【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1．(2009新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，已知DABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H，208。B=60o，F(xiàn)在AC上，且AE=AF。（I）證明：B,D,H,E四點(diǎn)共圓；（II）證明：CE平分208。DEF。2.(2010新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，已知圓上的 弧AC和 弧BD長(zhǎng)度相等，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：（I）∠ACE＝∠BCD；（II）BC2＝BECD.－ 1 －3.(2011新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，D，E分別為DABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與DABC的頂點(diǎn)重合．已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x214x+mn=0的兩個(gè)根．（I）證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓（II）若208。A=900，且m=4,n=6求C，B，D，E所在圓的半徑．4.(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF//：(Ⅰ)CD=BC；(Ⅱ)△BCD∽△GBDGF－ 2 －5.(2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)已知如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，208。ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D。（Ⅰ）證明：DB=DC；（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為1，BC，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求DBCF外接圓的半徑。6.(2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BCAE＝DCAF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．（Ⅰ）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；（Ⅱ）若DB＝BE＝EA，求過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．－ 3 －7.（2013遼寧高考）如圖，AB為圓O的直徑，直線CD與圓O相切于E, AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE,：(I)208。FEB=208。CEB。(II)EF2=AD.（2013江蘇高考）如圖,AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D,C,AC經(jīng)過圓心O,且BC=:AC=2AD.－ 4 －幾何證明選講高考題匯編參考答案1．解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)椤螧=60176。，所以∠BAC+∠BCA=120176。.因?yàn)锳D,CE是角平分線，所以∠HAC+∠HCA=60176。，故∠AHC=120于是∠EHD=∠AHC=120176。.因?yàn)椤螮BD+∠EHD=180176。，所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓。（Ⅱ）連結(jié)BH，則BH為208。ABC的平分線，得208。HBD=30176。 由（Ⅰ）知B，D，H，E四點(diǎn)共圓，所以208。CED=208。HBD=30176。 又208。AHE=208。EBD=60176。，由已知可得EF^AD，可得208。CEF=30176。所以CE平分208。DEF:（Ⅰ）因?yàn)榛B,CD長(zhǎng)度相等，所以208。BCD=，故208。ACE=208。ABC所以208。ACE=208。BCD.……5分（Ⅱ）因?yàn)?08。ECB=208。CDB,208。EBC=208。BCD, 所以DBDC∽DECB,故BCBE=CDBC.即BC2=BE180。:（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，ADAB=mn=AEAC，即ADAC=AEAB.又∠DAE=∠CAB，從而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓。（Ⅱ）m=4，n=6時(shí)，方程x214x+mn=0的兩根為x1=2，x2==2，AB=，DB的中點(diǎn)F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，∠A=900，故GH∥AB，HF∥=AG=5，DF=2(122)=，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為52－ 5 －4．解:(1)證明：連結(jié)DE，∠ABE＝∠∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝⊥BE，所以DE為直徑，∠DCE＝90176。，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂線，所以BG＝.設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，則∠BOG＝60176。.從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30176。，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于32.：(1)因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠BCFA=DCEA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90176。.所以∠CBA＝90176。，因此CA是△ABC外接圓的直徑．(2)連結(jié)CE，因?yàn)椤螩BE＝90176。，所以過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DBBA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝＝DBDA＝3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為12.－ 6 －7解(I)由直線CD與圓O相切于E,得208。EAB=208。CEB 由AB為圓O的直徑，得AE^EB，從而208。EAB+208。EBF=p又EF垂直AB于F，得208。FEB+208。EBF=p，從而208。FEB=208。CEB(II)由BC垂直CD于C，得BC^CE又EF垂直AB于F222。EF^AB，208。FEB=208。CEB，BE為公共邊，所以RtDBCE≌RtDBFE，所以BC=BF同理可證，RtDADE≌RtDAFE，所以AD=AF又在Rt△AEB中, EF^AB,所以EF2=AF，EF2=AD：,C, 所以∠ADO=∠ACB=90176。.又因?yàn)椤螦=∠A,所以Rt△ADO∽R(shí)t△BCOD=ACAD,又BC=2OC=2OD, 故AC=平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。相似三角形的判定：定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。－ 7 －由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮6個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形：相似的簡(jiǎn)單方法：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。