【文章內(nèi)容簡介】 巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、貝賽爾濾波器、橢圓濾波器等濾波器類型。在逼近所需的同一個(gè)濾波器特性時(shí)，這些濾波器具有不同的頻率特性，使用者在應(yīng)用中要學(xué)會(huì)根據(jù)自己的濾波要求選擇合適的逼近類型 [9]。IIR 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： （31）)(1)(0zXYazbzHknkm????（2）FIR 濾波器FIR 濾波器的系統(tǒng)只有零點(diǎn)，因此這一類系統(tǒng)不與 IIR 系統(tǒng)那樣容易取得比較好的通帶與阻帶衰減特性。要取得好的衰減特性，一般要求系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)截取的長度要長。FIR 濾波器和 IIR 濾 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于 L abview 的 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第 4 頁 共 27 頁波器相比，具有一些明顯的優(yōu)點(diǎn)：首先，F(xiàn)IR 系統(tǒng)總是穩(wěn)定的；其次，F(xiàn)IR 系統(tǒng)容易實(shí)現(xiàn)線性相位；最后，F(xiàn)IR 系統(tǒng)允許設(shè)計(jì)多通帶（或多阻帶）濾波器。后兩項(xiàng)都是 IIR 系統(tǒng)不易實(shí)現(xiàn)的 [9]。FIR 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： （32）kmkzhzH???0][)( 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟大致可以分為三步: （1）依照設(shè)計(jì)要求，先了解所要設(shè)計(jì)的濾波器的性能，例如是低通、高通、帶通還是帶阻，截止頻率是多少，阻帶的衰減有多大，同帶的波動(dòng)范圍是多少等；（2）尋找一個(gè)滿足預(yù)定性能要求的離散線性非時(shí)變系統(tǒng)，用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)性能要求。此系統(tǒng)函數(shù)分兩類，即 FIR 系統(tǒng)函數(shù)與 IIR 系統(tǒng)函數(shù)；（3）用一個(gè)有限精度的的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。包括算法結(jié)構(gòu)，如級聯(lián)型、并聯(lián)型、橫截型、頻率采樣型等，還包括選擇合適的字長以及選擇有效的數(shù)字處理方法等 [10]。 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理一個(gè)截止頻率為 ωc(rad/s)的理想數(shù)字低通濾波器，其傳遞函數(shù)表達(dá)式是: （33）?????0)(??jjdeH???wc相應(yīng)的單位取樣響應(yīng) hd(n)為: Hd(n)= （34）??????????dedejnjjd21)(21 nc?)si(由式 33 和 34 可以看出，這個(gè)濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)闆_激響應(yīng)具有無限性和因果性。為了產(chǎn)生有限長度的沖激響應(yīng)函數(shù)，我們?nèi)禹憫?yīng)為 h(n)，長度為 N，其系數(shù)函數(shù)為 H(z)： （35 ）nnzhzH???10)()(用 h(n)表示截取 hd(n)后沖激響應(yīng), 即:式子中 W(n)為窗函數(shù)，長度為 N。當(dāng) τ=(N1)/2 時(shí)，截取的一段 h(n)對(N1)/2 對稱，可保證所設(shè)計(jì)的濾波器具有線性相位。一般來說，F(xiàn)IR 數(shù)字濾波器輸出 y(n)的 Z 變換形式 Y(z)與輸入 x(n)的 Z 變換形式之間的關(guān)系如下: （36）)()()1(0()() zXnhzhzXHZY????? 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于 L abview 的 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第 5 頁 共 27 頁實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖 31 所示。圖 31從上面的 Z 變換和結(jié)構(gòu)圖可以很容易得出 FIR 濾波器的差分方程表示形式。對式 36 進(jìn)行反 Z 變換，可得: （37）)1()1()2()1( xnhnxhxnY?????式 37 為 FIR 數(shù)字濾波器的時(shí)域表示方法，其中 x(n)是在時(shí)間 n 的濾波器的輸入抽樣值。根據(jù)式 37即可對濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì) [10]。 窗函數(shù)法①設(shè)計(jì)思想：從時(shí)域出發(fā)，設(shè)計(jì)逼近理想。以低通線性相位 FIR 數(shù)字濾波器為例：一般是無限長的，且是非因果的，不能直接作為 FIR 濾波器的單位脈沖響應(yīng)。要想得到一個(gè)因果的有限長的濾波器h(n)，最直接的方法是截?cái)?，即截取為有限長因果序列，并用合適的窗函數(shù)進(jìn)行加權(quán)作為 FIR 濾波器的單位脈沖響應(yīng)。按照線性相位濾波器的要求，h(n)必須是偶對稱的。對稱中心必須等于濾波器的延時(shí)常數(shù)，即用矩形窗設(shè)計(jì)的 FIR 低通濾波器，所設(shè)計(jì)濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度的 9%，這個(gè)現(xiàn)象稱為吉布斯（ Gibbs）效應(yīng)。為了消除吉布斯效應(yīng)，一般采用其他類型的窗函數(shù)。②．利用窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR 濾波器的具體步驟如下：（1）按允許的過渡帶寬度△ω 及阻帶衰減 AS，選擇合適的窗函數(shù)，并估計(jì)界數(shù) N，其中 A 由窗函數(shù)的類型決定；（2）由給定的濾波器的幅頻響應(yīng)參數(shù)求出理想的單位脈沖響應(yīng) ；（3）確定延時(shí)值 ；（4）計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)；（5）驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求 [10]。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于 L abview 的 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第 6 頁 共 27 頁 頻率采樣法頻率采樣法是從頻域出發(fā),根據(jù)頻域采樣定理，對給定的理想濾波器的頻率響應(yīng) jw [4] Hd(e )加以等間隔的抽樣 ，得到 Hd(k)： 1,.0/)2(|)()(???NKNkwejd ??（38）再利用 可求得 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 及頻率響應(yīng) ：)(khd )(zH)(?je)2())(1)(01NkHeZnzNKjkn???????? 其中，φ(w) 是一個(gè)內(nèi)插函數(shù)： 2/)1(/sin())(?Nje?? 從以上公式可以看出，在每個(gè)采樣頻率點(diǎn) 處，濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和NkW/2??理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等,即： （39）)()()(( 22 NkjddNKj eHkeH???? 而在各采樣點(diǎn)間的頻率響應(yīng)則是其的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)延伸疊加的結(jié)果。但對于一個(gè)無限長的序列，用頻率采樣法必然有一定的逼近誤差,誤差的大小取決于理想頻響曲線的形狀, 理想頻響特性變換越平緩, 則內(nèi)插函數(shù)值越接近理想值,誤差越小。為了提高逼近的質(zhì)量，可以通過在頻率相應(yīng)的過渡帶內(nèi)插入比較連續(xù)的采樣點(diǎn)，擴(kuò)展過渡帶使其比較連續(xù)，從而使得通帶和阻帶之間變換比較緩慢，以達(dá)到減少逼近誤差的目的 [11]。 選取 ∈[0,2π]內(nèi) N 個(gè)采樣點(diǎn)的約束條件為：? （310）?????)()(mkHk?10??k 等波紋切比雪夫逼近法盡管窗函數(shù)法與頻率采樣法在 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用, 但兩者都不是最優(yōu)化的設(shè)計(jì)。通常線性相位濾波器在不同的頻帶內(nèi)逼近的最大容許誤差要求不同。等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則就是通過對通帶和阻帶使用不同的加權(quán)函數(shù),實(shí)現(xiàn)在不同頻段(通常指的是通帶和阻帶) 的加權(quán)誤差 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于 L abview 的 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第 7 頁 共 27 頁最大值相同，從而實(shí)現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標(biāo)的條件下達(dá)到最小值，即使得 和)(?jdeH之間的最大絕對誤差最小。)(?jeH 等波紋切比雪夫逼近是采用加權(quán)逼近誤差 ，它可以表示為：)(?je （311）)()( ??jjdjj eHWeE??其中， 為逼近誤差加權(quán)函數(shù)，在誤差要求高的頻段上，可以取較大的加權(quán)值，否則，應(yīng))(?jeW當(dāng)取較小的加權(quán)值。盡管按照 FIR 數(shù)字濾波器單位取樣響應(yīng) h(n)的對稱性和 N 的奇、偶性，F(xiàn)IR 數(shù)字濾波器可以分為 4 種類型，但濾波器的頻率響應(yīng)可以寫成統(tǒng)一的形式： （312）其中， ， 為幅度函數(shù)，且是一個(gè)純實(shí)數(shù)，表達(dá)式也可以寫成統(tǒng)一的形式：)1,0(?k(?H （313）)()(??PQeHj?其中， 為 ω 的固定函數(shù)， 為 M 個(gè)余弦函數(shù)的線性組合。若令：)(Q)(P，/)(,)(???eHeWjddj ??因此，由式（9） 、 （10）將 改寫成：jE ??)()((?PeEdj ?故等波紋切比雪夫逼近法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的步驟是： ①給出所需的頻率響應(yīng) 加權(quán)函數(shù) 和濾波器的單位取樣響應(yīng) h(n)的長度 N。 )(?jdeH)(jweW②由①中給定的參數(shù)來形成所需的 、 和 的表達(dá)式。 d)(?P③根據(jù) Remez 算法,求解逼近問題。 ④利用傅立葉逆變換計(jì)算出單位取樣響應(yīng) h(n) [11]。Remez 算法是由 Parks 和 McClellan 等人在 1972 年推導(dǎo)出來的。它是將 FIR 數(shù)字濾 ( N ,σ1,σ2,ωp,ωs)中的 N,ωp,ωs 和 σ1/σ2 固定,而視 σ1(或 σ2)為變量的一種迭代方法。在MATLAB 工具箱中可以直接調(diào)用 remez 函數(shù)（采用 Remez 算法） ，來進(jìn)行 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。其具體算法有幾種，常見的一種算法格式為： b= remez (n, f, a, w, ‘ftype’))()()2/(/)1(???eekjNjj?? 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于 L abview 的 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第 8 頁 共 27 頁 小結(jié)本章首先論述了數(shù)字濾波器的定義和其特點(diǎn)以及數(shù)字濾波器的定義和分類，然后分別介紹了 IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)和 FIR 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)，并對兩者進(jìn)行了比較，闡述了選擇 FIR 數(shù)字濾波器作為設(shè)計(jì)重心的原因。4 基于 LabVIEW 的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 前言創(chuàng)建虛擬儀器的過程共分三步：