【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 與載荷的形式有關(guān)。汪夢(mèng)甫等將高斯積分法和精細(xì)積分算法中的矩陣指數(shù)計(jì)算方法結(jié)合在一 起，提出了一種改進(jìn)的精細(xì)積分法。新的精細(xì)積分方法只需進(jìn)行指數(shù)矩陣運(yùn)算， 避免了矩陣求逆問(wèn)題， 無(wú)需對(duì)齊次項(xiàng)進(jìn)行數(shù)學(xué)擬合，這個(gè)積分格式的計(jì)算精度取決于高斯積分點(diǎn)的數(shù)量，從理論上說(shuō)，這種算法可達(dá)任意高精度。 廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 9 精細(xì)積分法的基本原理 在工程實(shí)踐中，經(jīng)常需要對(duì)變截面梁或變截面軸進(jìn)行動(dòng)力分析，求其橫向振動(dòng)的固有頻率。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將變截面梁看成一系列集中質(zhì)量、無(wú)質(zhì)量的梁和支承一個(gè)接著一個(gè)連接而成的系統(tǒng)。這種力學(xué)模型顯然是不精確的。為提高計(jì)算精度，勢(shì)必要增加分割單元的數(shù)目，則計(jì)算工作量隨之而增加。如果采用 連續(xù)體力學(xué)模型來(lái)計(jì)算變截面梁橫向振動(dòng)的固有頻率，則計(jì)算精度必然大為提高。但按傳統(tǒng)的計(jì)算方法是很繁瑣的：按梁的不同剛度分段分別建立以撓度表示的高階微分方程；考慮段與段連接處內(nèi)力、變形的連續(xù)條件，求出此高階微分方程的通解；再由梁兩端邊界條件，最后求出梁自由振動(dòng)時(shí)各階固有頻率。求解方程過(guò)程復(fù)雜，難以編制適合于不同形狀、剛度的變截面梁求解固有頻率的通用計(jì)算機(jī)程序，不利于工程設(shè)計(jì)的應(yīng)用。下面將介紹一種變截面自由振動(dòng)的精細(xì)積分法，它將變截面梁沿長(zhǎng)度分割成很多微梁?jiǎn)卧▎卧姆輸?shù)由計(jì)算的精度和截面參數(shù)的變化程度而定），每 個(gè)單元采用上述等截面梁力學(xué)模型，建立一個(gè)一階線性齊次方程，然后采用精細(xì)積分法求解。 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程方程 : ... )(,)(),()()()( xtxxtxtFtKxtxCtxM tt ????? ?? （ 21） 引入變換： ??????????? 2211..xCMpMxxCxMp （ 22） 將式 (32)代入式 (31)得： FpCMxCCMKP ????? ?? 2)4( 11. （ 23） 故式（ 22）和（ 23）整合起來(lái)可以寫(xiě)為： ??????????????????????????????FpxBApx 0G D .. （ 24） 簡(jiǎn)寫(xiě)為： rHvv ??. （ 25） 其中： 廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 10 ????????????????????? FrCAHpxv 0 , G D , 2 , , )4( , 2 1111 ???? ???????? MCGMDCCMKBCMA 式（ 25）是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)方程，其通解為： ? ?? ??? t drHtvtHtv00 )()(ex p)ex p ()( ??? （ 26） 引入指數(shù)矩陣： )exp()( HT ?? ? （ 27） 為精確計(jì)算式 (27)，將式 (27)化為： ? ?? ?mmHT ?? ?? ex p)( （ 28） 其中可選用 Nm 2? ，由問(wèn)題看出 delt?? ，本來(lái)是不大的時(shí)間區(qū)間，從而 mt ??? 將是更小的時(shí)間區(qū)段。對(duì)于 t? 時(shí)間區(qū)段，運(yùn)用 Taylor 展開(kāi)，有： 0)ex p ( aTItH ???? （ 29） 其中， ? ? ? ? !!32)( 320 LtHtHtHtHT La ????????????? ?！ ，這里的 L 表示 Taylor展開(kāi)的截?cái)嚯A段。將式 (29)代入式 (28)， 從而有： NaTIT 20 )()( ??? (210) 由 2N 的遞推規(guī)律： NaNaNaaN TITITITI 202)2(21)1( )()()( 2 ???????? ?? ? 這里的 ),2,1( 2 )1()1( NiTTT iaiaai ????? ?? 故式 (210)可以通過(guò)下式計(jì)算： aNTIT ??)(? (211) 一般取 )(,20,4 tTNL ??? 的計(jì)算就已經(jīng)足夠精解了。 對(duì)于齊次方程，此時(shí)式 (6)右端的積分項(xiàng)為零，對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，日是常矩陣方程的通解形式為 : 0)exp ()( vtHtv ??? （ 212） 令時(shí)間步長(zhǎng) ??delt ,則 廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 11 00)ex p ()( vTvHv ????? ?? （ 213） 由上面的方法精細(xì)地算得 T 矩陣后，時(shí)程積分就變?yōu)椋? ?? , 11201 ??????? kk vTvvTvvTv （ 214） 而對(duì)于非齊次方程，若非齊次項(xiàng) r 在時(shí)間步 ),( 1?kk tt 內(nèi)為線性，即方程為 : kkk v，vttttrrvHv ?????? 時(shí)當(dāng))。(10.. （ 215） 1?kv 可表示為 : ? ? ? ????????? ????? 1110111011 )( rrHrHrHrHvTv kk (216) 非齊次項(xiàng)向量為 r： trtrtr ?? c o ss in)( 21 ?? ,其中 1r 和 2r 為常向量，則精細(xì)積分公式為： 111 c o ss i n)c o ss i n( ??? ????? kkkkkk tBtAtBtAvTv ???? (217) 其中： )()( 1212 ??? rHrHIA ??? ?, )()( 2112 ??? HrrHIB ???? ? 如果非齊次項(xiàng)向量 r 可展開(kāi)為下述的 Fourier 級(jí)數(shù)形式 ?? ???di ii tibtiabtr 10 ))c o s ()s in (()( ?? (218) 其中 d 為 Fourier 級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)，則精細(xì)積分公式為： ?? ? ???? ????????? ???? di kikidi kikikk tiBtiABtiBtiABvTv 1 110101 ))c os (s i n(())c os ()s i n(( ???? (219) 其中 010 bHB ??? , )()( 1222 iii biHaHIiA ?? ???? ?, )()( 1222 iii aiHbHIiB ?? ???? ? 式 (216)、 (217 )、 (219)的計(jì)算涉及一系列矩陣運(yùn)算， 即使非齊次項(xiàng)為常數(shù)也是如此。其中有關(guān)矩陣求逆的運(yùn)算， 引起程序?qū)崿F(xiàn)的困難， 特別是求逆過(guò)程可能產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定， 甚至逆矩陣不存在， 這是十分不利的。因此在精細(xì)積分中要設(shè)法避免矩陣求逆的運(yùn)算。 在結(jié)構(gòu)動(dòng)力、優(yōu)化控制等問(wèn)題中，通過(guò)變換都可以將運(yùn)動(dòng)（控制）微分方程寫(xiě)成狀廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 12 態(tài)向量形式 ????????00.)()()()(VtVtftHVtV (220) 式中， )(tV 為 n 階狀態(tài)向量； H 是 nn? 階常數(shù)矩陣； )(tf 為 n 階載荷向量（或控制微量）。 當(dāng) ??0)( ?tf 時(shí)，一階線性常系數(shù)齊次微分方程組的解可寫(xiě)成 ? ? 00 )(ex p)( VttHtV ?? （ 221） 當(dāng)積分步長(zhǎng) ???0tt 時(shí)，指數(shù)矩陣（或傳遞矩陣）為 )e xp()e xp( AHT ?? ? (222) 因此，如何精確地求得指數(shù)矩陣（或傳遞矩陣）的值，就成為這類方法的核心。 鐘氏精細(xì)算法中其要點(diǎn)是利用加法定理，取 Nm 2? ，將矩陣 A 縮小 m1 后，保證用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)計(jì)算的可靠性。 ? ? NTIk mAmAmAImAAmkm 2)0(2 )(! )(!2 )()e x p ()e x p ( ?????????? ?????? ? （ 223） 式中， )!()()!2()( 2)0( kmAmAmAT k???? ?； I 表示單位矩陣，同時(shí)將式（ 223）作如下形式的分解 ? ? ? ? 12)0()0( ))(()e x p ()e x p ( ????? NTITImAA m （ 224） 由于 )1,1,0( 2))(( )1()()()()()( ????????? ? NiTITTTITITI iiiiii ? (225) 因此式（ 224）和（ 225）相當(dāng)于循環(huán)語(yǔ)句 for ( 0?i 。 Ni? 。 ??i ) )()()1( 2 iiii TTTT ??? (226) 當(dāng) N 次循環(huán)結(jié)束后有 )()ex p ( NTIAT ??? (227) T=exp(A)能獲得高精度計(jì)算結(jié)果的根本原因是： 數(shù)值計(jì)算的相對(duì)誤差不隨遞推過(guò)程的進(jìn)行而擴(kuò)散。指數(shù)矩陣 T=exp(A)的計(jì)算精度取決于 )0(T 的計(jì)算精度以及 廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 13 矩陣 H 的譜半徑和積分步長(zhǎng) ? 的大小，所以通過(guò)選取適當(dāng)?shù)?N(m=2N )和積分步長(zhǎng) ? 的大小， 能夠使計(jì)算結(jié)果達(dá)到很高的精度，甚至達(dá)到計(jì)算機(jī)所能表達(dá)的滿精度。 精細(xì)積分法的研究現(xiàn)狀 在哈密頓體系下 ,鐘萬(wàn)勰院士在九十年代初提出了精細(xì)時(shí)程積分法 ,該方法放棄了求解動(dòng)力方程常用的差分格式，其求解一種齊次常系數(shù)線性微分方程組的精度很高，是其他時(shí)程積分方法無(wú)法比擬的，其數(shù)值解甚至可與精確解相比。該法不僅是相容的、收斂的，同時(shí)還具有很好的穩(wěn)定性、零振幅衰減率、零周期率以及無(wú)超越性等優(yōu)良特性，它為結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)的高精度計(jì)算開(kāi)辟了新的途徑，從特性上而言，精細(xì)積分 方法不僅適合頻率密集的大型柔性結(jié)構(gòu)，而且也適用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)在突加荷載或沖擊荷載作用下的瞬態(tài)響應(yīng)分析。 由于精細(xì)積分法的數(shù)值結(jié)果的高度精確，已經(jīng)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析、優(yōu)化控制、 偏微分方程的精細(xì)求解、非穩(wěn)態(tài)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。可以肯定，隨著對(duì)這一方法在計(jì)算精度估計(jì)、計(jì)算效率以及并行計(jì)算技術(shù)等方面的進(jìn)一步研究，它在各個(gè)方面都得到很廣泛的應(yīng)用。除了應(yīng)用于自動(dòng)控制理論中，在其他的一些領(lǐng)域，如動(dòng)力學(xué)響應(yīng)求解、瞬態(tài)熱傳導(dǎo)等問(wèn)題，也得到了很多研究與應(yīng)用。此外很多學(xué)者對(duì)工程領(lǐng)域中精細(xì)積分的應(yīng)用效率以及實(shí)用性也進(jìn)行了 研究 在精細(xì)積分法效率、精度及穩(wěn)定性方面，陳奎孚、張森文等討淪了算法的參數(shù)選擇問(wèn)題；汪夢(mèng)甫等研究了精細(xì)積分的穩(wěn)定性；趙麗濱、王壽梅等研究了該算法穩(wěn)定性及精度問(wèn)題，同時(shí)還給出了精細(xì)積分參數(shù)優(yōu)化公式；董聰、丁李粹等揭示了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)精細(xì)算法高效率、高精度的逼近機(jī)理以及誤差界。 張?zhí)园?、姜?jié)勝基于線性方程的