【文章內(nèi)容簡介】 上進行試驗的設(shè)計。 （ 7）模擬無法看到或重現(xiàn)的場景。 有 限元法是 于 1943 年首先提出的。自從提出有限元概念以來，有限元理論及其應(yīng)用得到了迅速發(fā)展。過去不能解決或能解決但求解精度不高的問題，都得到了新的解決方案。傳統(tǒng)的 FEM 假設(shè)：分析域是無限；材料是同質(zhì)的，甚至在大部分的分析中認為材料是各向同性的；對邊界條件簡化處理。但實際問題往往是分析域有限、材料各向異性或邊界條件難以確定等。為解決這類問題，美國學(xué)者提出用 CFEM(Generalized Finite Element Method)解決分析域內(nèi)含有大量孔洞特性的問題；比利時學(xué)者早提出用 HSM 解決實際開裂問題。 FEM 在國內(nèi)的應(yīng)用也十分廣泛。自從我國成功開發(fā)了國內(nèi)第一個通用有限元程序系統(tǒng)JIGFEX 后，有限元法滲透到工程分析的各個領(lǐng)域中，從大型的三峽工程到微米級器件都采用了 FEM 進行分析，在我國經(jīng)濟發(fā)展中擁有廣闊的發(fā)展前景。 目前在進行大型復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)中的物理場分析時，為了估計并控制誤差，常用基于后驗誤差估計的自適應(yīng)有限元法?；诤筇幚矸ㄓ嬎阏`差，與傳統(tǒng)算法不同，將網(wǎng)格自適應(yīng)過程分成均勻化和變密度化兩個迭代過程。在均勻化迭代過程中，采用均勻網(wǎng)格尺寸對整華北電力大學(xué)科技學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 6 體區(qū)域進行網(wǎng)格劃分，以便得到一個合適的起始均 勻網(wǎng)格；在變密度化迭代過程中只進行網(wǎng)格的細化操作，并充分利用上一次迭代的結(jié)果，在單元所在的曲邊三角形區(qū)域內(nèi)部進行局部網(wǎng)格細化，保證了全局網(wǎng)格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的網(wǎng)格能光滑銜接，從而提高網(wǎng)格質(zhì)量。整個方案簡單易行，穩(wěn)定可靠，數(shù)次迭代即可快速收斂，生成的網(wǎng)格布局合理，質(zhì)量高。 有限單元法的基本原理 1）物理離散化 將某個工程結(jié)構(gòu)離散為由各種連結(jié)單元組成的計算模型，這一步稱作單元分剖分。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點相互連結(jié)起來。單元節(jié)點的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問題的性質(zhì)，描述變形形態(tài)要根據(jù) 需要和計算精度而定（一般情況，單元劃分越細則描述變形情況越精確，即越接近實際變形，但計算量越大）。所以有限元法中分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物質(zhì)，而是同樣的材料由眾多單元以一定方式連結(jié)成的離散物體。這樣，用有限元分析計算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結(jié)果就與實際情況符合。 2）單元特性分析 （ 1）選擇未知量模式 在有限單元法中，選擇節(jié)點位移作為基本未知量時稱為位移法；選擇節(jié)點力作為基本未知量時稱為力法；取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量時稱為混合法。位移法 易于實現(xiàn)計算自動化，所以在有限元法中位移法應(yīng)用范圍最廣。 （ 2）分析單元 [9]的力學(xué)性質(zhì) 根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系式，這是單元分析中的關(guān)鍵一步，此時需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。 （ 3）計算等效節(jié)點力 物理離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元傳遞到另一個單元。但是，對于實際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊界傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力 、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點上去，也就是用等效的節(jié)點力來替代所有作用在單元上的力。 3）單元組集 利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來，形成整體的有限元方程。 4）求解未知節(jié)點位移 求解有限元方程式得出位移。這里，可以根據(jù)方程組的具體特點來選擇合適的計算方法，以滿足有限元分析的要求。 華北電力大學(xué)科技學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 7 Workbench 軟件特點 [10] Workbench 是 ANSYS 軟件中的一個重要模塊 [11]，主要用于工程設(shè)計人員產(chǎn)品研發(fā)和設(shè)計過程所遇到的不同有限元分析問題。它具有以下特點： （ 1） 協(xié)同仿真、參數(shù)互相傳導(dǎo)功能 Workbench 是集設(shè)計、仿真、優(yōu)化、網(wǎng)格變形等眾多功能于一體，對、各種數(shù)據(jù)進行項目協(xié)同管理，使功能更加強大，并支持大多數(shù)主流 CAD、 CAE 軟件間的參數(shù)雙向傳導(dǎo)功能。 （ 2） 高級的裝配部件處理工具、先進的網(wǎng)格處理功能 能夠?qū)?fù)雜的裝配零件進行接觸關(guān)系的自動識別、接觸建模功能，使操作更加便捷，可對形狀復(fù)雜的幾何模型自動進行高質(zhì)量的網(wǎng)格劃分和處理等功能。 （ 3） 內(nèi)置可定制材料庫和強大的分析功能 軟件自身帶有可供選擇的工程材料屬性數(shù)據(jù)庫，方便操作者進行編輯、選用。支持幾乎所有的 Workbench 的有限元分析功能。 （ 4） 簡單易學(xué)、操作便捷 Workbench 公司所有軟件模塊的共同運行、協(xié)同仿真與數(shù)據(jù)管理環(huán)境使有限元分析的整體性、流程性都大大增強。實際上， Workbench 中的有限元仿真分析采用的方法如單元類型、求解器、結(jié)果處理方式等與 ANSYS 經(jīng)典界面是一樣的，只不過 Workbench 采用了更加工程化的方式來適應(yīng)操作者，使操作更為便捷。 Workbench 的靜力分析功能 靜力分析 [12]可分為線性靜力分析和非線性靜力分析，既可以是線性的也可以是非線性的。非線性靜力分析包括所有的非線性類型： 大變形、塑性、蠕變、應(yīng)力剛化、接觸（間隙）單元、超彈性單元等。從結(jié)構(gòu)的幾何特點上講，無論是線性的還是非線性的靜力分析都可以分為平面問題、軸對稱問題和周期對稱問題及任意三維結(jié)構(gòu)。 靜力分析的定義：靜力分析計算在固定不變的載荷作用下結(jié)構(gòu)的效應(yīng)，它不考慮慣性和阻尼的影響，如結(jié)構(gòu)隨時間變化載荷的情況?？墒?，靜力分析可以計算那些固定不變的慣性載荷對結(jié)構(gòu)的影響（如重力和離心力），以及那些可以近似為等價靜力作用的隨時間變化的載荷（如建筑規(guī)范中所定義的等價靜力風(fēng)載和地震載荷）。線性分析是指在分析過程中結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)和載荷參 數(shù)只發(fā)生微小的變化，以至可以把這種變化忽略，而把分析中的所有非線性項去掉。 靜力分析中的載荷：靜力分析用于計算由那些不包括慣性和阻尼效應(yīng)的載荷作用于結(jié)構(gòu)或部件上引起的位移、應(yīng)力、應(yīng)變和力。固定不變的載荷和響應(yīng)是一種假定：即假定載荷和結(jié)構(gòu)的響應(yīng)隨時間的變化非常緩慢。 靜力分析所施加的載荷包括以下幾種： 1）外部施加的作用力和壓力。 華北電力大學(xué)科技學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 8 2）穩(wěn)態(tài)的慣性力。 3）位移載荷。 4）溫度載荷。 Workbench 的接觸算法及分析功能 接觸問題是一種高度非線性行為，需要較大的計算資源，為了進行實為有效的計算，理 解問題的特性和建立合理的模型是很重要的。 接觸問題存在兩個較大的難點：其一，在求解問題之前，并不知道接觸區(qū)域，表面之間是接觸分開是未知的、突然變化的，這隨載荷、材料、邊界條件和其他因素而定。其二，大多的接觸問題需要計算摩擦，有幾種摩擦和模型供選擇，它們都是非線性的，摩擦使問題的收斂性變得困難。 接觸問題分為兩種基本類型：剛體 — 柔體的接觸，柔體 — 柔體的接觸，在剛體 — 柔體的接觸問題中，接觸面的一個或多個被當(dāng)做剛體，（與它接觸的變形體相比，有打得多的剛度），一般情況下，一種軟材料和一種硬材料接觸時，問題可以被假定 為剛體 柔體的接觸，許多金屬成型問題歸為此類接觸。另一類，柔體 柔體的接觸，是一種更普遍的類型，在這種情況下，兩個接觸體都是變形體。 Workbench 的接觸分析功能與其它有限元軟件相比有了很大的進步。 Workbench 中的接觸單元有：點 — 點接觸單元、點 — 面接觸單元和面 — 面接觸單元。面 面接觸單元是近年來開發(fā)的，實現(xiàn)了真正意義的接觸分析。 點 — 點接觸單元主要用于模擬點 — 點的接觸行為。為了使用點 — 點的接觸單元，需要預(yù)先知道接觸位置，這類接觸問題只能適用于接觸面之間有較小相對滑動的情況。如果兩個面上 的結(jié)點一一對應(yīng)，相對滑動又可以忽略不計，兩個面撓度（轉(zhuǎn)動）保持小量，那么可以用點 — 點的接觸單元來求解面 — 面的接觸問題。過盈裝配問題是一個用點 — 點的接觸單元來模擬面 面的接觸問題的典型例子。 點 — 面接觸單元主要用于給點 — 面的接觸行為建模，例如兩根梁的相互接觸。面既可以是剛性體也可以是柔性體，這類接觸問題的一個典型例子是插頭插到插座里。使用這類接觸單元，不需要預(yù)先知道確切的接觸位置，接觸面之間也不需要保持一致的網(wǎng)格，并且允許有大的變形和大的相對滑動。 面 — 面的接觸單元，剛性面被當(dāng)作“目標(biāo)”面，分別用 Targe169 和 Targe170 來模擬 2— D 和 3— D 的“目標(biāo)”面，柔性體的表面被當(dāng)做“接觸”面，用 Conta171， Conta172，Conta173， Cont,174 來模擬。一個目標(biāo)單元和一個接觸單元叫做一個“接觸對”，程序通過一個共享的實常號來識別“接觸對”。為了建立一個“接觸對”，給目標(biāo)單元和接觸單元指定相同的實常數(shù)號。 Workbench 中求解接觸問題時它能把可能要發(fā)生接觸的所有位置重疊成接觸單元，首先求解局部的接觸單元的剛度矩陣，然后把該剛度矩陣疊加到相對應(yīng)的實體單元的節(jié)點華北電力大學(xué)科技學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 9 上，在對整體平衡方程進行求解。 這一方法有效減少了接觸范圍的搜索、判定的范圍，提高了工作效率。 Workbench 中求解接觸問題的算法 [13]主要有罰函數(shù)法、接觸法向和切向的純拉格朗日乘子法、增廣拉格朗日法。 （ 1）罰函數(shù)法 實際接觸體不會發(fā)生穿透，因此在 Workbench 中，必須在接觸的兩個面之間建立一種關(guān)系，防止面之間穿透。當(dāng) Workbench 程序防止接觸面之間穿透時，稱為強制接觸協(xié)調(diào)。罰函數(shù)方法就是用一種近似的接觸問題算法，它允許相互接觸的邊界產(chǎn)生穿透并通過其罰因子將接觸力和邊界穿透量聯(lián)系起來。 （ 2）接觸法向和切向的純拉格朗日乘子 法 拉格朗日乘子法是通過增加一個附加自由度（接觸壓力）來滿足不可穿透條件。 FTOLN為拉格朗日乘子法指定的容許的最大穿透，如果程序發(fā)現(xiàn)穿透大于此值使，即使不平衡力和位移增量已經(jīng)滿足了收斂準(zhǔn)則，總的求解仍將當(dāng)做不收斂處理。用戶可以改變?nèi)莶睿翘〉娜莶顚⑹沟螖?shù)增加或者不收斂。 （ 3）增廣拉格朗日法 多數(shù) Workbench 單元可以將罰函數(shù)方法和拉格朗日乘子法結(jié)合起來強制接觸協(xié)調(diào)，稱為增廣拉格朗日方法。在迭代的開始，接觸協(xié)調(diào)基于接觸剛度來確定，一旦達到平衡，程序檢查穿透容差，如果有必要，將增加接觸壓力，迭代繼續(xù)。 本章小結(jié) 本章對有限元法、靜力分析和接觸分析功能進行了一個全面的介紹，首先介紹了有限元法的基本思想和應(yīng)用領(lǐng)域；本論文采用的是 Workbench 對齒輪進行有限元分析，因此本章最后對 Workbench 軟件的特點進行了簡單介紹，為后面有限元分析奠定了理論基礎(chǔ)。 華北電力大學(xué)科技學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 10 3 直齒圓柱齒輪的建模 齒輪建模軟件的選擇 本論文對齒輪靜力分析和齒輪接觸應(yīng)力分析時主要應(yīng)用了有限元法，有限元分析要想得到準(zhǔn)確的分析結(jié)果主要取決于建立的模型是否精確。本論文齒輪模型的建立是通過AutoCAD 2021 建模軟件表達出來的。 有限元分析的建模方法有兩種： 1）在三維建模軟件中建模 Workbench 有限元分析軟件對常用的 Auto CAD、 UG、 PROE 等軟件都有數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換接口，可以通過數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換接口將模型導(dǎo)入到 Workbench 軟件中，而且兼容性好，模型導(dǎo)入和轉(zhuǎn)換方便。在建模軟件中將實體圖形繪制好后，然后利 用繪圖軟件與 Workbench 軟件之間特定的通道將模型導(dǎo)入。這些模型在導(dǎo)入時需要特定格式，例如 Auto CAD 需要將模型保存為 SAT 格式。模型導(dǎo)入過程需要將模型轉(zhuǎn)換兩次，可能會丟失一些數(shù)據(jù)，這可能會影響有限元分析的結(jié)果。 2）在 Workbench 中直接建模 Workbench 提供了自頂向下與自底向上兩種實體建模方法 [14]。自頂向下進行實體建模時，用戶定義一個模型的最高級圖元，如球、棱柱，稱為基元，程序則自動定義相關(guān)的面、線及關(guān)鍵點。用戶利用這些高級圖元直接構(gòu)造幾何模型，如二維的圓和矩形以及三維的塊、球和柱 。自底向上進行實體建模時，用戶從最低級的圖元向上構(gòu)造模型，即用戶首先定義關(guān)鍵點，然后依次是相關(guān)的線、面、體。無論用哪種方法用戶都能用布爾運算來組合數(shù)據(jù)集，從而建立出一個實體模型。 用 Workbench 建模這就要求我們對軟件要相當(dāng)熟悉，由于齒輪實體模型結(jié)構(gòu)簡單，本論文選用 AutoCAD 完成齒輪實體模型，然后再導(dǎo)入 Workbench 中的方法。 AutoCAD2021 軟件簡介 [15] AutoCAD 是美國 Autodesk 公司推出的深受廣大工程技術(shù)人員喜愛的通用計算機輔助繪圖和設(shè)計軟件包，它具有易于掌握、使 用方便、體系結(jié)構(gòu)開放的特點。它能夠繪制平面圖形與三維圖形、標(biāo)注圖形尺寸、渲染圖形以及打印輸出圖紙，深受廣大工程技術(shù)人員的歡迎。 Autodesk 公司自 1982 年 12 月推出第一代 AutoCAD 產(chǎn)品以來，經(jīng)過 AutoCAD 、 R R10