抽樣調(diào)查-第3章分層隨機抽樣(編輯修改稿)
2025-03-22 16:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 與比估計相似，將回歸估計的思想和技術(shù)用于分層隨機抽樣時，同樣有兩種方法： 一種是對每層樣本分別求取回歸估計量，然后對各層的回歸估計量進行加權(quán)平均，此時所得的 估計量稱為 分別回歸估計 （ separate regression estimator)。 另一種是對兩個變量先分別計算出分層簡單估計量然后再對它們的分層簡單估計量來構(gòu)造回歸估計，這時所得的估計量稱為 聯(lián)合回歸估計 （ bined regression estimator). 返回 (separate regression estimator) 總體均值 Y的估計 : ? ?? ????? LhLhhhhhhlrhhlrs xXyWyWy1 1))(( ?總體總量 Y的估計 : ??? ???? Lhhhhhhlrs xXyNyNY1))(( ?返回 當(dāng)各層的回歸系數(shù)為事先給定的常數(shù)時 , 分別回歸估計量是無偏的。 其方差為 : )2()1()( 2222yxhhxhhyhh hhhlrs SSSnfWyV ?? ???? ?其中 是第 h層的回歸系數(shù) h?返回 并且當(dāng) LhSSxhyxhh ,2,1,2 ????時 , )( lrsyV達(dá)到最小 ,即 )1()1()( 2212min hyhLh hhhlrs SnfWyV ???? ??????????hnihhihnihhihhihxxxxyyb121)())((通常 未知 ,可用回歸系數(shù) 作為 的估計 : h?hbh?返回 注 意 （ 1）分別回歸估計量是有偏的 ,但當(dāng)每一層的樣 本量 都很大時 ,估計的偏倚可以忽略 ,其方差近 似為 : hn)1()1()( 2212hyhLh hhhlrs SnfWyV ???? ??（ 2）這里 是子總體的回歸系數(shù)， 是子總體 樣本的回歸系數(shù)，前者是未知的，后者是可知的。 hbh?返回 方差 )( lrsyV的樣本估計值為 : 212 )1()( ehLh hhhlrs snfWyv ????式中 , ???????hnihhihhhiheh xxbyyns122 ))()((21 分別回歸估計量要求每一層的樣本量都較大 ,如 果這個條件得不到滿足 ,則分別回歸估計量的偏倚 可能很大 ,這時 ,采用聯(lián)合回歸估計量更好些。 返回 (bined regression estimator) 總體均值 Y的估計 : )( ststlrc xXyy ??? ?總體總量 的估計 : )( ststlrclrc XXYyN ???? ?? ?式中， stst xy 和分別為 XY和的分層估計。 lrclrc Y?及是無偏的，其方差為： )2()1()( 22222yxhxhyhh hhhlrc SSSnNfNyV ?? ???? ? )2()1()( 2222yxhxhyhh hhhlrc SSSnfNY ?? ???? ??返回 并且，只要 β取 ???????LhhxhhhLhyxhhhcnSfWnSfWB12212)1()1(時， )( lrcyV達(dá)到最小。 當(dāng)回歸系數(shù)未知時，取 β為 cB的樣本估計： ???????LhhxhhhLhyxhhhcnsfWnsfWb12212)1()1(這時 ,聯(lián)合 回歸估計量是有偏的 ,但當(dāng)樣本量 n較大時， 估計的偏倚可以忽略 ,其方差近似為 : 返回 )2()1()( 2222yxhcxhcyhh hhhlrc SBSBSnfWyV ???? ?方差 )( lrcyV的樣本估計為： )2()1()( 2222yxhcxhcyhh hhhlrc sbsbsnfWyv ???? ?返回 分別回歸估計與聯(lián)合回歸估計的比較 當(dāng)回歸系數(shù)設(shè)定時 ,分別回歸估計優(yōu)于 聯(lián)合回歸估計； 當(dāng)回歸系數(shù)由樣本估計時 ,如果各層的樣 本量不太小 ,采用 分別回歸估計為宜 . 否則， 采用聯(lián)合回歸估計為好！ 返回 【 例 】 （ 續(xù)例 ）利用回歸估計量估計該市港口 生產(chǎn)單位 1997年完成的吞吐量。 解： 樣本回歸系數(shù)： h=1,非國有 h=2,國有 hb則 按 分別回歸估計量估計 ：（ 見 P85） ??lrsY 69)( ??lrsYv )() ????lrslrs YvYs返回 按 聯(lián)合 回歸估計量估計 :(見教材 P86） , ?? ? lrcc Yb , 32)( ?? lrcYv )()( ?? ?? lrclrc YvYs 從本題看 ,聯(lián)合回歸估計量比分別回歸估計量要優(yōu)一些 ! 返回 分別比率估計、聯(lián)合比率估計、分別回歸 估計和聯(lián)合回歸估計的比較 （ 參看教材 P96. 【 例 】 ） 返回 比率估計與回歸估計總結(jié)： 在分層隨機抽樣中，當(dāng)有輔助變量信息可以利 用時，我們可以采用分別比率估計、聯(lián)合比率估計、 分別回歸估計以及聯(lián)合回歸估計方法。在選用這些 估計量時，要注意以下幾個問題： 比估計是有偏估計量，當(dāng)各層樣本量都較大時 兩種比估計都近似無偏；當(dāng)某些層的樣本量不夠大， 而總樣本量較大時，聯(lián)合比率估計近似無偏。 返回 在回歸估計中，若事先設(shè)定回歸系數(shù)，其估計量 無偏；若用樣本回歸系數(shù)作為回歸估計系數(shù)，其估計 量有偏，但在大樣本情況下近似無偏。 當(dāng)主要變量 Y和輔助變量 X高度相關(guān)時，比率估 計和回歸估計都是有效的，且能大幅度地提高估計精度。 返回 167。 樣本量在各層的分配 對于分層抽樣，當(dāng)總的樣本量一定時，還需研究各層應(yīng)該分配多少樣本量的問題，因為對總體推算時，估計量的方差與各層的方差有關(guān)，還與各層所分配的樣本量有關(guān)。 一、 比例分配 這里的比例分配指的是按各層單元數(shù)占總體單元數(shù)的比例，也就是按各層的層權(quán)進行分配，這時 fNnNnfWNNnnhhhhhh ????? 或?qū)τ诜謱映闃?，這時總體均值 Y的估計是： 返回 ??? ???? ????hnihihLhhhLhLhhhhprop ynnnynnyWy111 11yynynniiLhnihih ??? ?? ??? ? 11 111總體比例 P 的估計是： ????Lhhprop pnpp11 這是因為總體中的人一單元，不管它在哪一層，以同樣的概率入樣，因此 按比例分配的分層隨機樣本，估計量的形式特別簡單。這種樣本也稱為自加權(quán)的樣本。 返回 的方差為propy21 12 1)()(hhhLhLhhhhhprop SnfnnWyVWyV ??? ? ?? ????? Lhhh SWnf121的方差為propp ?? ??????? LhhhhLh hhhhPRO P QPWnfNQPNNnfPV112 111)(返回 二、 最優(yōu)分配 如果我們考慮簡單線性費用函數(shù) ,總費用 ???? Lhhh nccC10則 最優(yōu)分配是 : LhcSNcSNcSWcSWnnLh hhhhhhLh hhhhhhh ,2,1,
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