【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 N 為數(shù)字圖像矩陣的階。 將 Arnold 變換應(yīng)用在數(shù)字圖像上 ,可以通過(guò)像素坐標(biāo)的改變而改變圖像灰度值的布局，把數(shù)字圖像看作一個(gè)矩陣，則經(jīng) Arnold 變換變換后的圖像會(huì)變得“混亂不堪” ,這就是圖像置亂的概念。 現(xiàn)有算法 對(duì)于二維 Arnold 變換 非 正方形圖像現(xiàn)在只有兩種算法。算法一將非等長(zhǎng)圖像擴(kuò)展為正方形圖像 ,算法二是將 Arnold 變換推廣后 ,找到一種 高寬 滿足一定條件的非等長(zhǎng)圖像 可運(yùn)用 Arnold 變換 進(jìn)行圖像置亂處理。 算法一：基于擴(kuò)充圖像的方法 一般地， Arnold 變換都是對(duì)正方形圖像進(jìn)行處理。對(duì)于非等長(zhǎng)圖像，由于長(zhǎng)度和寬度不相等，分別對(duì)長(zhǎng)度和寬度的模運(yùn)算就不一樣了，所以 在此處 Arnold變換就不 再是 一一映射。因此 ,孔濤在文獻(xiàn) [8]中提出 把矩形圖像轉(zhuǎn) 化為正方形圖像，其基本思想是：把原來(lái)的矩形圖像擴(kuò)充成正方形圖像 ,然后再用 Arnold 變 換進(jìn)行圖像置亂。如果長(zhǎng)度大于寬度 ,則按長(zhǎng)度的大小擴(kuò) 充成正方形圖像；如果寬度大于長(zhǎng)度 ,則按寬度大小擴(kuò)充成正方形圖像， 見圖 。 呂梁高等?？茖W(xué)校 2021 屆畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 5 圖 算法二：基于二維 Arnold 變換推廣式的方法 二維 Arnold 變換的推廣 李永逵 ,馮喬生等人在文獻(xiàn) [10]中 將二維等長(zhǎng) Arnold 變換推廣以 適用 非等長(zhǎng)圖像。 定義 2 設(shè)圖像矩陣大小為 MN? ，像素坐標(biāo)為 (, )xy ，且 0,1,2, , 1xM??… ，0,1, 2, , 1yN??… 。若 ( , )xy 映射為 ( , )xy??滿足式（ 2），則稱為二維非等長(zhǎng)圖像置亂變換。 11 m o d12x x My y N?? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） 推廣式的周期存在性問(wèn)題 通過(guò) 二維等長(zhǎng) Arnold 變換和 二維非等長(zhǎng)圖像置亂變換的定義發(fā)現(xiàn) ,對(duì)于非等長(zhǎng)圖像若 想直接運(yùn)用 Arnold 變換將圖像置亂，就必須使得周期存在 ,而對(duì)于非等長(zhǎng) Arnold 變換周期 存在必須滿足一定的條件。 定理 1 二維非等長(zhǎng)置亂變換周期存在，當(dāng)且僅當(dāng)像素矩陣所有元素，按式（ 2）一次迭代后，映射為新像素矩陣的不同元素。 [9] 定理 2 設(shè)像素矩陣為 MN? 維，對(duì)于所有不同為 0 的整數(shù) 12,ll，若式（ 3）和式（ 4）不同時(shí)成立 ,則二維非等長(zhǎng)圖像置亂變換周期存在。 [9] 122l M l N M?? （ 3） 12l M l N? ?? （ 4） 定理 3 二維非等長(zhǎng) Arnold 變換周期存在的充要條件是 M/N 為整數(shù)或 N/M 為奇數(shù)。 [10] 邵利平 ,覃征等人在文獻(xiàn) [910]中對(duì) 上述三個(gè)定理進(jìn)行了詳細(xì)的證明 ,這里基于二維 Arnold變換非等長(zhǎng)數(shù)字圖像置亂算法研究 6 就不在進(jìn)行證明了。 現(xiàn)有算法中的不足 算法一把非等長(zhǎng)圖像擴(kuò)充為等長(zhǎng)圖像則 改變了圖像的屬性 。算法二 當(dāng)所取M,N 值滿足充要條件時(shí)周期都存在。而當(dāng)所取 M,N 值不滿足充要條件時(shí)，都求不出周期 ,當(dāng)然更無(wú)法進(jìn)行圖像置亂變換了。當(dāng) M 和 N 值不滿足充要條件時(shí) ,便可能存在兩點(diǎn)同時(shí)映射到一點(diǎn)，這樣變換周期就不存在了。 基于區(qū)域劃分方法的非等長(zhǎng)數(shù)字圖像置亂 由于 Arnold 變換只能用于正方形圖像置亂，對(duì)于不滿足一一映射關(guān)系的非正方形圖像 并不能直接運(yùn)用 Arnold 變換實(shí)現(xiàn)圖像置亂 ,為了使 MN? 的非正方形圖像能用 Arnold 變換對(duì)圖像實(shí)現(xiàn)置亂 ,就必須將 MN? 的非等長(zhǎng)圖像劃分成多個(gè)正方形圖像 ， 再 運(yùn)用 Arnold 變換對(duì)圖像進(jìn)行置亂 ,如何 對(duì) 非正方形圖像 進(jìn)行是下面 將要 討論 的問(wèn)題。 劃分算法 對(duì)于 MN? 的非等長(zhǎng)圖像， 若 NM? ， 當(dāng) 1MN???????時(shí)，把 ()M N N M??的非等長(zhǎng)圖像劃分為一個(gè) NN? 和 ()M N N??的兩部分圖像（見圖 ） ,運(yùn)用Arnold 變換將第一部分 NN? 的圖像置亂后，發(fā)現(xiàn)第二部分 ()M N N??的圖像將無(wú)法運(yùn)用 Arnold 變換進(jìn)行置亂（見圖 ），為了將 ()M N N??這一部分圖像運(yùn)用 Arnold 變換置亂 ,只有將 ()M N N??的圖像補(bǔ)成 NN? 的正方形圖像。如果在圖像后面將其補(bǔ)成 NN? 的正方形圖像，則就改變了圖像的屬性 ,所以 從 前面NN? 的正方形圖像中截取一部分圖像將 ()M N N??的圖像補(bǔ)成 NN? 的正方形圖像。這樣就可以運(yùn)用 Arnold 變換對(duì) 第二部分 圖像進(jìn)行置亂 ,從而達(dá)到全局置亂的效果。 （見圖 ）。 當(dāng) MN???????2時(shí)，將圖像劃分成 NN? 和 ()M N N??的兩部分圖像（見圖）。同樣第一部分可以直接運(yùn)用 Arnold 變換 ,第二部分則為上述 1 的情形，那么可以用上述 1 的方法對(duì)圖像進(jìn)行置亂（見圖 ）。我們發(fā)現(xiàn)圖像置亂后有明呂梁高等?？茖W(xué)校 2021 屆畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 7 顯的區(qū)域性。 這是由于第一部分的點(diǎn)在置 亂后還在第一部分，不會(huì)出現(xiàn)在第二部分。同理，第二部分的點(diǎn)在置亂后也還在第二部分中而不可能出現(xiàn)在第一部分中。為了使得 MN? 的圖像在置亂后沒(méi)有區(qū)域性，現(xiàn)把第 一部分置亂后的一些點(diǎn)放在第二部分進(jìn)行置亂。這樣 MN? 的非等長(zhǎng)圖像以 第二部分和前一部分有一定的重合區(qū)域的方式進(jìn)行劃分，直到把 MN? 的非等長(zhǎng)圖像 置亂完全為止（見圖 ）。 圖 圖 圖 圖 圖 圖 當(dāng) M N??????2時(shí)， 為了將 MN? 的非等長(zhǎng)圖像進(jìn)行全局置亂且沒(méi)有區(qū)域性，就按照上述 2 的方法，先從短邊的始端劃分一個(gè) NN? 的正方形圖像運(yùn)用 Arnold變換 將圖像置亂， 接著 從第二部分開始每部分將和前一部分有一定的重合區(qū)域的方式進(jìn)行劃分， 依次運(yùn)用 Arnold 變換 講話份額正方形圖像置亂， 直到把 MN? 的非等長(zhǎng)圖像 置亂完全為止（見圖 ）。 圖 用上述 方法對(duì)圖像進(jìn)行劃分 ,重合區(qū)域 有很多種情況， 即原圖像可以劃分出M N N N N MN N N MN N N N MN N N N N MN N MN N N N N N 基于二維 Arnold變換非等長(zhǎng)數(shù)字圖像置亂算法研究 8 正方形圖像的個(gè)數(shù)不同。劃分出的正方形個(gè)數(shù)越少，圖像置亂所需時(shí)間也就越少。為使得圖像劃分成盡可能少的正方形 ,從而大量減少 圖像置亂所需要的時(shí)間， 當(dāng)把 非 等長(zhǎng)圖像劃分 為 1MN???????個(gè)正方形 圖像時(shí)，置亂所需 的時(shí)間 是 最少。 以短邊 N 為邊長(zhǎng) 的 劃分成 1MN???????個(gè) NN? 正方形 圖像 。設(shè)每個(gè)正方形 圖像之間重合長(zhǎng)度為 X，則可列方程為： 1MMM N XNN??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 其中 MN??????表示的是不超過(guò) M/N 的最大整數(shù)， 1M NN??????????????表示進(jìn)行 1MN???????正方形所需的長(zhǎng) , M XN???????表示一共所需的重合的長(zhǎng)度。求得 ()MNXNMN?????????。 置亂恢復(fù) 二維 Arnold 變 換 的 周 期 性 是 一 個(gè) 很 好 的 性 質(zhì) ,當(dāng) 反 復(fù) 應(yīng) 用Arnold 變換時(shí) ,在某一時(shí)刻就能恢復(fù)原圖。但是對(duì)于本文所提的方法有無(wú)周期性還不知道 ,從而我們選擇了另一種方法恢復(fù)非等長(zhǎng)圖像，即Arnold