【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 D′在拋物線上， ∴ =a（ 2+1）（ 2﹣ 1）， 解得， a= ， ∴ 該二次函數(shù)解析式是： y= （ x+1）（ x﹣ 1）（或 y= x2﹣ ）． 故答案是： y= （ x+1）（ x﹣ 1）（或 y= x2﹣ ）． 點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解直角三角 形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．在求點(diǎn) D′的坐標(biāo)時(shí)，也可以在直角 △ AED′中利用 “勾股定理、30176。角所對(duì)的直角邊是所對(duì)的斜邊的一半 ”進(jìn)行解答． 11．已知：如圖，過(guò)原點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)為 M（﹣ 2， 4），與 x軸負(fù)半軸交于點(diǎn) A，對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn) B，點(diǎn) P 是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PQ⊥ MA 于點(diǎn) Q． （ 1）拋物線解析式為 y=﹣ x2﹣ 4x ． （ 2）若 △ MPQ與 △ MAB 相似，則滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 （﹣ ， ）、（﹣ ， ） ． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題 ： 計(jì)算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合 ；分類討論． 分析： （ 1）設(shè)拋物線的解析式為： y=a（ x+2） 2+4，因?yàn)閽佄锞€過(guò)原點(diǎn)，把（ 0， 0）代入，求出 a 即可． （ 2）由于 PQ⊥ MA，即 ∠ MQP=∠ MBA=90176。；所以只要滿足 ∠ PMQ=∠ MAB 或∠ PMQ=∠ AMB． ①∠ PMQ=∠ AMB 時(shí)，先找出點(diǎn) B 關(guān)于直線 MA的對(duì)稱點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn) C），顯然有 AC=AB=MC=MB=4，可根據(jù)該條件得到點(diǎn) C 的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線 MC（即直線 MP）的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點(diǎn) P 的坐標(biāo)； ②∠ PMQ=∠ MAB 時(shí)，若設(shè)直線 MP 與 x軸的交點(diǎn)為 D，那么 △ MAD 必為 等腰三角形，即 MD=AD，根據(jù)此條件先求出點(diǎn) D的坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線 MP 的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得解． 解答： 解：（ 1） ∵ 過(guò)原點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)為 M（﹣ 2， 4）， ∴ 設(shè)拋物線的解析式為： y=a（ x+2） 2+4， 將 x=0， y=0 代入可得： 4a+4=0， 解得： a=﹣ 1， ∴ 拋物線解析式為： y=﹣（ x+2） 2+4， 即 y=﹣ x2﹣ 4x； （ 2） ∵ PQ⊥ MA ∴∠ MQP=∠ MBA=90176。； 若 △ MPQ、 △ MAB 相似，那么需滿足下面的其中一種情況： ①∠ PMQ=∠ AMB，此時(shí) MA 為 ∠ PMB 的角平分線，如圖 ①； 取點(diǎn) B 關(guān)于直線 MA的對(duì)稱點(diǎn) C，則 AC=AB=2， MC=MB=4，設(shè)點(diǎn) C（ x， y），有： ，解得 （舍）， ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（﹣ ， ）； 設(shè)直線 MP 的解析式： y=kx+b，代入 M（﹣ 2， 4）、（﹣ ， ）得： ，解得 ∴ 直線 MP： y= x+ 聯(lián)立拋物線的解析式，有： ，解得 ， ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)（﹣ ， ）； ②∠ PMQ=∠ MAB，如右圖 ②，此時(shí) △ MAD 為等腰三角形，且 MD=AD，若設(shè)點(diǎn) D（ x，0），則有： （ x+4） 2=（ x+2） 2+（ 0﹣ 4） 2，解得： x=1 ∴ 點(diǎn) D（ 1， 0）； 設(shè)直線 MP 的解析式： y=kx+b，代入 M（﹣ 2， 4）、 D（ 1， 0）后，有： ，解得： ∴ 直線 MP： y=﹣ x+ 聯(lián)立拋物線的解析式有： ，解得： ， ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)（﹣ ， ） 綜上，符合條件的 P 點(diǎn)有兩個(gè)，且坐標(biāo)為（﹣ ， ）、（﹣ ， ）． 故答案：（ 1） y=﹣ x2﹣ 4x；（ 2）（﹣ ， ）、（﹣ ， ）． 點(diǎn)評(píng)： 該題雖然是一道填空題，但難度不亞于壓軸題；主要的難度在于第二題，在“相似三角形 →相等角 →確定關(guān)鍵點(diǎn) →得到直線 MP 解析式 ”的解題思路中，綜合了相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形、坐標(biāo)系兩 點(diǎn)間的距離公式、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等重點(diǎn)知識(shí)，這就要求同學(xué)們有扎實(shí)的基礎(chǔ)功底和良好的數(shù)形結(jié)合的思考方法． 12．如圖，將 2個(gè)正方形并排組成矩形 OABC， OA和 OC 分別落在 x軸和 y 軸的正半軸上．正方形 EFMN 的邊 EF 落在線段 CB 上，過(guò)點(diǎn) M、 N 的二次函數(shù)的圖象也過(guò)矩形的頂點(diǎn) B、 C，若三個(gè)正方形邊長(zhǎng)均為 1，則此二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=﹣ x2+ x+1 ． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題 ： 代數(shù)幾何綜合題． 分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn) B、 C的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性確定出點(diǎn) M 的坐標(biāo)，然后利用待 定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可． 解答： 解： ∵ 正方形的邊長(zhǎng)為 1， ∴ OA=1+1=2， OC=1， ∴ 點(diǎn) B（ 2， 1）、 C（ 0， 1）， ∵ 正方形 EFMN 的兩頂點(diǎn) M、 N 在拋物線上， ∴ 根據(jù)二次函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性，點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 1﹣ 1=1﹣ = ， 縱坐標(biāo)為 1+1=2， ∴ 點(diǎn) M（ ， 2）， 設(shè)二次函數(shù)解析式為 y=ax2+bx+c， 則 ， 解得 ， 所以，二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=﹣ x2+ x+1． 故答案為： y=﹣ x2+ x+1． 點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，綜合題但難度不大，確定出點(diǎn) B、 C、 M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵． 13．下列圖形中陰影部分的面積相等的是（填序號(hào)） ③④ ． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題 分析： 首先根據(jù)各圖形的函數(shù)解 析式求出函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得各個(gè)陰影部分的面積，進(jìn)而可比較出個(gè)陰影部分面積的大小關(guān)系． 解答： 解： ①：直線 y=x+2 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣ 2， 0），（ 0， 2），故 S 陰影= 22=2； ②：圖中的函數(shù)為正比例函 數(shù)，與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)（ 0， 0），由于缺少條件，無(wú)法求出陰影部分的面積； ③：該拋物線與坐標(biāo)軸交于：（﹣ 1， 0），（ 1， 0），（ 0，﹣ 1），故陰影部分的三角形是等腰直角三角形，其面積 S= 21=1； ④：此函數(shù)是反比例函數(shù)，那么陰影部分的面積為： S= xy= 2=1； 因此 ③④的面積相等， 故答案為： ③④． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及圖形面積的求法，是基礎(chǔ)題，熟練掌握各函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 14．如圖，平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， A（ 0， 2）， ⊙ M 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 和 點(diǎn) A，若點(diǎn) M 在拋物線 上，則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 （ ， 1），（﹣ ， 1） ． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析： 根據(jù) ⊙ M 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 和點(diǎn) A，得出 M 在 AO 的垂直平分線上，進(jìn)而得出垂直平分線解析式為 y=1，再求出兩圖象交點(diǎn)即可． 解答： 解： ∵ A（ 0， 2）， ⊙ M 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 和點(diǎn) A， ∴ AO=2， ∴ M 在 AO 的垂直平分線上， ∴ 垂直平分線解析式為 y=1， ∴ 兩圖象交點(diǎn)為： 1= x2， 解得： x=177。 ， ∴ 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為：（ ， 1），（﹣ ， 1）． 故答案為：（ ， 1），（﹣ ， 1）． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考 查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知得出 M 在 AO 的垂直平分線上是解題關(guān)鍵． 三．解答題（共 6 小題） 15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線 y=x+4 與 x軸、 y 軸分別相交于點(diǎn) A和點(diǎn) C，拋物線 y=x2+kx+k﹣ 1 圖象過(guò)點(diǎn) A和點(diǎn) C，拋物線與 x軸的另一交點(diǎn)是 B， （ 1）求出此拋物線的解析式、對(duì)稱軸以及 B 點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）若在 y 軸負(fù)半軸上存在點(diǎn) D，能使得以 A、 C、 D 為頂點(diǎn)的三角形與 △ ABC 相似，請(qǐng)求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題 ： 綜合題． 分析： （ 1）先求出 A、 C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再 代入拋物線的解析式，就可求出該拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程 x=﹣ 求出拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn) B 的坐標(biāo)； （ 2）易得 ∠ OAC=∠ OCA， ∠ ABC＞ ∠ ADC，由此根據(jù)條件即可得到 △ CAD∽△ ABC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出 CD 的長(zhǎng)，由此可得到 OD 的長(zhǎng)，就可解決問(wèn)題． 解答： 解：（ 1）由 x=0 得 y=0+4=4，則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0， 4）； 由 y=0 得 x+4=0，解得 x=﹣ 4，則點(diǎn) A的坐標(biāo)為（﹣ 4， 0）； 把點(diǎn) C（ 0， 4）代入 y=x2+kx+k﹣ 1，得 k﹣ 1=4， 解得： k=5， ∴ 此拋物線的解析式為 y=x2+5x+4， ∴ 此拋物線的對(duì)稱軸為 x=﹣ =﹣ ． 令 y=0 得 x2+5x+4=0， 解得： x1=﹣ 1， x2=﹣ 4， ∴ 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 0）． （ 2） ∵ A（﹣ 4， 0）， C（ 0， 4）， ∴ OA=OC=4， ∴∠ OCA=∠ OAC． ∵∠ AOC=90176。， OB=1， OC=OA=4， ∴ AC= =4 ， AB=OA﹣ OB=4﹣ 1=3． ∵ 點(diǎn) D 在 y 軸負(fù)半軸上， ∴∠ ADC＜ ∠ AOC，即 ∠ ADC＜ 90176。． 又 ∵∠ ABC＞ ∠ BOC，即 ∠ ABC＞ 90176。， ∴