【文章內容簡介】 （ 1） 那么稱這個時間序列 tx 為自回歸序列，式（ 1）為自回歸模型，記做 AR(p)。本科生畢業(yè)設計（論文） 第 4 頁 共 17 頁 實參數 1? ， 2? ，?， p? 是自回歸系數，是該模型的待估參數。隨機項 te 是互相獨立的白噪聲序列，而且該隨機是一個項服從均值是 0、方差是 2? 的正態(tài)分布。該隨機項 te 和滯后變量 1?tx ， 2?tx ，? ， ptx? 是不相關的。不是一般性，在（ 1）中假設時間序列 tx 均值為 0tEx U??，則令 t t uxx?? ， 可將 tx 寫成（ 1）式的形式。 kB 是 k 步滯后算子，就是 t t kBx x?? ， 那么模型（ 1）就可以表示為 tx = tBx1? + txB22? +? + txB33? + te （ 2） 令 ??B? =1 B1? 22B? ? ppB? 模型可簡寫為： ? ?txB? =te （ 3） 那么要使 AR（ p）過程平穩(wěn)的前提條件是滯后多項式 ??B? 的所有根都必須在單位圓外，并且 ? ? 0B??的根 不小于等 1。 其中 AR（ p）過程中經常使用到的是 AR（ 1）過程和 AR（ 2）過程， 11t t tx x e??? ? 保持其平穩(wěn)性的條件是特征方程 ? ?110B?? ? 根的絕對值必須大于 1，滿足 1 1??。 移動平均（ MA）模型 假設時間序列 tx 是它的當前跟前期的隨機誤差的線性函數，那么可以表示為 1 1 2 2t t t t q t qx e e e e? ? ?? ? ?? ? ? ? ? （ 4） 就稱這個時間序列 tx 是移動平均序列，（ 2）式是 q階移動平均模型，記為MA（ q）模型。實參數 1? ， 2? ， ? q? 是移動平均系數，是模型的待估系數。引入滯后算子，并令 ? ? 2121 qqB B B B? ? ? ?? ? ? ? ? 則模型（ 4）可簡寫為 ? ?ttx B e?? （ 5） 移動平均過程，即 MA過程是無條件的平穩(wěn)的。然而期望 AR 過程和 MA 過程能互相表出，也就是說過程是可逆的。所以要求滯后多項式 ??B? 的所有根 均必須在單位圓外，經過推導可得出 本科生畢業(yè)設計（論文） 第 5 頁 共 17 頁 ? ?212 011 jt j t tjB B x B x e? ? ?????? ? ? ? ? ?????? （ 6） 其中， 0 1??? ， 0 1B? ，其他權重 j? 可地推得到?？梢哉f式（ 6）是 MA 模型的逆轉形式，這相當于無限階數的 AR過程。 自回歸移動平均（ ARMA）模型 假設時間序列 tx 是其當前和前期的隨機誤差項和前期值的線性函數，那么能夠表示為： 1 2 1 1 2 2t t t p t t t t q t qx x x x e e e e? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 7） 那么這個時間序列為自回歸平均序列，（ 7）式是（ p,q）階的自回歸移動平均模型，記為 ARMA(p,q)。 1? ， 2? ，?， p? 為自回歸系數， 1? ， 2? ，?， p? 為移動平均系數，都是模型的待定參數。 那么就可以引入滯后算子 B，模型（ 7）可簡記為 ? ? ? ?ttB x B e??? （ 8） ARMA（ p,q）過程的平穩(wěn)條件就是滯后多項式 ??B? 的根都在單位圓外?？赡鏃l件是 ??B? 的根都在單根圓外。 如果 ??B? =0，那么方程 1 1 2 2t t t p t p tx x x x e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?的平穩(wěn)隨機序列??tx 是 p 階自回歸模型，記為 AR(p)模型。 很明顯的可以看出， AR(p)模型和 MA(q)模型全都是 ARMA(p,q)模型的特例。 差分自回歸滑動平均 (ARIMA)模型 差分自回歸滑動平均模型，處理非平穩(wěn)的時間序列，將其轉化為平穩(wěn)的時間序列。繼而將因變量對其的滯后值 跟進行回歸，同時把隨機誤差項的現(xiàn)值也進行進行回歸，然后建立的模型。將 ARIMA 模型進行平穩(wěn)化處理是，依據對時間序列進行回歸處理，然后根據回歸中所含的部份的差異，可以分為以下的幾類：移動平均過程（ MA（ q）過程）、自回歸過程（ AR（ p）過程）和自回歸移動平均過程（ ARMA 過程）以及 ARIMA 過程。差分自回歸滑動平均模型 ARIMA(p， d，q)模型中，每個參數都有不同的意義。其中， AR 指的是“自回歸”， p 為自回歸的項數； MA 指的是“滑動平均”， q 為指滑動平均的項數， d 是指使它成為平穩(wěn)序列而做的差分的次數（即階數 ）?？梢赃@么說，對看做是 ARMA(p,q)模型進行擴展處理可以得到 ARIMA(p,d,q)模型。 ARIMA(p,d,q)模型可以表示為： 本科生畢業(yè)設計（論文） 第 6 頁 共 17 頁 ?????? ???piiiL11? ?dL?1 tx = ???????? ???qi i11 ?t? （ 9） 其中 L 是滯后算子 Zd? ， 0d? 。 ARIMA 模型預測的基本程序 數據平穩(wěn)化處理： 第一步，檢驗時間序列數據是平穩(wěn)的還是非平穩(wěn)的。并根據其散點圖或者折線圖的分析對該序列進行初步判斷。 ADF 單位根檢驗一般用來來精確判斷這個序列的平穩(wěn)性。重復上述過程，直到其成為平穩(wěn)的序列。這個時候進行微分處理了多少次，這個次數就是 ARIMA(p,d,q)模型當中的階數 d。從理論上而言，足夠多次的差分運算可以充分地提取序列中的非平穩(wěn)確定性信息。但應指出是，差分運算取出的階數不應取得太多。由于差分運算是一種信息的提取和處理，所以在實際操作中要適當的選取差分的次數（即差分的階數），以避免出現(xiàn)過差分的現(xiàn)象。一般情況下，差分次數不超過 2 次。 （ 1） 檢驗時間序列數據是否是平穩(wěn)性的。并根據其散點圖或者折線圖的分析對該序列進行初步判斷。 ADF 單位根檢驗一般用來確定這個序列是否是平穩(wěn)的。 （ 2）平穩(wěn)化處理非平穩(wěn)序列。假如該時間序列的數據序列不是平穩(wěn)的，并且還有一定的變化趨勢，那么就要對該數據做差分處理，假如該數據處理時存在異方差，那么就需要技術處理該數據，一直處理到最后得出的數據所做出的自相關函數的值跟偏相關函數的值都是接無限近于零的。 （ 3）處理 一個時間序列時，依據既定的識別規(guī)則，創(chuàng)建與之對應的時間序列模型。對一個平穩(wěn)序列而言，如果偏相關函數被截斷，但自相關函數序列顯示拖尾現(xiàn)象，因此可以認為該序列符合 AR 模型的規(guī)則；如果這個序列的偏相關函數是拖尾的，但是該序列的自相關函數卻是顯示截尾現(xiàn)象，那么就可斷定，此序列符合 MA 模型規(guī)則；同時，如果該序列的偏相關函數和自相關函數都顯示拖尾的現(xiàn)象，那么這個序列就符合 ARMA 模型的規(guī)則。一個時間序列的自相關系數趨于零，或偏相關系數趨于零的序列，顯示是拖尾現(xiàn)象，這一過程往往會有很多不同的形式，例如，幾何衰減序列，又比 如說有正弦波形式的衰減；而截尾就是指對于一個時間序列而言，從某一階數后的自相關系數為 0，又或者該序列的偏相關系數為 0。 （ 4）進行參數估計。 （ 5）診斷該時間序列的殘差序列是否為白噪聲（可以通過假設檢驗）。 （ 6）預測分析是通過以檢驗的模型進行的。 參數的判斷中 AIC 準則： AIC 信息準則就是 Akaike information criterion，它是一種衡量統(tǒng)計模型擬合優(yōu)良性的準則，又由于它是日本統(tǒng)計學家赤池弘次所創(chuàng)本科生畢業(yè)設計（論文） 第 7 頁 共 17 頁 立和發(fā)展的，所以又稱為赤池信息量準則。它可以權衡所估計模型的復雜度和此模型擬合數據的優(yōu)良 性。 參數估計是指確定該時間模型的模型階數后，然后對其對與之對應的ARMA 模型做參數估計。本文采是采用最小二乘法進行參數估計，但要提醒的是，對移動平均模型（ MA 模型）進行參數估計比較困難，所以我們應當選取較低階數的自回歸移動模型。避免出現(xiàn)過度差分而引起的誤差過大的現(xiàn)象。 模型試驗和模型參數估計的識別后，估計的結果應該被診斷和測試，以找出合適的模型。若不合適，