【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ? ? ? ?l im su p , 0 , , , ,nnx d f x f y x y S x y?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?l i m i n f , 0 , , , ,x nnd f x f y x y S x y?? ? ? ? ?混沌的基本理論 6 （ 3）吸引子 ??3 ：吸引子是法國數(shù)學(xué)家 在 研究突變理論時 提出的。 指出： 不穩(wěn)定的狀態(tài)總是 在 趨向穩(wěn)定 時，才能存 在下去。在 相空間中 ，穩(wěn)定的部分對不穩(wěn)定 部分有一種“吸附”作用，因此 將結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的部分稱為“吸引子”。 （ 4）相空間 ??3 ：在物理學(xué)中，相空間由廣義動量和坐標(biāo)所“張”成，它的維數(shù)相當(dāng)于 質(zhì)點(diǎn)系“自由度”的兩倍。 混沌具有以下特點(diǎn) ? ? ： 。 （ 1）內(nèi)隨機(jī)性 ??4 ：一定條件下， 系統(tǒng)的某個狀態(tài) 有可能出現(xiàn)或不出現(xiàn) ， 則稱 該系統(tǒng) 具有隨機(jī)性。 通常人們認(rèn)為 隨機(jī)性 是由于系統(tǒng)外部或某些其它原因的干擾的結(jié)果。 在系統(tǒng) 內(nèi) 部產(chǎn)生的隨機(jī)性，稱 為內(nèi)隨機(jī)性。 （ 2） 高度敏感性 ??4 ：混沌系統(tǒng)的一個主要特征 就是 對初始 條件非常的 敏感，相差很小的初始值在經(jīng)過 數(shù)次迭代 處理后， 會產(chǎn)生很大的差別。系統(tǒng) 處在混沌狀態(tài)時 ，運(yùn)動軌道 對 初始條件 的依賴非常的敏感 。 從兩個相差很小的 初 始值開始的的兩條軌道， 短 時間內(nèi) 可能 相差 很小 ， 但較長時間后就會出現(xiàn)明顯的差異 。初 始值的 微 小 的變化 在運(yùn)動中不斷 的 被放大， 長期后就會 導(dǎo)致 運(yùn)動 軌道發(fā)生巨大 的變化。 （ 3）長期不可預(yù)測性 ??5 ：初始條件僅 局限 于有限的范圍，而初始條件的微小改變 可能產(chǎn)生巨大 差異 ，因此 混沌系統(tǒng) 不可能 被 長期 的預(yù)測。 （ 4）普適性 ??5 ：混沌是一種非 周期 性 的 有序運(yùn)動。 普適性 包括 結(jié)構(gòu)普適性和測度普適性。 普適性表示 混沌 的一種內(nèi)在的 規(guī)律。 （ 5）分維性 ??5 ：分維是指 n 維空間具有 可以進(jìn)行 無限細(xì)分的結(jié)構(gòu)。 分維 可以 很好的 表示 混沌系統(tǒng)的相軌跡在某個有限區(qū)域內(nèi)的無限次折疊 。 研究混沌的基本方法 由于 非線性系統(tǒng) 非常的復(fù)雜，人們 對它的研究 沒有線性系統(tǒng)深入 。 通過對混沌理 論的研究，我們有了對非線性系統(tǒng)研究的有效方法。人們通常用 Lyapunov指數(shù)、 熵、分 維和功率譜四個特征量 來表示混沌吸引子 。下面 對 Lyapunov 指數(shù)和 熵 分別作簡要介紹： 混沌的基本理論 7 Lyapunov 指數(shù) ??6 Lyapunov 指數(shù) 可以用來 定量 的 刻畫混沌 的運(yùn)動。 Lyapunov 指數(shù)為正，則表示存在混沌運(yùn)動 。則對一維 混沌 映射 ， Lyapunov 指數(shù) 可以 定義為： ()nnx f x? 公 式（ 24） 上式表示 一維 混沌 映射只有一個拉伸或者是壓縮 的方向。考慮 初 始 值 0x 和的 0 xx ?? ， 用 ??fx作一次迭代后 ，它 們之間的距離 為： 1 39。0 0 0( ) ( ) ( )x x xf x f x f x? ? ?? ? ? ? 公式（ 25） 經(jīng)過 n 次迭代后指數(shù) 就會 分離。 Lyapunov 指數(shù)就是 用來表示 這 種分離性。 000()000 ()( ) ( )nn xnx n x n x xd f xf x f x edx ?? ? ? ?? ? ? ? ? 公式（ 26） 式中 ()x? 就稱為 Lyapunov 指數(shù) 00 0()1( ) l i m ( ) l o g nxd f xx n d x???? 公式（ 27） = 1 39。01l im ( ) l og ( )n ix i fxn??? ?? = 1 39。01lim ( ) lo g ( )n ix i fxn??? ?? Lyapunov 指數(shù) 是 一種整體 的 特征，其總值是 一個 實(shí)數(shù)。 Lyapunov 指數(shù)用來定量地描述了 在 相空間中 ， 相鄰 的 軌道呈指數(shù) 特征發(fā)散的特點(diǎn) 。若 ? 0， 則說明系統(tǒng)中存在混沌行為；若 ? 0，則表示系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)， 不存在混沌運(yùn)動 ；若0?? ，則系統(tǒng)處于 穩(wěn)定和不穩(wěn)定的 臨界狀態(tài)。 熵 ??6 熵的定義如下：在 一個 n 維動力系統(tǒng) 中，設(shè)它 的運(yùn)動軌道為 ??0x 。 我們 將空間分成許多 大小 為 ? 的盒子，每隔時間 T 觀察一下系統(tǒng)的狀態(tài)。設(shè)0...niip是 ??0x處于盒子 1i 中，?， ? ?xnt 的概率，則有 00...0. . . . . .lnnnii nn i i i iK p p? ? 公式（ 28） 混沌的基本理論 8 定義信息量的平均損失率為系統(tǒng)的測度熵 K ： 000. . . . . .00 ...1l i m l i m l i m l nnnni i i itn iiK p pnt?? ? ???? ? 公式（ 29） 熵 是 信息的 一個 度量，而測度熵 用來描述：隨著混沌軌跡的變化， 而產(chǎn)生 的信息的平均速率。 因此 測度熵 具有動力學(xué) 的 意義。測度熵 可用來描述混沌系統(tǒng)運(yùn)動時 的 混亂或無規(guī)則的程度， 測度熵的數(shù)值用來 判斷運(yùn)動性質(zhì)的重要指標(biāo)： 0K? 時，系統(tǒng)處于規(guī)則狀態(tài) ； K?? 時，系統(tǒng)處于純隨機(jī)狀態(tài) ,K 為正的有限值 時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài) 。 基于混沌的加密技術(shù) 9 第三章 基于混沌的加密技術(shù) 幾個典型的混沌系統(tǒng) 一維混沌系統(tǒng) 1976 年，美國數(shù)學(xué)家 提出了 Logistic 映射，它是一個非線性迭代方程， 方程十分簡單，但具有十分重要的意義，是研究的最廣泛的典型動力系統(tǒng) ? ?97 。Logistic 映射包含著混沌理論的基本思想，包括倍周期到混沌﹑分岔圖等非線性理論的基本框架和模式。 Logistic 映射定義如下： ? ? ? ?1 1 , 0 , 1 ,n n n n nf R nx x x xX ??? ? ? ? ? ? 公式（ 3— 1） 其中： ?? 0 或 4 時，是分叉參數(shù)；當(dāng) 1=? 3 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為周期 1；當(dāng) ? =3 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為周期 2，這時是二分叉方程；當(dāng) ???? 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為周期 4；當(dāng) ? = 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為周期 8；當(dāng) ? 達(dá)到極限值 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解是周期 2? 。所以 ? 4? 時， Logistic映射處于混沌狀態(tài)。如下圖所示，為 Logistic映射分岔圖： 圖 基于混沌的加密技術(shù) 10 二維混沌系統(tǒng) Arnold 映射是混沌置亂系統(tǒng)中用的較多的一種方法，最早由 Arnold 和 Avez提出。對于 一幅二維圖像，改變其像素的位置或數(shù)值，就會變成另一幅與原圖不同的圖像。 Arnold 映射正是通過改變元素的位置來實(shí)現(xiàn)對圖像的置亂處理的。一幅 N N 的圖像的 Arnold 映射的定義如下： 公式（ 3— 2） 其中，（ xn ， yn）是像素在原圖像中的坐標(biāo)， ?x1n? ， ?y1n?是變換后的位置， modl 為模運(yùn)算運(yùn)算（表示舍去實(shí)數(shù)的整數(shù)部分而只保留小數(shù)）。圖像必須是正方形，否則不具備 Arnold 變換的條件，可以進(jìn)行拓延處理。 Arnold 映射是定義在 ? ?1,0 ? ?1,0? 上的迭代映射。 三維混沌系統(tǒng) Lorenz 映射為三維自治混沌系統(tǒng) ??12 ，其定義如下： 公式（ 3— 3） 當(dāng)參數(shù) a=10， b=8/3,c=28 時， Lorenz 混沌系統(tǒng)有一個混沌吸引子。初始條件（ x0 ， y0， z0 ）在 Lorenz 混沌系統(tǒng)下，通過四階龍格 庫塔法迭代，產(chǎn)生的序列｛（ xk ， yk， zk ）︱ k=0,1,2｝不是周期性的，即此時不是收斂的，對初值條件非常敏感。 目前，常見的圖像加密技術(shù)可以分為基于像素位置變換的加密技術(shù)﹑基于隨機(jī)序列的加密技術(shù)﹑基于壓縮編碼的加密技術(shù)三類?；谙袼匚恢米儞Q的加密技術(shù)是通過改變圖像中像素點(diǎn)的位置實(shí)現(xiàn)加密的。基于隨機(jī)序列的加密技術(shù)是利用偽隨機(jī)序列生成器產(chǎn)生出像素變換的二進(jìn)制序列，然后根據(jù)該序列改變圖像的像素 值，從而實(shí)現(xiàn)對圖像的加密。基于壓縮編碼的加密技術(shù)是對圖像進(jìn)行壓縮后再? ?? ?11m o d2 m o dnn nnlNlNyxxyyx??????()x a y xy cx xz yz xy bz????? ? ??????基于混沌的加密技術(shù) 11 進(jìn)行加密。 基于像素位置變換的加密技術(shù) 基于像素位置變換的加密技術(shù)是圖像加密的研究中的一種較為廣泛的方法?；谙袼匚恢米儞Q的加密技術(shù)是通過改變圖像中像素點(diǎn)的位置實(shí)現(xiàn)加密的。在改變像素位置時，經(jīng)常要用到矩陣變換，如 Arnold 變換﹑幻方變幻等。但是使用這種變換會有一個很大的缺點(diǎn)，當(dāng)攻擊者知道加密算法和密文時，很容易就可以讀取原始的圖像信息。主要是這種加密技術(shù)的迭代過程是周期性的，經(jīng)過若干次迭代就可以恢復(fù)到原始的圖像。 使用基于像素 位置變換的加密技術(shù)在進(jìn)行圖像解密時，通常會采用相反的變換過程，因此基于像素位置變換的加密技術(shù)是一種對稱性變換。對稱性圖像加密技術(shù)的安全性主要依賴于加密算法，由于加密算法和密鑰不能夠有效地分離，一旦攻擊者獲得加密算法和密文時，加密方案就很容易被攻破。 基于隨機(jī)序列的加密技術(shù) 基于隨機(jī)序列的加密技術(shù)是利用偽隨機(jī)序列生成器產(chǎn)生圖像像素變換的二進(jìn)制序列，然后根據(jù)產(chǎn)生的隨機(jī)序列改變圖像中所對應(yīng)的像素值，從而實(shí)現(xiàn)對圖像的加密過程?；陔S機(jī)序列的加密技術(shù)主要是對二維圖像進(jìn)行加密。例如基于混合細(xì)胞自動機(jī)的圖像加 密算法，該算法就是先利用混合細(xì)胞自動機(jī)生成偽隨機(jī)序列，再把圖像轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的一維序列，最后再把以上的兩個序列進(jìn)行按位異或運(yùn)算，然后把按位異或后的序列轉(zhuǎn)換為圖像，從而實(shí)現(xiàn)對圖像的序列加密。 基于隨機(jī)序列的加密技術(shù)簡單快速，對原始圖像進(jìn)行加密操作時無壓縮，在面對已知明文和選擇明文的攻擊時，安全性較差。 基于壓縮編碼的加密技術(shù) 基于壓縮編碼的加密技術(shù)是先對圖像進(jìn)行壓縮后，再對圖像進(jìn)行加密的圖像加密技術(shù)?；趬嚎s編碼的加密技術(shù)包括：基于四叉樹編碼和 SCAN 語言的圖像加密技術(shù)﹑基于壓縮編碼的圖像加密技術(shù)?；?于四叉樹編碼和 SCAN 語言的圖像加密技術(shù)進(jìn)行的是無損壓縮，而基于壓縮編碼的圖像加密技術(shù)進(jìn)行的是有損圖像壓縮。采用基于壓縮編碼的加密技術(shù)，可以使圖像加密后所傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量減少，使傳輸速度加快，但該加密技術(shù)需要先對原圖像進(jìn)行一定的預(yù)處理，使得圖像加密過程的工作量加大。 基于混沌的加密技術(shù) 12 混沌序列加密原理 利用混沌序列加密的可能性 混沌現(xiàn)象是一種非線性動力系統(tǒng)，具有對初始條件非常敏感，產(chǎn)生的混沌序列具有非周期﹑不收斂的、類噪聲和偽隨機(jī)性的特性。因此混沌系統(tǒng)可以應(yīng)用于保密通訊領(lǐng)域中，也可作為圖像加密的一種方法。目前 ，利用混沌序列進(jìn)行圖像加密的理論研究己經(jīng)比較成熟。但混沌序列產(chǎn)生器總是在有限的精度下實(shí)現(xiàn)，混沌序列的迭代過程也就是周期性的過程。 混沌序列加密的加密過程效率高，可以達(dá)到擾亂明文統(tǒng)計(jì)的作用，且傳遞過程中的誤差較小，因而這種加密技術(shù)被人們廣泛使用。加密算法的安全性主要取決于密鑰序列，所以如何使密鑰序列足夠長是現(xiàn)代混沌序列加密研究的熱門課題之一。 混沌系統(tǒng)是非線性的類隨機(jī)的過程，雖然屬于確定性系統(tǒng)但又對它難于預(yù)測。當(dāng)參數(shù)和初始條件給定時，混沌系統(tǒng)本身是一個重復(fù)的過程?；煦缦到y(tǒng)將會在圖像加密中得到廣泛的應(yīng)用，利用混 沌現(xiàn)象可以產(chǎn)生大量的、不相關(guān)的、類似噪聲、又可再生的混沌序列，且產(chǎn)生的序列很難重構(gòu)和預(yù)測，從而使攻擊者難以破譯，因而非常適合于圖像信息的加密處理?；煦缧蛄屑用艿膫坞S機(jī)性、抗破譯能力均優(yōu)于傳統(tǒng)的序列加密方案。 混沌序列的產(chǎn)生 目前，混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌偽隨機(jī)序列的方式主要有兩類：微分方程描述的連續(xù)時間系統(tǒng)和狀態(tài)方程描述的離散時間系統(tǒng)。如果采用微分方程描述的連續(xù)時間系統(tǒng)，由于混沌振蕩信號在時間上是連續(xù)的，所以必須按照一定的頻率對系統(tǒng)中的變量進(jìn)行抽樣，然后對抽樣得到的離散信號進(jìn)行變換得到混沌序列。如果采用狀態(tài)方程描述的離散時間系統(tǒng)，則只需對迭代信號進(jìn)行變換就可以得到混沌序列。 采用狀態(tài)方程描述的離散時間系統(tǒng)，只要迭代過程的初始值相同，發(fā)送方和接收方是很容易就可以取得同步。由于微分方程描述的連續(xù)時間系統(tǒng)的通常是通過模擬電路來實(shí)現(xiàn)