42直線與圓的位置關(guān)系1(編輯修改稿)
2025-01-08 12:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 . （ 1）證明：不論 m 取什么實(shí)數(shù)，直線 l 與圓恒交于兩點(diǎn)； （ 2）求直線被圓 C 截得的弦長最小時(shí) l 的方程 . 剖析：直線過定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得 . （ 1）證明： l 的方程（ x+y－ 4） +m（ 2x+y－ 7） =0. 2x+y－ 7=0， x=3， x+y－ 4=0， y=1， 即 l 恒過定點(diǎn) A（ 3， 1） . ∵圓心 C（ 1， 2），｜ AC｜＝ 5 ＜ 5（半徑）， ∴點(diǎn) A 在圓 C 內(nèi)，從而直線 l 恒與圓 C 相交于兩點(diǎn) . （ 2）解：弦長最小時(shí)， l⊥ AC，由 kAC＝－ 21 ， ∴ l 的方程為 2x－ y－ 5=0. 評(píng)述：若定點(diǎn) A 在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？ 思考討論 得圓上兩點(diǎn)， ∵ m∈ R，∴ 得 求直線過定點(diǎn)，你還有別的辦法嗎？ ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) （ x－ 3） 2＋（ y+5） 2＝ r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線 4x－ 3y=2 的距離等于 1，則半徑 r 的范圍是 A.（ 4， 6） B.［ 4， 6） C.（ 4， 6］ D.［ 4， 6］ 解析：數(shù)形結(jié)合法解 . 答案： A 2.（ 2021 年春季北京）已知直線 ax+by+c=0（ abc≠ 0）與圓 x2+y2=1 相切，則三條邊長分別為｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜的三角形 解析：由題意得22|00| ba cba ? ???? =1，即 c2=a2+b2，∴由｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜構(gòu)成的三角形為直角三角形 . 答案： B 3.（ 2021 年春季北京， 11）若圓 x2+y2+mx－ 41 =0 與直線 y=－ 1 相切，且其圓心在 y 軸的 左側(cè)，則 m 的值為 ____________. 解析：圓方程配方得（ x+ 2m ） 2+y2= 412?m ，圓心為（－ 2m ， 0） . 由條件知－ 2m 0，即 m0. 又圓與直線 y=－ 1 相切，則 0－（－ 1） =4 12?m，即 m2=3，∴ m= 3 . 答案： 3 4.（ 2021 年福建， 13）直線 x+2y=0 被曲線 x2+y2－ 6x－ 2y－ 15=0 所截得的弦長等于____________. 解析：由 x2+y2－ 6x－ 2y－ 15=0，得（ x－ 3） 2+（ y－ 1） 2=25. 知圓心為（ 3， 1）， r=5. 由點(diǎn)（ 3， 1）到直線 x+2y=0 的距離 d=5|23| ?= 5 . 可得 21 弦長為 2 5 ，弦長為 4 5 . 答案： 4 5 A（－ 3， 3）發(fā)出的光線 l 射到 x 軸上，被 x 軸反射，其反射光線所在的直線與圓 x2＋ y2－ 4x－ 4y＋ 7＝ 0 相切，求光線 l 所在直線的方程 . 解：圓（ x－ 2） 2＋（ y－ 2） 2＝ 1 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱方程是（ x－ 2） 2＋（ y＋ 2） 2＝ 1. 設(shè) l
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