數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)設計-對兩個重要極限的認識-wenkub
2022-12-10 10:46:30 本頁面
【正文】 中， 1nvb?? 所以， 1101l im (1 ) l im (1 )n an b annb uea ?? ? ??? ? ? ? 其中， 1n bu a? ln lnlim ln * lnnbbyeaa?? ?? 紹興文理學院本科畢業(yè)論文 11 參考文獻 [1] 華東師范大學數(shù)學系 .數(shù)學分析 [M].高等教育出版社， 2020. [2] 王荷芬 ,等 . 高等數(shù)學試題匯解 [M]. 上海 :同濟大學出版社 ,1990. [3] 顧靜相，鐘宜，傅修文 .高等數(shù)學 [M].高等教育出版社， 2020. [4] 鄧鳳蓮 .新課程與教學導論 [M].中國文史出版社， 2020. [5] 歐拉．無窮分析引論 [M]．張延倫，譯．太原：山西教育出版社source。applications 紹興文理學院本科畢業(yè)論文 III 目 錄 中文摘要?????????????????????????????????Ⅰ 英文摘要???????????????????????????????Ⅱ 目錄??????????????????????????????????Ⅲ 1 前 言?????????????????????????????????? 1 2 兩個重要極的提出???????????????????????????? 2 3 兩個重要極限的存在性?????????????????????????? 3 從數(shù)值模擬來看兩個 極限的存在性 ???????????????????? 3 兩個極限的理論證明 ?????????????????????????? 5 4 兩個重要極限的主要應用 ?????????????????????????6 兩個重要極限在微分學中的應用 ????????????????????? 6 兩個重要極限在計算極限中的應用 ???????????????????? 8 參考文獻????????????????????????????????? 11 附錄 ??????????????????? ???????????????? 12 致謝???????????? ????????????????????? 13 紹興文理學院本科畢業(yè)論文 1 1 .前 言 我們學到過許多概念，原理，命題，公式等，諸如函數(shù)，極限，導數(shù)，微分，積分等都反映著客觀事物間的普遍聯(lián)系，都是來源于實踐，又作用于實踐 .像極限概念就是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的，兩個重要極限0 sin 1Limx xx? ?和 1(1 )Lim xx ex?? ??也是如此，并不是數(shù)學家憑空想象出來的 .事實上，許 多實際問題都歸結為這種形式的極限 .如幾何圖形的面積，化學中元素的化合與分解，生物種群的生長和衰落以及放射性元素的衰變等 .本文就是用了幾個實際問題作引例，并從數(shù)學本身說明研究的必要性，使我們能更好的了解這種比較奇特的極限的實際背景和理論淵源以及應用，這不僅有利于強化數(shù)學知識的應用，解決生產(chǎn)和生活中的實際問題，而且有利于我們學生對兩個極限的掌握，不僅有利于形成運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力，特 別是形成數(shù)學創(chuàng)造能力，而且有利于提高我們學習數(shù)學的興趣和主動性 我在本文中就兩個重要極限談先粗淺的看法 . 紹興文理學院本科畢業(yè)論文 2 2 .兩個重要極限的提出 第一個重要極限：0 sin 1Limx xx? ? 例 R 的圓的面積 . 為了導出半徑為 R 的圓的面積，我們作圓的內(nèi)接正 n 邊形，利用三角形和多邊形的面積公式，容易計算出半徑為 R 的圓內(nèi)接正 n 邊形的面積為： 2 2s in ( , 3 )2n RA n n N nn? ?? ? ? 直覺告訴我們，當 n 越大時，從形狀上看，內(nèi)接正 n 邊形的差別就越小，而從數(shù)量上看，以 nA 作為圓面積的近似值也越累越 精確 .但是，無論 n 取得多少大，只要 n 取定了， nA只能是圓內(nèi)接正 n 邊形的面積，而絕對不是圓面積 .因此，為了解決這一差異，只能設想 n無限增大（記為 n→∞），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加 .在這一無限變化的過程中，從形狀上看，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，而其面積 nA 則無限接近于圓面積，而且是個確定的常數(shù) .這樣一個容易被人認識和理解的實際問題給我們 2 點實質(zhì)性的啟示：第一，隨著 n增大，內(nèi)接正 n 邊形的面積不斷地增大，我們不可 能指出哪一個量是它們變化的最后一個量 .第二，當 n 無限增大的時候 ， nA 無限接近于一個確定的常數(shù)，這個確定的常數(shù)理所當然的應該就是圓的面積 . 這不僅為建立數(shù)列極限的概念奠定了基礎，而且提出了一個奇特的極限222sin2l im sin l im22nnR nnRnn?? ??? ? ? ??，這正是第一個重要極限的變形 . 例 2，研究正弦函數(shù) y=sinx 在點 x 處的變化率，我們先計算出當自變量在點 x 處有一改變量 x? 時，相應的函數(shù)的該變量 s in ( ) s in 2 c o s ( ) s in22xxyxx x x ??? ? ? ? ? ? ?，于是，相應的平均變化率 2 c os ( ) sin sin2 2 2c os ( )22x x xy xxxxxx? ? ????? ? ???? ，從而，0 0 0
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