò)張速率。在有旋轉(zhuǎn)流動(dòng)、強(qiáng)的逆壓梯度下的邊界層流動(dòng)、分離流、回流以及有復(fù)雜二次流等情況下，該模型均有更好的性能。 應(yīng)用 realizable 模型的一個(gè)限制是，在計(jì)算域內(nèi)同時(shí)存在轉(zhuǎn)動(dòng)和固定的 流體區(qū)時(shí)（如使用多重坐標(biāo)系或旋轉(zhuǎn)動(dòng)網(wǎng)格時(shí)），該模型將計(jì)算出不合理的粘性系數(shù)值。這是因?yàn)?realizable 模型在湍流粘性系數(shù)中包含平均旋轉(zhuǎn)速度的影響。而這一針對(duì)旋轉(zhuǎn)影響的修正使 realizable 模型在單旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中比標(biāo)準(zhǔn)模型有更好的性能。 鑒于 realizable 模型的諸多優(yōu)點(diǎn)，本論文的湍流模型選用該模型。 4. 模型的湍流邊界條件 模型需要湍動(dòng)能 k 和耗散率的邊界條件。壁面處的 k 和邊界條件是由壁面函數(shù)或近壁區(qū)模型確定。入口邊界的 k 和必須給定。由于入口湍流通常對(duì)下游流動(dòng)有較大影響，給定正確的入口邊界條件是 非常重要的。 Specification Method（湍流量指定方法）：采用湍流模型時(shí)，有四種給定入口（以及出口回流時(shí)）湍動(dòng)能和湍流耗散率邊界條件的方法： （ 1） K and Epsilon（湍動(dòng)能和湍流耗散率）：指定入口湍動(dòng)能和湍流耗散率?？梢詾槌?shù)，或使用分布函數(shù)、時(shí)變函數(shù)或者 UDF 給定； （ 2） Intensity and Length Scale（湍流長(zhǎng)度和湍流長(zhǎng)度標(biāo)尺）； （ 3） Intensity and Viscosity Ratio（湍流強(qiáng)度和湍流粘度比）； （ 4） Intensity and Hydraulic Diameter（湍流強(qiáng)度和水力直徑）。 采用 Reynolds 比動(dòng)量傳遞的方法模擬湍流傳熱： () 其中，為導(dǎo)熱系數(shù)；為總能；為偏應(yīng)力張量，與其有關(guān)的項(xiàng)代表粘性加熱： () 湍流 Prandtl 數(shù)的值為 。傳質(zhì)的處理方法為傳熱相似，其湍流 Schmidt 數(shù)為。 進(jìn)氣道 /發(fā)動(dòng)機(jī)高空模擬亞聲速自由射流試驗(yàn)數(shù)值模