【文章內(nèi)容簡介】 ,1 ? 之一，故rnr A1??為必然事件，即 11 ??????? ? rnr AP ? ， 也就是 12121 2 ??????? ?? ??rnnrn rnC 令 rnk ?? , 則 ,1,1,0 ?? nk ? 所以 12110 ??????? ??? ??knnkk knC 或 .22110??? ? ?nknkk knC 例 2 證明組合恒等式當(dāng) nk? 時(shí)， 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 9 ? ? 11112111 121 ??????? ??????????? ???????? ? ? knnnknkn nnCnCnC ? 證明 我們 建立 如下概率模型： 設(shè)有 k 張卡片 ，等可能地投入 n個(gè)箱子，求每一個(gè)箱子中至少有一張卡片 的概率 . 記事件 B 為 每一 箱子中至少有一張卡片 事件 iA 為第 i個(gè)箱子中沒有卡片 （ ni ,2,1 ?? ） 則 nAAAAB ????? 321? 根據(jù)容斥原理，得 ? ? ? ?1 2 3 nP B P A A A A? ? ? ? ? ????? ? ?? ?ni nii ii AAPAP1 1121 21 ? ? ? ? ? ? ? ?nnniii iiiiiin AAAPAAAPnnn ????2111 11121 121121??? ???? ???? 因?yàn)?? ? ? ? kkki nnnAP ?????? ???? 111 （ ni ,2,1 ?? ） ? ? ? ? kk kii nnnAAP ?????? ???? 21221 (對(duì)任意的 21 ii? ) 依次類推，對(duì)任意的 niii ??? ?21 ，我們有 ? ?? ?? ?knkiiikiiinnAAAPnnAAAPnAAAPn?????????????? ????????????1113121121321???? 于是 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 10 ? ?? ?????????????? ???????? ??niiiikniiknininCAAPnCAP21212112112111 所以 ? ? ? ? knnnknkn nnCnCnCBP ?????? ??????????? ???????? ?? ? 1112111 121 ? 從而 ? ? ? ?BPBP ??1 即 ? ? ? ????????? ?????? ??????????? ???????? ??? ?knnnknkn nnCnCnCBP 11121111 121 ? 但是由于 nk? ,事件 B 每 一箱子中至少有一張卡片 為一不可能事件，故 0)( ?BP ,從而當(dāng) nk? 時(shí) . .111)1(2111 121 ??????? ??????????? ???????? ? ?knnnknkn nnCnCnC ? 例 3 證明組合恒等式 nnCCCC nnnnn 12321 232 ?????? ? 證明 我們構(gòu)造如下概率模型： 有一枚均勻的硬幣，我們重復(fù)投擲 n次，求它正面向上的 次數(shù)的期望 。 顯然，我們知道 )21,(~ nB? ，于是便得出： ? ? ?? ?????? nini nniknnknkCkCkkpE0 00 2)21()(?? 而且 nkk ,2,1k,0 k,1 ?????? 次試驗(yàn)反面朝上第 次試驗(yàn)正面朝上第? 所以便得到 2)()( 01 nEEE ni knk k ??? ?? ?? ??? 那么 220 nkCnnikn??? 整理后，得 nnCCCC nnnnn 12321 232 ?????? ? 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 11 第 3 章 運(yùn)用概率理論構(gòu)造 數(shù)學(xué)模型證明組合恒等式 運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征證明組合恒等式 在概率論中 ，我們可以討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征，并且通過隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望而進(jìn)一步證明一些恒等式。而運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征來證明組合恒等式就是我們依照需要被證明的組合恒等式的特點(diǎn)，然后構(gòu)造出合適的隨機(jī)變量，并且利用隨機(jī)變量的數(shù)字特征的定義，性質(zhì)來證明組合恒等式成立的方法，其中可以利用數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)方差等。利用數(shù)字特征法是證明組合恒等式的一種比較重要的方法，我們?cè)诹私饬司唧w概念后就用一系列的例子加以說明并且具體闡述，從而讓我們了解到這種方法是怎 樣的一種方法。 引理 若隨機(jī)變量 ? 的方差 )(?D ,則 )(?D = )()( 22 ?? EE ? ]1[ 引理 伯努利概型設(shè)有服從二項(xiàng)分布 ，為非負(fù)整數(shù)，其中 )n1p0(,2,1,.0},{ ????? niiA i ?? 并有 1)1( ?????nniiniin ppC ]1[ 例 1 證明組合恒等式 ????kmkmnmnmkin CCC 2 證明 當(dāng) m=1 和 m=2 時(shí)，我們可以用以下證明方法： 設(shè) ? ~b（ n， p）， 1qp10),2,1,0( ?????? ? 且pnkqpCP knkknk ? 當(dāng) m=1 時(shí)： ??? ?? nkknkkn npqpkCE0)(? 令 p=21 ，則 ????nknkn nkC112 ，也就是 ????nknnknk CCC1111 2 當(dāng) m=2 時(shí)： ?? ? ????????? nk knkkn npqPCkkEEEE 12 )1()()]1([])1([)( ??????? 根據(jù)公式 )(?D = )()( 22 ?? EE ? ，從而得出 ??????? nknkn nnCkknpq222)1()1( 令 p=21 ，則 ??????nknkn nnCkk222)1()1( 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 12 以上兩個(gè)是特例，它的一般性情況證明如下： 運(yùn)用推廣的伯努利概型和多項(xiàng)式分布，我們構(gòu)造如下概率模型： 設(shè)一個(gè)盒子中有紅黃白三種顏色的卡片若干，每次隨機(jī)抽取一張，取后放回，這樣連續(xù)做 n次， 1p 和 2p 表示每次抽取紅色卡片與黃色卡片的概率， 1? 和 2? 表示每次抽到的紅色卡片與黃色卡片的次數(shù)。于是（ 1? ， 2? ）服從多項(xiàng)分布，其分布律為 jinjiji ppppjinji njiP ????????? )1()!(!! !},{ 2121?? 令 21,4121 ?? pp，則聯(lián)合分布率為： 122 1)!(!! !},{ ??????? nji jinji njiP ?? 它的邊緣分布為： ??? ????mni mipmP 0 212 },{)( ??? 同時(shí) nmnmnmmn CCmPnB 21)21()21()(),21,(~ 22 ??? ??? 因?yàn)槎囗?xiàng)分布的邊緣分布是二項(xiàng)分布，從而兩式相等，也就是： mnmnimni imimn CCC ??? ??? ? 20 所以證得原組合恒等式 ????kmkmnmnmkin CCC 2成立。 例 2 證明組合恒等式 ??? ??? ????11 11 1 1mi i mnminmnCC 證明 我們利用隨機(jī)變量的數(shù)字特征，構(gòu)造出一下概率模型： 設(shè)一個(gè)盒子中裝有 n張白色卡片， m張黑色卡片，一張接一張地將卡片取出，直到取出白色卡片為止，求平均要取多少張卡片。 這是求一個(gè)隨機(jī)變量 X 的期望值： 記事件 { iX? }={取出的前 i1 張卡片全是黑色卡片 }， 令??? ?? )(0 )(1 iX iXXi ?，那么 xXXXxixixi ixi ii i ????? ??????????????? 11100 01 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 13 由于 iX 非負(fù)，所以 ? ?? ???? ???? ???? 1!1 110 )()( imi i mnimxi i CCiXPXEEX 但是我們可以將 EX 更簡單的表示形式計(jì)算出來，于是我們假設(shè)已經(jīng)把所有的mn? 張卡片從盒子中取出來了，同時(shí)令 1X 表示第一張白色卡片之前的黑色卡片張數(shù) ,? 最后 1?nX 表示最末一張白色卡片之后的黑色卡片張數(shù)，根據(jù) 1X 的定義： mExExExmXXX nn ??????? ?? !21121 , ?? 在考慮 121 , ?nxxx ? 的聯(lián)合分布為 P{ 112211 , ?? ??? nn iXiXiX ?}=)!( !!mn mn?，其中 121 , ?niii ? 是非負(fù)整數(shù)，它們的和為 m。 這是因?yàn)閺暮兄腥〕龅?mn? 張卡片一共有 )!( mn? 種可能方法。而且，取出的先是 1i 張黑色卡片，接著是一張白色卡片，再接著是 2i 張黑色卡片，接著又是一張白色卡片等等，很明顯，共有 !!mn 種可能方式。因此，就可以得到上述式子。 于是我們可以得到： 121 , ?mXXX ? 的聯(lián)合分布是 121 , ?niii ? 的對(duì)稱函數(shù)，所以對(duì)任意 n個(gè)變量求和，所得到的結(jié)果是相同的，于是我們知道 ix 的邊緣分布相同。從而 1 111]1[),1,2,1(1 ? ???????????? n mnn mXEXnin mEX ii ? 于是我們得出 ??? ??? ????11 11 1 1mi i mnminmnCC 如果采用分析學(xué)的方法來證明這個(gè)組合恒等式是非常難的，所以我們采用數(shù)字特征法來證明。 例 3 證明組合恒等式 ????nknkn nkC112 , ?????nknkn nnCk122 2)1( . 證明 我們可以 考慮下列隨機(jī)變量的數(shù)字特征 . 設(shè)一名籃球運(yùn)動(dòng)員在條件相同下向同一籃筐投籃 n 次，每次進(jìn)球的概率為21 ， 考慮“投進(jìn)籃筐次數(shù)”這個(gè)隨機(jī)變量 X 的數(shù)字特征 . 記 ???? 次沒有進(jìn)籃筐第 次投進(jìn)籃筐第 kkX k ,0,1 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 14 則 nXXXX 、 ?321 獨(dú) 立 同 為 二 點(diǎn) 分 布 ： ? ? ? ?2101 ???? ii XPXP（ ni ,2,1 ?? ） , 且 nXXXX ???? ?21 服從二項(xiàng)分布 B(n,21) 所以 EEX? ( nXXX ??? ?21 )= ? ? ? ?? ?? ? ???nknkknXPXE1 1 1 21 ? ? ? ? ? ? ? ??? ???????nk knnXnDXDXXXDXD1 121 4? 而 ? ? ? ? ???? ???nkknnnk kCkXkPXE 10 21 ? ?? ?nkknn nkC1 221 即 ????nknkn nkC112 又 ? ? ? ?? ?? ????nknkknn CkkXPkXE0 1222 21 ? ? ? ? ? ?XEXDXE 22 ?? ? ?? ????????nkknn nnCk1222421 即 ?????nknkn nnCk122 2)1( 例 4 證明組合恒等式 ?? ?? ?rkr nmkrnkm CCC0 證明 考察從由 mn? 個(gè) 大人 和 n 個(gè) 孩子 組成的 家庭隊(duì)伍中 選取 1?r 個(gè) 人 參加 親子 比賽的問題 . 所選 1?r 個(gè)