【文章內(nèi)容簡介】 （ 1） 那么稱這個時間序列 tx 為自回歸序列，式（ 1）為自回歸模型，記做 AR(p)。本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 4 頁 共 17 頁 實參數(shù) 1? ， 2? ，?， p? 是自回歸系數(shù)，是該模型的待估參數(shù)。隨機項 te 是互相獨立的白噪聲序列，而且該隨機是一個項服從均值是 0、方差是 2? 的正態(tài)分布。該隨機項 te 和滯后變量 1?tx ， 2?tx ，? ， ptx? 是不相關(guān)的。不是一般性，在（ 1）中假設(shè)時間序列 tx 均值為 0tEx U??，則令 t t uxx?? ， 可將 tx 寫成（ 1）式的形式。 kB 是 k 步滯后算子，就是 t t kBx x?? ， 那么模型（ 1）就可以表示為 tx = tBx1? + txB22? +? + txB33? + te （ 2） 令 ??B? =1 B1? 22B? ? ppB? 模型可簡寫為： ? ?txB? =te （ 3） 那么要使 AR（ p）過程平穩(wěn)的前提條件是滯后多項式 ??B? 的所有根都必須在單位圓外，并且 ? ? 0B??的根 不小于等 1。 其中 AR（ p）過程中經(jīng)常使用到的是 AR（ 1）過程和 AR（ 2）過程， 11t t tx x e??? ? 保持其平穩(wěn)性的條件是特征方程 ? ?110B?? ? 根的絕對值必須大于 1，滿足 1 1??。 移動平均（ MA）模型 假設(shè)時間序列 tx 是它的當前跟前期的隨機誤差的線性函數(shù)，那么可以表示為 1 1 2 2t t t t q t qx e e e e? ? ?? ? ?? ? ? ? ? （ 4） 就稱這個時間序列 tx 是移動平均序列，（ 2）式是 q階移動平均模型，記為MA（ q）模型。實參數(shù) 1? ， 2? ， ? q? 是移動平均系數(shù)，是模型的待估系數(shù)。引入滯后算子，并令 ? ? 2121 qqB B B B? ? ? ?? ? ? ? ? 則模型（ 4）可簡寫為 ? ?ttx B e?? （ 5） 移動平均過程，即 MA過程是無條件的平穩(wěn)的。然而期望 AR 過程和 MA 過程能互相表出，也就是說過程是可逆的。所以要求滯后多項式 ??B? 的所有根 均必須在單位圓外，經(jīng)過推導(dǎo)可得出 本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 5 頁 共 17 頁 ? ?212 011 jt j t tjB B x B x e? ? ?????? ? ? ? ? ?????? （ 6） 其中， 0 1??? ， 0 1B? ，其他權(quán)重 j? 可地推得到。可以說式（ 6）是 MA 模型的逆轉(zhuǎn)形式，這相當于無限階數(shù)的 AR過程。 自回歸移動平均（ ARMA）模型 假設(shè)時間序列 tx 是其當前和前期的隨機誤差項和前期值的線性函數(shù)，那么能夠表示為： 1 2 1 1 2 2t t t p t t t t q t qx x x x e e e e? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 7） 那么這個時間序列為自回歸平均序列，（ 7）式是（ p,q）階的自回歸移動平均模型，記為 ARMA(p,q)。 1? ， 2? ，?， p? 為自回歸系數(shù)， 1? ， 2? ，?， p? 為移動平均系數(shù)，都是模型的待定參數(shù)。 那么就可以引入滯后算子 B，模型（ 7）可簡記為 ? ? ? ?ttB x B e??? （ 8） ARMA（ p,q）過程的平穩(wěn)條件就是滯后多項式 ??B? 的根都在單位圓外。可逆條件是 ??B? 的根都在單根圓外。 如果 ??B? =0，那么方程 1 1 2 2t t t p t p tx x x x e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?的平穩(wěn)隨機序列??tx 是 p 階自回歸模型，記為 AR(p)模型。 很明顯的可以看出， AR(p)模型和 MA(q)模型全都是 ARMA(p,q)模型的特例。 差分自回歸滑動平均 (ARIMA)模型 差分自回歸滑動平均模型，處理非平穩(wěn)的時間序列，將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時間序列。繼而將因變量對其的滯后值 跟進行回歸，同時把隨機誤差項的現(xiàn)值也進行進行回歸，然后建立的模型。將 ARIMA 模型進行平穩(wěn)化處理是，依據(jù)對時間序列進行回歸處理，然后根據(jù)回歸中所含的部份的差異，可以分為以下的幾類：移動平均過程（ MA（ q）過程）、自回歸過程（ AR（ p）過程）和自回歸移動平均過程（ ARMA 過程）以及 ARIMA 過程。差分自回歸滑動平均模型 ARIMA(p， d，q)模型中，每個參數(shù)都有不同的意義。其中， AR 指的是“自回歸”， p 為自回歸的項數(shù)； MA 指的是“滑動平均”， q 為指滑動平均的項數(shù)， d 是指使它成為平穩(wěn)序列而做的差分的次數(shù)（即階數(shù) ）?？梢赃@么說，對看做是 ARMA(p,q)模型進行擴展處理可以得到 ARIMA(p,d,q)模型。 ARIMA(p,d,q)模型可以表示為： 本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 6 頁 共 17 頁 ?????? ???piiiL11? ?dL?1 tx = ???????? ???qi i11 ?t? （ 9） 其中 L 是滯后算子 Zd? ， 0d? 。 ARIMA 模型預(yù)測的基本程序 數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理： 第一步，檢驗時間序列數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的還是非平穩(wěn)的。并根據(jù)其散點圖或者折線圖的分析對該序列進行初步判斷。 ADF 單位根檢驗一般用來來精確判斷這個序列的平穩(wěn)性。重復(fù)上述過程，直到其成為平穩(wěn)的序列。這個時候進行微分處理了多少次，這個次數(shù)就是 ARIMA(p,d,q)模型當中的階數(shù) d。從理論上而言，足夠多次的差分運算可以充分地提取序列中的非平穩(wěn)確定性信息。但應(yīng)指出是，差分運算取出的階數(shù)不應(yīng)取得太多。由于差分運算是一種信息的提取和處理，所以在實際操作中要適當?shù)倪x取差分的次數(shù)（即差分的階數(shù)），以避免出現(xiàn)過差分的現(xiàn)象。一般情況下，差分次數(shù)不超過 2 次。 （ 1） 檢驗時間序列數(shù)據(jù)是否是平穩(wěn)性的。并根據(jù)其散點圖或者折線圖的分析對該序列進行初步判斷。 ADF 單位根檢驗一般用來確定這個序列是否是平穩(wěn)的。 （ 2）平穩(wěn)化處理非平穩(wěn)序列。假如該時間序列的數(shù)據(jù)序列不是平穩(wěn)的，并且還有一定的變化趨勢，那么就要對該數(shù)據(jù)做差分處理，假如該數(shù)據(jù)處理時存在異方差，那么就需要技術(shù)處理該數(shù)據(jù)，一直處理到最后得出的數(shù)據(jù)所做出的自相關(guān)函數(shù)的值跟偏相關(guān)函數(shù)的值都是接無限近于零的。 （ 3）處理 一個時間序列時，依據(jù)既定的識別規(guī)則，創(chuàng)建與之對應(yīng)的時間序列模型。對一個平穩(wěn)序列而言，如果偏相關(guān)函數(shù)被截斷，但自相關(guān)函數(shù)序列顯示拖尾現(xiàn)象，因此可以認為該序列符合 AR 模型的規(guī)則；如果這個序列的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，但是該序列的自相關(guān)函數(shù)卻是顯示截尾現(xiàn)象，那么就可斷定，此序列符合 MA 模型規(guī)則；同時，如果該序列的偏相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)都顯示拖尾的現(xiàn)象，那么這個序列就符合 ARMA 模型的規(guī)則。一個時間序列的自相關(guān)系數(shù)趨于零，或偏相關(guān)系數(shù)趨于零的序列，顯示是拖尾現(xiàn)象，這一過程往往會有很多不同的形式，例如，幾何衰減序列，又比 如說有正弦波形式的衰減；而截尾就是指對于一個時間序列而言，從某一階數(shù)后的自相關(guān)系數(shù)為 0，又或者該序列的偏相關(guān)系數(shù)為 0。 （ 4）進行參數(shù)估計。 （ 5）診斷該時間序列的殘差序列是否為白噪聲（可以通過假設(shè)檢驗）。 （ 6）預(yù)測分析是通過以檢驗的模型進行的。 參數(shù)的判斷中 AIC 準則： AIC 信息準則就是 Akaike information criterion，它是一種衡量統(tǒng)計模型擬合優(yōu)良性的準則，又由于它是日本統(tǒng)計學(xué)家赤池弘次所創(chuàng)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 7 頁 共 17 頁 立和發(fā)展的，所以又稱為赤池信息量準則。它可以權(quán)衡所估計模型的復(fù)雜度和此模型擬合數(shù)據(jù)的優(yōu)良 性。 參數(shù)估計是指確定該時間模型的模型階數(shù)后，然后對其對與之對應(yīng)的ARMA 模型做參數(shù)估計。本文采是采用最小二乘法進行參數(shù)估計，但要提醒的是，對移動平均模型（ MA 模型）進行參數(shù)估計比較困難，所以我們應(yīng)當選取較低階數(shù)的自回歸移動模型。避免出現(xiàn)過度差分而引起的誤差過大的現(xiàn)象。 模型試驗和模型參數(shù)估計的識別后，估計的結(jié)果應(yīng)該被診斷和測試，以找出合適的模型。若不合適，