第1講集合與函數(shù)的概念(編輯修改稿)
2024-12-30 12:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1)起點的尋找；（ 2）層次的劃分，分類時應(yīng)做到既不重復(fù)，又不遺漏。 zhuantitanj iu 》 0 3 專題探究 專題探究 優(yōu)化思維 【例 1】已知集合 A={（ x， y） |x2+mx－ y+2=0}， B={（ x， y） |x－ y+1=0， 0≤ x≤ 2}，若 A∩ B≠Φ ，求實數(shù) m的取值范圍。 【注釋】 集合問題與函數(shù)、方程和不等式以及與整個中學數(shù)學知識有關(guān)，要正確運用集合的思想將問題相互轉(zhuǎn)化，特別是數(shù)與形、代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化。 【 強化訓練 】集合 A={（ x， y） |y=a|x|}， B={ x|y=x+a} ，若 A∩ B 為單元素集合，試求實數(shù) a的取值范圍。 分析：??? ??? xay xay || axxa ??? ||。于是分情況 0?a 與 0?a 討論。 【例 2】已知集合 M={（ x， y） |y= 216 x? y≠ 0}與 N={（ x， y） |y=x+a}，若 M∩ N=，求實數(shù) a的取值范圍。 【 強化訓練 】設(shè) A={（ x， y） ||x|≤ 1， |y|≤ 1}與 B={ x|（ x－ a） 2+（ y－ a） 2≤ 1} ， 若滿足 A∩ B≠ φ ，求實數(shù) a的取值范圍。 【例 3】已知三集合 A={（ x， y） |x=n， y=an+b， n∈ Z}， B={（ x， y） |x=m， y=3m2+15，m∈ Z}與集合 C={（ x， y） |x2+y2≤ 144}，問是否存在實數(shù) a， b，使得：（ 1） A∩ B≠Φ ；（ 2）（ a， b）∈ C同時成立？ 分析：假設(shè)存在 a、 b使得⑴成立，得到 a與 b的關(guān)系后與 x2+y2≤ 144聯(lián)立，然后討論聯(lián)立的不等式組。 4 解法 1：假設(shè)存在 a、 b使得 A∩ B≠Φ 成立，則集合 A={（ x， y） |x=n， y=an+b， n∈ Z}與 B={（ x， y） |x=m， y=3m2+15， m∈ Z}分別對應(yīng)集合 A1={（ x， y） |y=ax+b， x∈ Z}與 B1={（ x，y） |y=3x2+15， x∈ Z}，于是兩集合分別對應(yīng)于直線 baxy ?? 與拋物線 153 2 ?? xy 至少要有公共點，即方程組??? ?? ?? baxy xy 153 2 有解，于是消去 y得 3x2－ ax+15－ b=0，從而依據(jù) 3x2－ ax+15－ b=0有解得 Δ =a2－ 12（ 15－ b）≥ 0，即－ a2≤ 12b－ 180…（ 1） 又 a2+b2≤ 144…（ 2），于是由（ 1）與（ 2）得（ b－ 6） 2≤ 0，即 b=6，將 b=6代入（ 1）得 a2≥ 108，再將 b=6 代入（ 2）得 a2≤ 108，于是可得 a=177。 6 3 ，于是將 a=177。 6 3 與 b=6代入方程 3x2+15=ax+b，得 3x2177。 6 3 x+9=0，解得 x=177。 3 ?Z，此與已知矛盾。 故不存在實數(shù) a， b，使得：⑴ A∩ B≠Φ ；⑵（ a， b）∈ C同時成立。 【點撥】（ 1）解法中“ Δ ≥ 0”，僅是一個方程有解的必要條件，即 Δ ≥ 0只能保證直線與拋物線有公共點，但這個公共點不一定是整數(shù)點，進而利用另一個條件可求得 a、 b不能使二曲線的交點為整數(shù)點，因此符合題意的 a、 b就不存在了。 （ 2）凡涉及“是否存在”、“是否具有某種性質(zhì)”等這一類的未定結(jié)論的討論式探索性問題：假定結(jié)論成立，進而經(jīng)過演繹推理，在推導過程中，若出現(xiàn)矛盾
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