【文章內(nèi)容簡介】 ( ) 0fx? (41) 求解此方程時。先給出解的近似值 (0)x 它與真解的誤差為 (0)x? ，則(0) (0)x xx? ?? 將滿足方程，即 ( 0 ) ( 0 )( ) 0f xx? ? ? (42) 將 (38)式左邊的函數(shù)在 (0)x 附近展成泰勒級數(shù)，于是便得 239。 39。39。 ( )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 0) ( 0)( ) ( ) ( ) ( ) ...... ( ) ....2 ! !( ) ( )nnff nxxf f fx x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ??? (43) 式 中 ，39。 (0)()f x ,…… () (0)nf x 分別為函數(shù) ()fx在 (0)x 處的一階導(dǎo)數(shù)， … .， n 階導(dǎo)數(shù)。 如果差值 (0)x? 很小， (39)式右端 (0)x? 的二次及以上階次的各項均可略去。于是， (39)便簡化為 39。( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( ) ( )ff fx x x x x? ? ? ? ?＝ 0 (44) 這是對于變量的修正量 (0)x? 的現(xiàn)行方程式，亦稱修正方程式。解此方程可得修正量 ( 0 )( 0 )39。 ( 0 )()()f xx f x? ? ? (45) 用所求的 (0)x? 去修正近似解，變得 ( 0 )( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )39。 ( 0 )()()f xx x x x f x? ? ? ? ? (46) 由于 (310)是略去高次項的簡化式，因此所解出的修正量 (0)x? 也只是近似值。修正后的近似解 (1)x 同真解仍然有誤差。但是，這樣的迭代計算xx 理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 可以反復(fù)進(jìn)行下去，迭代計算的通式是 ()( 1 ) ( )39。 ()()()kkkkf xxx f x? ?? (47) 迭代過程的收斂判據(jù)為 ()1()kf x ?? (48) 或 ()2kx ??? (49) 式中1?，2?為預(yù)先給定的小正數(shù)。 這種解法的幾何意義可以從圖 3－ 1 得到說明。函數(shù) y＝ f(x)為圖中的曲線。 f(x)＝ 0 的解相當(dāng)于曲線與 x 軸的交點。如果第 k 次迭代中得到 ()kx ，則過 ()( ) ( ), ( )kkkfyxx???????點作一切線，此切線同 x 軸 的交點便確定了下一個近似值 ( 1)kx? 。由此可見，牛頓－拉夫遜法實質(zhì)上就是切線法，是一種逐步線性化的方法。 應(yīng)用牛頓法求解多變量非線性方程組 (31)時，假定已給出各變量的初值1(0)x，2(0)x… . (0)nx，令1(0)x?，2(0)x?， … .. (0)nx?分別為各變量的修正量，使其滿足方程 (31)即 1 1 1 2 22 1 1 2 21 1 2 2( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , .. .. , ) 0( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , .. .. , ) 0......( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , .. .. , ) 0nnnnn nnf x x x x x xf x x x x x xf x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ??? (410) 將上式中的 n個多元函數(shù)在初始值附近分別展成泰勒級數(shù) ,并略去含有1(0)x?,2(0)x?， …… ， (0)nx?二次及以上階次的各項，便得 xx 理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 1 1 10 0 01 1 2 1 2121 1 10 0 02 1 2 1 212101 2 11( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , ) ... 0( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , ) ... 0......( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , )| | || | ||nnnnnnn nf f ff x x x x x xx x xf f ff x x x x x xx x xff x x x xx? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ??1100 22( 0) ( 0)... 0||nnffxxxx???????????? ? ? ? ? ?? ??? (411) 方程式 (317)也可以寫成矩陣形式 1 1 10 0 0121 122 2 22 12 0 0 012120 0 012...( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , )( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , ) ............ ... ... ...( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , )...| | || | || | |nnnnn nn n nnf f fx x xfx x xf f ff x x xx x xf x x xf f fx x x? ? ? ??? ? ???????? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ??12( 0)( 0)...( 0)nxxx??? ???? ??? ??????? ???? ?????????? (412) 方程式 (318)是對于修正量1(0)x?,2(0)x?,…… , (0)nx? 的線性方程組 ,稱為牛頓法的修正方程式 .利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量1(0)x?,2(0)x?,…… , (0)nx?。然后對初始近似值進(jìn)行修正 (1) ( 0 ) ( 0 )i i ix x x? ? ? (i=1,2,… .,n) (413) 如此反復(fù)迭代，在進(jìn)行 k＋ 1 次迭代時，從求解修正方程式 xx 理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 15 1 1 1121 122 2 22 12121212...( ) ( ) ( )( , , ... , )( ) ( ) ( )( , , ... , ) ............ ... ... ...( ) ( ) ( )( , , ... , )...| | || | || | |k k knnn k k knn nn n nk k knk k kk k kk k kf f fx x xfx x xf f ff x x xx x xf x x xf f fx x x? ? ? ??? ? ???????? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ??12()()...()nkkkxxx??? ???? ??? ??????? ???? ?????????? (414) 得到修正量1()kx?，2()kx?， ()nkx?，并對各變量進(jìn) 行修正 ( 1 ) ( ) ( )i i ik k kx x x? ? ? ? (i=1,2,… ,n) (415) 式 (320)和 (321)也可以縮寫為 ()( ) ( )() kkkF JXX? ? ? (416) 和 ( 1 ) ( ) ( )k k kX X X? ? ? ? (417) 式中的 X 和 X? 分別是由 n 個變量和修正量組成的 n 維列向量； F(X)是由 n個多元函數(shù)組成的 n 維列項量； J 是 n 階方陣，稱為雅可比矩陣，它的第 i、j 個元素 iij ifJ x??? 是第 n 個函數(shù) 12( , ,..., , )nif x x x對第 j 個變量jx的偏導(dǎo)數(shù)；上角標(biāo) (k)表示 J 陣的每一個元素都在點, ,()( ) ( )( .. ., )12i kkk nf xxx處取值。 迭代過程一直到滿足收斂判據(jù) ? ?112( ) ( ) ( )m a x ( , , . . . , )i nk k kf x x x ?? (418)或 ? ?2()m ax ikx ??? (419) 為止。 1? 和 2? 為預(yù)先給定的小正數(shù)。 將牛頓－拉夫遜法用于潮流計算，要求將 潮流方程寫成形如方程式(31)的形式。由于節(jié)點電壓可以采用不同的坐標(biāo)系表示，牛頓－拉夫遜法潮流計算也將相應(yīng)的采用不同的計算公式。 xx 理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 圖 (41)牛頓－拉夫遜方法的幾何意義 xx 理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 17 第 5 章 計算實例 算例 圖 1 為一五結(jié)點系統(tǒng)，各支路參數(shù)均為標(biāo)么值。假定結(jié)點 3 為 PQ節(jié)點，結(jié)點 4 為 PV 節(jié)點、結(jié)點 5 為平衡結(jié)點，試分別用 直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)牛頓－拉夫遜法 計算其潮流。取收斂判據(jù)為 |?Pi|?105 和 |?Qi(?Vi2)|?105。 給定： S1=?? S2=?? S3=?? P4= |V1（ 0） |=|V2（ 0） |=|V3（ 0） |=|V4（ 0） |= |V4|=|V5|= (0)3(0)2(0)1 ??? 5(0)4 ?? 1 . 0 5 : 14j 0 . 0 1 51 : 1 . 0 52J 0 . 2 50 . 0 8 + j 0 . 3 0j 0 . 2 5J 0 . 2 50 . 0 4 + j 0 . 2 50 . 1 + j 0 . 3 5J 0 . 2 51j 0 . 0 335 圖 1 5 節(jié)點系統(tǒng) 節(jié)點導(dǎo)納的形成 根據(jù)節(jié)點導(dǎo)納矩陣的定義，可求的節(jié)點導(dǎo)納矩陣各元素，即 05( 0 )4( 0 )3( 0 )2( 0 )1 ????? fffffxx 理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 18 11 1 0 1 2 1 3 110 . 2 5 0 . 0 4 0 . 2 5 0 . 1 0 . 3 5j jjyyyY ? ? ? ? ? ??? =++ = 與節(jié)點１有關(guān)的互導(dǎo)納為 12 21 12yYY? ? ?=+ 31 13 13yYY? ? ?=0754717+ 支路 24 為變壓器支路，可以求出節(jié)點 2 的自導(dǎo)納為 222 2 0 1 2 2 3 4 5 /y y y y kY ? ? ? ?