20xx高中數(shù)學人教a版必修四第三章1同角三角函數(shù)的基本關系練習題含答案(編輯修改稿)
2025-01-03 00:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 0176。 － 1－ cos240176。 ＝ ________． (3)化簡： 1－ 2sinα 2 cosα 2 ＋ 1＋ 2sinα 2 cosα 2 ????0α π2 . 解： (1)選 sin θ 0， tan θ 0， 所以 θ在第三象限 ， 所以原式＝ cos2θ ＝ |cos θ |＝－ cos θ . (2)原式＝ sin240176。 ＋ cos240176。 － 2sin 40176。 cos 40176。cos 40176。 － sin240176。 ＝ （ sin 40176。 － cos 40176。 ）2cos 40176。 － sin 40176。 ＝ |sin 40176。 － cos 40176。 |cos 40176。 － sin 40176。 ＝ cos 40176。 － sin 40176。cos 40176。 － sin 40176。 ＝ 1. (3)原式＝ sin2α 2 － 2sinα 2 cosα 2 ＋ cos2α2 ＋ sin2α 2 ＋ 2sinα 2 cosα2 ＋ cos2α2 ＝ ?? ??cosα 2 － sinα 22＋ ?? ??cosα 2 ＋ sinα 22 ＝ ?? ??cosα 2－ sinα 2 ＋ ?? ??cosα 2 ＋ sinα 2 . 因為 α ∈ ?? ??0， π2 ， 所以 α 2 ∈ ?? ??0， π 4 ， 所以 cosα 2 － sinα 2 0， cosα 2 ＋ sinα 2 0， 所以原式＝ cosα 2 － sinα 2 ＋ cosα 2 ＋ sinα 2 ＝ 2cosα 2 . 三角恒等式的證明 求證： 2(1－ sin α )(1＋ cos α )＝ (1－ sin α ＋ cos α )2. (鏈接教材 P116例 7) [證明 ] 法一： 左邊＝ 1＋ 1－ 2sin α ＋ 2cos α － 2sin α cos α ＝ 1＋ sin2α ＋ cos2α － 2sin α cos α ＋ 2(cos α － sin α ) ＝ 1＋ 2(cos α － sin α )＋ (cos α － sin α )2 ＝ (1－ sin α ＋ cos α )2＝右邊 ． 法二： 左邊＝ 2－ 2sin α ＋ 2cos α － 2sin α cos α ， 右邊＝ 1＋ sin2α ＋ cos2α － 2sin α ＋ 2cos α － 2sin α cos α ＝ 2－ 2sin α ＋ 2cos α － 2sin α cos α ， 所以左邊＝右邊 ． 法三： 令 1－ sin α ＝ x， cos α ＝ y， 則 (x－ 1)2＋ y2＝ 1， 即 x2＋ y2＝ 2x. 所以左邊＝ 2x(1＋ y)＝ 2x＋ 2xy＝ x2＋ y2＋ 2xy＝ (x＋ y)2＝右邊 ． 方法歸納 證明三角恒等式的常用方法 證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程 ， 證明時常用的方法有： (1)從一邊開始 ， 證明它等于另一 邊 ， 遵循由繁到簡的原則 ． (2)證明左右兩邊等于同一個式子 ． (3)證明左邊減去右邊等于零或左、右兩邊之比等于 1. (4)證明與原式等價的另一個式子成立 ， 從而推出原式成立 ． 3． (1)證明： 1＋ 2sin α cos αsin2α － cos2α ＝ 1＋ tan αtan α － 1. (2)求證： cos α1＋ sin α － sin α1＋ cos α ＝ 2（ cos α － sin α ）1＋ sin α ＋ cos α . 證明： (1)左邊＝ sin2α ＋ cos2α ＋ 2sin α cos αsin2α － cos2α ＝ （ sin α ＋ cos α ）2（ sin α － cos α ）（ sin α ＋ cos α ） ＝ sin α ＋ cos αsin α － cos α ＝ 1＋ tan αtan α － 1＝右邊 ． (2)左邊＝ cos α （ 1＋ cos α ）－ sin α （ 1＋ sin α ）（ 1＋ sin α ）（ 1＋ cos α ） ＝ （ cos α － sin α ）（ 1＋ sin α ＋ cos α ）1＋ sin α ＋ cos α ＋ sin α cos α ＝ 2（ cos α － sin α ）（ 1＋ sin α ＋ cos α ）2＋ 2sin α ＋ 2cos α ＋ 2sin α cos α ＝ 2（ cos α － sin α ）（ 1＋ sin α ＋ cos α ）1＋（ sin2α ＋ cos2α ）＋ 2sin α ＋ 2cos α ＋ 2sin α cos α ＝ 2（ cos α － sin α ）（ 1＋ sin α ＋ cos α ）（ 1＋ sin α ＋ cos α ） 2 ＝ 2（ cos α － sin α ）1＋ sin α ＋ cos α ＝右邊 ． 易錯警示 因忽略角 的范圍致誤 在 △ ABC 中 ， 已知 sin A＋ cos A＝ 22 ， 求 tan A 的值 ． [解 ] 法一： 因為 sin A＋ cos A＝ 22 ， ① 所以 (sin A＋ cos A)2＝ 12， 所 以 2sin Acos A＝－ 12， 所以 sin Acos A＜ 0. 又因 為 0＜ A＜ π ， 所以 sin A＞ 0， cos A＜ 0， 所以 sin A－ cos A＝ （ sin A－ cos A） 2 ＝ 1－ 2sin Acos A＝ 62 .② 由 ①② ， 得 sin A＝ 6＋ 24 ， cos A＝ 2－ 64 ， 所以 tan A＝ sin Acos A＝－ 2－ 3. 法二： 因為 sin A＋ cos A＝ 22 ， 所以 cos A＝ 22 － sin A. 又因為 sin2A＋ cos2A＝ 1， 所以 sin2A＋ ??? ???22 － sin A2＝ 1. 整理 ， 得 4sin2A－ 2 2sin A－ 1＝ 0， 解得 sin A＝ 2＋ 64 或 sin A＝ 2－ 64 . 又因為 0Aπ ， 所以 sin A0， 所以 sin A＝ 2＋ 64 ， cos A＝ 22 － sin A＝ 2－ 64 ， 所以 tan A＝ sin Acos A＝－ 2－ 3. [錯因與防范 ] (1)本題易錯解為 tan A＝－ 2177。 3， 原因在于忽略了三角形內(nèi)角 A 的范圍為 (0， π )這個隱含條件 ， 進而對 sin A， cos A 的符號判斷出現(xiàn) 錯誤 ． (2)對題目的條件要認真分析 ， 找出隱含條件 ， 并要學會辨析使用 ， 如本例中在三角形中 ， 內(nèi)角都是有范圍的 ， 均為 (0， π )， 從而有 sin A0 這一條件 ． 一些常見常用的知識要記牢 ， 并會應用 ， 如三角函數(shù)求值中 ， 只要涉及 sin α 與 cos α ，就有 sin2α ＋ cos2α ＝ 1， 這一條件往往是解題的關鍵 ． 4． (1)若 sin α ＝ m－ 313 ， c
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