北師大版選修2-1高中數(shù)學26距離的計算練習題(編輯修改稿)
2025-01-08 00:16 本頁面
【文章內容簡介】 為 1， O 是 A1C1的中點 ， 則 O到平面 ABC1D1的距離為 ( ) A． 32 B． 24 C． 12 D． 33 [答案 ] B [解析 ] 以 DA→ 、 DC→ 、 DD1→ 為正交基底建立空間直角坐標系，則A1(1,0,1)， C1(0,1,1)， C1O→ ＝ 12C1A1→ ＝ ?? ??12，－ 12， 0 ，平面 ABC1D1的法向量 DA1→＝ (1,0,1)，點 O到平面 ABC1D1的距離 d＝ |DA1→ C1O→ ||DA1→ |＝122＝24 . 2． 已知平面 α的一個法向量 n＝ (－ 2，－ 2,1)， 點 A(－ 1,3,0)在 α內 ， 則 P(－ 2,1,4)到 α的距離為 ( ) A． 10 B． 3 C． 83 D． 103 [答案 ] D [解析 ] PA→ ＝ (1,2，－ 4)，又平面 α的一個法向量為 n＝ (－ 2，－ 2,1)，所以 P到 α的距離為 |PA→ n|n||＝ |－ 2－ 4－ 4|3 ＝ 103 . 3． 空間四點 A、 B、 C、 D每兩點的連線長都等于 a， 動點 P 在線段 AB上 ， 動點 Q 在線段 CD上 ， 則點 P到 Q的最小距離為 ( ) A． a2 B． 22 a C． 32 a D． 62 a [答案 ] B [解析 ] 如圖，求 PQ的最小值，需先將 PQ表示出來，再用代數(shù)方法確定最值 ． 由題設可知， AB→ 、 AC→ 、 AD→ 兩兩夾角均為 60176。. 設 PA→ ＝－ λAB→ ， DQ→ ＝ μDC→ ，則 PQ→ ＝ PA→ ＋ AD→ ＋ DQ→ ＝－ λAB→ ＋ AD→ ＋μ(AC→ － AD→ )＝－ λAB→ ＋ (1－ μ)AD→ ＋ μAC→ . ∴ |PQ→ |2＝ λ2AB2→ ＋ (1－ μ)2AD2→ ＋ μ2AC2→ ＋ 2λ(μ－ 1)AB→ AD→ ＋ 2(1－ μ)μAD→ AC→ － 2λμAB→ AC→ ＝λ2a2＋ a2－ 2μa2＋ μ2a2＋ μ2a2＋ λμa2－ λa2＋ μa2－ μ2a2－ λμa2＝ a2(λ2＋ μ2－ μ－ λ＋ 1)＝ a2[(λ－ 12)2＋ (μ－ 12)2＋ 12]≥ a22.∴ |PQ→ |≥ 22 A． 4． 已知平面 α∥ 平面 β， 線段 AB、 CD夾在 α、 β之間 ， AB＝ 13， CD＝ 5 5， 且它們在β內的射影之差為 2， 則 α和 β之間的距離為 ( ) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 [答案 ] C [解析 ] 如圖所示，設 A、 C在平面 β上的射影為 A′ 、 C′ ，則設 α、 β之間的距離 AA′＝ CC′ ＝ a，且 BA′ 、 DC′ 分別為 AB、 CD在 β內的射影 ． 在 Rt△ AA′ B中， AB＝ 13， 則 A′ B＝ AB2－ AA′ 2 ＝ 132－ a2. 在 Rt△ CC′ D中， CD＝ 5 5， 則 C′ D＝ CD2－ C′ C2＝ 125－ a2. 又 ∵ C′ D與 A′ B相差為 2，即 A′ B－ C′ D＝ 132－ a2－ 125－ a2＝ 2， ∴ a＝ 5， ∴ 平面 α和 β之間的距離為 5. 二、填空題 5． 在底面是直角梯形的四棱錐 P－ ABCD中 ， 側棱 PA⊥ 底面 ABCD， BC∥ AD， ∠ ABC＝ 90176。， PA＝ AB＝ BC＝ 2， AD＝ 1， 則 AD到平面 PBC的距離為 ________________． [答案 ] 2 [解析 ] 由已知 AB， AD， AP兩兩垂直 ． ∴ 以 A為坐標原點 AB、 AD、 AP分別為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標系，則 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2,2
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