數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)設計-對兩個重要極限的認識(編輯修改稿)
2025-01-04 10:46 本頁面
【文章內容簡介】 ?? 又有， 如果令 2 12211(1 ) [ (1 ) ]xx xy xx ??? ? ? ? ?，則 2211ln ln (1 ) xy xx ?? ? ?， 1lim( ) 0x x??? ??，221lim (1 )x xBx? ?? ? ? ?，從 而， l im l n 0 l n 0x yB? ?? ? ? ?. 于是， l n 0l im l im 1yxxy e e? ?? ? ??? ? ?，221(1 )1l im l im (1 )1(1 )xxxxAxxBx? ? ? ? ? ???? ? ??? ?， AB =1，即 A=， 11lim (1 ) lim (1 )xxxx ?? ?? ? ??? ? ? ?，所以， 1lim(1 )xx x??? ?存在，記這個極限為 e,于是， 1lim(1 )xx x??? ?= 1y x? ，則 x?? 時，0y? ，從而 11l im (1 ) l im (1 )xx y n yexy? ?? ?? ? ? ? 另外，如果 0xx? 時， ( ) 0ax? ，則0 0s in ( ) s inl im l im 1()x x ta x ta x t????，其中 t=a(x).同時，如果 0xx? 時， ()ux?? ，則 0cos 1Limx x? ? ，其中 s=u(x). 如果 0xx? 時， ( ) 0vx? ，則011()0l im (1 ( ) ) l im (1 )v x yx x yv x y e??? ? ? ?，其中 y=v(x). 紹興文理學院本科畢業(yè)論文 5 兩個極限的理論證明 首先我們來證明0 sin 1Limx xx? ?.要證明此極限成立 只要能證明 sincos 1xx??即可 . 極限的數(shù)值0sinLimx xx?實質上是函數(shù) sinx在特殊點 z一 0的導數(shù)，或者說是正弦曲線在原點的切線斜率，但這只能幫助認識極限的意義，求不出其具體數(shù)值 . 在學習微積分甚或有三角函數(shù)概念之前，我們 知道的 sinz只是直角三角形兩邊的比，z只是一個角 度，如何能想到它們的比值極限是多少 ,這就需要從幾何上直觀地看 在附圖中圓半徑為 1，圓心角 z也就等于它所對的圓?。ㄩL )，相應的弦 (圖中虛線 )在鉛垂方向的投影 (的長度 )就等于正弦 sin ，與其平行的切線就是正切 tanx．當圓心角 z極其微小時，相應圓弧 z雖仍然變曲，但由圖可見，它與相應的切線 tanx(一段直線 )幾乎相等，而弦線與切線段 tanx和正弦線 sinx二者都幾乎相等． z無限小下去時，弦與這二者夾角又趨于 0，因而弧與 相 應切線段和正弦線段就完全一樣了，這就說明比值 sinxx 和 tanxx 的極限都該為 1極限都該為 1．回憶教本上的相應內容，也是根據(jù)同樣的觀察和思路，從所得的一 個不等式 sin tanx x x?? .所以可得 sincos 1xx??.從而它對一 切滿足不等式 0 2x???的 x都成立，由 0cos 1Limx x? ? 及函數(shù) 極限的迫斂性可以得到0 sin 1Limx xx? ?. 對于 1(1 )Lim xx ex?? ??的證明 ，我們只要能同證明一下兩個極限： 1lim (1 )xx ex?????, (a) 1lim(1 )xx x?????e, (b) 紹興文理學院本科畢業(yè)論文 6 先利用數(shù)列極限 1lim(1 )nx en?? ??證明（ a）成立 .為此我們作定義在 [1, ? ) 上的兩個階梯函數(shù) 如 下： f(x)= 1(1 )1 nn? ?, 1 n x n? ? ? ,n=1,2,......., g(x)= 11(1 )nn ??, 1 n x n? ? ? ,n=1,2,......., 易知 f 為增函數(shù)且有界， g 為減函數(shù)且有下界， lim ( )x fx???與 lim ( )x gx???都存在，由歸結原理得到 1 l im ( ) l im (1 )1 nxxf x en? ?? ? ?? ? ?? 11lim ( ) lim (1 ) nxxg x en ?? ?? ? ?? ? ? 另一方面，當 1n x n? ? ? 有 1 1 11 1 11n x n? ? ? ? ?? 以及 11 1 1(1 ) (1 ) (1 )1 n x nn x n ?? ? ? ? ?? 所以有 f(x) 1(1 )xx?? g(x).從而根據(jù)迫斂性可證明 1lim (1 )xx ex??? ??,成立 . 現(xiàn)在證明 (b)，我們作代換 x=y,則 1 1 1(1 ) (1 ) (1 )1x y yx y y?? ? ? ? ? ?. 當 x??? 時， y??? 所以有 11 1 1l im ( 1 ) l im ( 1 ) ( 1 )11xyxx ex y y?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???. 所以綜合上面所述 1(1 )Lim xx ex?? ??也成立 . 4 .兩個重要極限的主要應用 兩個重要極限在微分學中的應用 微分學的基礎概念 — 導數(shù)是建立在極限概念基礎上的，即求一個函數(shù) f(x)在點 x 的導數(shù) f’(x),就是計算極限 0( ) ( )limxf x x f xx??? ? ??
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