【文章內(nèi)容簡介】 中時， B 的原點位置的集合就是用 B 腐蝕 A 的結(jié)果 。 圖 23[7]給出了二值圖像膨脹示意圖， (a)和 (b)分別給出結(jié)構(gòu)元素在原點和不在原點的情況。圖 24[9]理工大學畢業(yè)論文 7 給出了膨脹運算的例子，其中 (a)是二值圖像 A ； (b)是結(jié)構(gòu)元素 B ； (c)是結(jié)構(gòu)元素 B 的映像；(d)是 B 膨脹 A 后的結(jié)果，深色的部分就是相對原圖擴大的部分。可以看出此時膨脹的結(jié)果是包含原圖 A 的，即 BAA ?? 。 圖 23 二值圖像膨脹示意圖 圖 24 二值膨脹運算結(jié)果 對集合 A 和 B ，使用 B 對 A 進行腐蝕，用 BA? 表示， 其 定義 如式（ 27）所示。 }|{})(|{ AzBzABzBA z ?????? （ 27） A 被 B 腐蝕是所有位移 z 的集合。 B 平移 z 后得到的圖像仍包含于 A 。 圖 25[7]給出了二值圖像腐蝕示意圖， (a)和 (b)分別給出原點在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部和不在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部的情況。一般地，如果原點在結(jié)構(gòu)元素的內(nèi)部，則腐蝕后的圖像為輸入圖像的一個子集，這就是稱作 ―腐蝕 ‖的原因；如果原點在結(jié)構(gòu)元素的外部，那么腐蝕后的圖像可能不在輸入圖像的內(nèi)部。 圖 25 二值圖像腐蝕示意圖 理工大學畢業(yè)論文 8 圖 26 給出了 腐蝕 運算的例子，其中 (a)是二值圖像 A ； (b)是結(jié)構(gòu)元素 B ； (c)是 B 腐蝕 A后的結(jié)果，深色的部分就是相對原圖剩下的部分?？梢姼g運算使得圖像區(qū)域收縮變小了。并且用這樣的結(jié)構(gòu)元素腐蝕后的結(jié)果也是包含于原圖 A 的，即 ABA ?? 。 圖 26 二值腐蝕運算的結(jié)果 二值形態(tài)膨脹和腐蝕運算 的性質(zhì) 1. 對偶性 如式（ 28）所示。 )()()()( BABABABA CCCC ???????? （ 28） 2. 單調(diào)性 如式（ 29）和式（ 210）所示。 BABABABAAA ??????????? , （ 29） BABABABABB ??????????? , （ 210） 3. 遞減（增）性 如式（ 211）所示。 BAAABABO ?????? , （ 211） 如果結(jié)構(gòu)元素包含原點， A 腐蝕的結(jié)果是使圖像 A 收縮，是 A 的一個子集；而 A 是膨脹結(jié)果的子集。 4. 交換律 如式（ 212）所示。 ABBA ??? （ 212） 需要說明的是腐蝕運算不滿足交換律，即 ABBA ??? 通常不成立。 5. 結(jié)合律 如式（ 213）和式（ 214）所示。 CBACBA ????? )()( （ 213） CBACBA ????? )()( （ 214） 式（ 213）和式（ 214） 十分重要， 它們 表明采用一個較大結(jié)構(gòu)元素 )( CB? 的形態(tài)學運算可以由兩個采用較小結(jié)構(gòu)元素 B 和 C 的形態(tài)學運算的級聯(lián)來實現(xiàn)。這在實際應用中對提高算法效率和硬件實現(xiàn)意義極大。 6. 尺度伸縮性 如式（ 215）所示。 ,)(,)( tBtABAttBtABAt ?????? （ 215） 理工大學畢業(yè)論文 9 7. 平移不變性 如式（ 216）和式（ 217）所示。 xBAxBAxBAxBA ?????????? )()(,)()( （ 216） xBABxAxBABxA ?????????? )()(,)()( （ 217） 平移不變性意味著圖像或結(jié)構(gòu)元素的位置變化僅引起變換結(jié)果的位置變化，而結(jié)果的形態(tài)無任何改變。這符合實際的要求，因為當同一目標出現(xiàn)在圖像的不同位置時，對它們的分析不應因位置差異而不同。 二值圖像開運算和閉運算 使用結(jié)構(gòu)元素 B 對集合 A 進行開運算，表示為 BA? ， 其 定義 如式（ 218）所示。 BBABA ??? )(? （ 218） 用結(jié)構(gòu)元素 B 對集合 A 進行開操作就是用 B 對 A 腐蝕，然后用 B 對結(jié)果進行膨脹。為了更好地理解開運算在圖像處理中的作用， 可以參考式（ 219）所示的 等價方程： })(|){( ABBBA zz ?? ?? （ 219） 圖 27[7]表示了先腐蝕后膨脹所描述的開運算。圖中給出了利用圓盤對一個矩形先腐蝕后膨脹所得到的結(jié)果。 圖 27 二值圖像開運算示意圖 使用結(jié)構(gòu) 元素 B 對集合 A 進行閉操作，表示為 BA? ， 其 定義 如式（ 220）所示。 BBABA ???? )( （ 220） 圖 28 為閉運算的示意圖，閉運算是先膨脹后腐蝕，也可以利用對偶性，即沿圖像的外 圖 28 二值圖像閉運算示意圖 邊緣填充或滾動結(jié)構(gòu)元素，閉運算磨光了凸向圖像內(nèi)部的尖角，即對圖像外部濾波。 二值圖像開運算和閉運算的仿真結(jié)果如圖 29 所示， (a)是 一幅原始的二值圖像， (b)是采 理工大學畢業(yè)論文 10 (a)原圖像 (b)開運算 (c)閉運算 圖 29 二值圖像開閉運算仿真結(jié)果 用半徑為 3 的圓形結(jié)構(gòu)元素對原始圖像作開運算后得到的結(jié)果。比較 (a)和 (b)可以看到，開運算完全刪除了不能包含結(jié)構(gòu)元素的對象區(qū)域，平滑了對象的輪廓，斷開了狹窄的連接，去掉了細小的突出部分。對原始二值圖像作閉運算的結(jié)果如圖 29(c)所示，采用和開運算一樣的半徑為 3 的圓形結(jié)構(gòu)元素，從圖 (c)看到，細長彎口、指向內(nèi)部的齒狀邊緣和小洞都已被刪除。閉運算具有填 充物體內(nèi)細小空洞，連接鄰近物體和平滑邊界的作用。 二值圖像開閉運算性質(zhì) 1．對偶性 如式（ 221）所示。 BABABABA CCCC ?? ???? )()( ， （ 221） 2．擴展收縮性 如式（ 222）所示。 BAABA ???? （ 222） 3．單調(diào)性 如式（ 223）和式（ 224）所示。 BABABABAAA ????????? ,?? （ 223） CABACABACBCCB ??????? , ??? （ 224） 4．冪等性 如式（ 225）所示。 BABBABABBA ????? )(,)( ??? （ 225） 5．平移不等性 如式（ 226）所示。 理工大學畢業(yè)論文 11 xBABxAxBABxA ???????? )()(,)( ?? （ 226） 開、閉運算是由腐蝕和膨脹組成的二次運算，因此具有與腐蝕和膨脹相類似的性質(zhì)。值得說明的是，與腐蝕和膨脹運算不同，開、閉運算具有冪等性，這意味著一次運算與重復運算將得到相同的結(jié)果，這是一個獨特的性質(zhì)。 灰度圖像形態(tài)學 隨著數(shù)字成像技術(shù)的發(fā)展和數(shù)字圖像處理技術(shù)應用范圍的擴展，對二值圖像的處理已經(jīng)不能滿足數(shù)字圖像處理日新月異的變化需要，而對高分辨率 圖像的處理已成為圖像工程中的迫切需要解決的問題。但是對高分辨率的多值圖像進行處理的形態(tài)學方法不同于二值形態(tài)學，它是將排序統(tǒng)計學與二值形態(tài)學有機結(jié)合起來的多值形態(tài)變換，一般稱為灰度形態(tài)學?；叶刃螒B(tài)學是二值形態(tài)學的推廣，研究的主要對像是灰度圖像。 灰度形態(tài)學理論基礎(chǔ) 灰度形態(tài)變換是建立在二值形態(tài)變換的基礎(chǔ)上的，在二值形態(tài)學中，集合的平移和交、并等變換仍然起著關(guān)鍵性的作用，但是對于圖像和結(jié)構(gòu)元素模型已經(jīng)不能僅用二值的集合表示，而用的是函數(shù)表示。所以在介紹灰度形態(tài)變換之前，先介紹一些與之相應的概念。 將 信號，向右水平移動 x ，稱移位， 其 定義 如式（ 227）所示。 )()( xzfzfx ?? （ 227） 將信號，豎直移動 y ，稱為偏移，記為 ))(( zyf ? ， 其 定義 如式（ 228）所示。 yzfzyf x ??? )())(( （ 228） 當移位和偏移同時存在時，稱為形態(tài)學平移，記為 yfx? ， 其定義如式（ 229）所示。 yxzfzyf x ???? )())(( （ 229） 假設(shè) g 和 f 分別定義在域 ][gD 和 ][fD 上的兩個信號，如果（ 1） ][][ fDgD ? ；（ 2）對][gDx?? ，有 )()( xfxg ? ，則稱 g 在 f 下方，記為 fg?? 。 f 和 g 的極小為：如果 x 在定義域的交集 ][][ gDfD ? 中，那么 )}(),(m in {)^( xgxfgf ? （ 230） f 和 g 的極大為：如果 x 在定義域的并集 ][][ gDfD ? ，那么 )}(),(m a x {))(( xgxfxxf ?? （ 231） 信號 f 對原點的反射記為 )(xf ， 其 定義 如式（ 232）所示。 )()(? xfxf ??? （ 232） 圖 210 表示了一個信號的移位 、 平移及相應的形態(tài)學平移。如果 x 在 f 的定義域內(nèi)，但在 g 的定義域外， 那么定義 )())(( xfxgf ?? 。如果 x 在 g 的定義域內(nèi)，但在 f 的定義域外， 理工大學畢業(yè)論文 12 圖 210 信號的移位、平移及相應的形態(tài)學平移 那么，定義 )())(( xgxgf ?? 。如果 x 不在 f 和 g 的定義域內(nèi)，即 x 不在 ][][ gDfD ? 之內(nèi)，則gf? 無定義。如圖 211 所示。 圖 211 信號的極大極小表示 反射的定義是參照集合在平面內(nèi)相對原點的旋轉(zhuǎn)而提出來的。如圖 212 所示，信號的反射是通過先對縱軸反射，然后對橫軸反射得到的。 圖 212 信號的反射 灰度形態(tài)學腐蝕和膨脹運算 灰度形態(tài)學是二值形態(tài)學對灰度圖像的自然擴展，其中二值形態(tài)學所用到的交 、并運算分別用極大、極小極值代替就是灰度形態(tài)學的相應運算。 理工大學畢業(yè)論文 13 利用結(jié)構(gòu)元素 b 對信號 f 的灰度膨脹記為 bf? ，其 定義如式 233 所示。 )}),()(),(|),(),(m a x {),)(( DbyxDytxsyxbytxsftsbf f ????????? 和 （ 233） 式中， fD 和 bD 分別是 f 和 b 的定義域。這里限制 )( xs? 和 )( yt? 在 f 的定義域之內(nèi)，類似于二值膨脹定義中要求兩個運算集合至少有一個 (非零 )元素相交。式 （ 233） 與 2D 卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用 max(極大 )替換了卷積中的求和 (或積分 )，用加法替換了卷積中的相乘。膨脹灰度圖像的結(jié)果是，比背景亮的部分得到擴張，而比背景暗的部分受到收縮。 在 1D 中膨脹的定義表達式將簡化為 如式（ 234）所示的形式。 })(|)()(m a x { [))(( bf DxDxsxbxsfsbf ??????? 和 （ 234） 在此利用了結(jié)構(gòu)元素的反射，求將信號限制在結(jié)構(gòu)元素的定義域內(nèi)時，上推結(jié)構(gòu)元素使其原點超過信號時最小值，即為該點的膨脹結(jié)果。 與二值情況一樣，灰度腐蝕也可用灰度膨脹的對偶運算來定義。 利用結(jié)構(gòu)元素 b 對信號 f 的灰度腐蝕記為 bf? ，其定義 如式（ 235）所示。 )}),()(),(|),(),(m i n {),)(( bf DyxDytxsyxbytxsftsbf ????????? 和 （ 235） 式中， fD 和 bD 分別是 f 和 b 的定義域。這里限制 )( xs? 和 )( yt? 在 f 的定義域之內(nèi)，類似于二值膨脹定義中要求兩個運算集合至少有一個 (非零 )元素相交。式 （ 232） 與 2D 卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用 min(極小 )替換了卷 積中的求和 (或積分 )，用加法替換了卷積中的相乘。膨脹灰度圖像的結(jié)果是，比背景暗的部分得到擴張，而比背景暗的部分受到收縮。 在 1D 中腐蝕的定義表達式將簡化 為如式（ 236）所示的形式。 })(|)()(m i n { [))(( bf DxDxsxbxsfsbf ??????? 和 （ 236） 從幾何角度講，為了求出信號被結(jié)構(gòu)元素在點 x 腐蝕的結(jié)果，可以在空間滑動這個結(jié)構(gòu)元素，使其原點與 x 點重合，然后上推結(jié)構(gòu)元素，使其處于信號下方所能達到的最大值，即為該點的腐蝕結(jié)果。結(jié)構(gòu)元素必須在信號下方，故空間平移結(jié)構(gòu)元素的定義域必為信號定義域的子集。否則腐蝕在該點 沒有定義。 圖 213 灰度圖像的膨脹和腐蝕變換 圖 213 描述了這兩種變換。其中 (1)是結(jié)構(gòu)元素； (2)是原始信號； (3)是灰度腐蝕后的結(jié)理工大學畢業(yè)論文 14 果； (4)是灰度膨脹后的結(jié)果。從圖 213 可以看出，灰度腐蝕與二值腐蝕之間的一個基本關(guān)系：被灰度腐蝕信號的定義域等于利用結(jié)構(gòu)元素的定義域作為結(jié)構(gòu)元素，再對信號的定義域作二值腐蝕所得的結(jié)果?；叶扰蛎浥c二值膨脹之間也有類似關(guān)系?？磮D 213，其效果相當于半圓形結(jié)構(gòu)元素在信號的下面 ―滑動 ‖時，其圓心 畫 出的軌跡。但是這里存在一個限制條件，即結(jié)構(gòu)元素必須在信號曲線的下面平移。 從圖中不難看出，半圓形結(jié)構(gòu)元素從信號的下面對信號產(chǎn)生濾波作用，這與圓盤從內(nèi)部對二值圖像濾波的情況是相似的。 灰度膨脹和腐蝕除了具有前面逐點定義的形式外，還有的全局定義的形式 ，其分別如式（ 23