【文章內(nèi)容簡介】 導(dǎo)納矩陣的形成 用直接形成法形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣YB。節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣即可根據(jù)自導(dǎo)納和互導(dǎo)納的定義直接形成，也可用支路——節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣計(jì)算。 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的修改（1）從原有網(wǎng)絡(luò)引出一支路，同時增加一節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣將增加一階。新增的對角元，；新增的非對角元，；原有矩陣中的對角元將增加 。（2）在原有網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)、之間增加一支路。 ，（3）在原有網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，之間切除一支路，（4）原有網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)、之間的導(dǎo)納由改變?yōu)椋?，?）原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i、j之間變壓器的變比由改變?yōu)?；； 高斯賽德爾法 高斯賽德爾迭代法的基本原理為了方便理解這個n維方程組的疊代求解方法，先從一元非線性方程的求解開始。假設(shè)有一維方程，高斯法的基本原理是，先將方程轉(zhuǎn)化為： 那么給定一個初值，代入就可以得到一個新值，第k次疊代的值為： 一直疊代到誤差滿足要求為止，即 其中為事先設(shè)定的允許誤差。 高斯迭代法的計(jì)算流程這個解方程的方法稱為高斯疊代法。這個疊代求解的過程可以這樣來理解：的解可以認(rèn)為是兩個曲線和的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，首先給定一個初值，與斜線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為疊代后的新解，與斜線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為疊代后的新解，如此圍繞交點(diǎn)往復(fù)循環(huán)，不斷地逼近方程的解，如圖所示。 高斯迭代法的幾何解釋高斯迭代法可以推廣到n維非線性代數(shù)方程組，假設(shè)n為方程組為： 首先將方程組轉(zhuǎn)化為： 給定一組初始值，帶入上式，得到一組新值，不斷疊代，循環(huán)往復(fù)，第k次疊代為： 其中第j個方程為 直到疊代前后的解的最大誤差不超過允許的誤差為止，即 為了提高高斯疊代法的收斂速度，賽德爾提出將已經(jīng)疊代出的新值代替舊值參與疊代計(jì)算，如在第k次疊代中，第j個方程為 第1至j1個元素已經(jīng)疊代出k+1次的值，因此代替第k次的值參與第j個元素的疊代，就可以提高收斂速度。 高斯賽德爾迭代法的計(jì)算步驟電力系統(tǒng)潮流計(jì)算需要求解節(jié)點(diǎn)功率方程，其中第m(m=1,2,…n)個節(jié)點(diǎn)功率方程為 如上式變換為的形式，可以得到如下的方程： 根據(jù)高斯－賽德爾迭代法，首先給定電壓相量的初值，對于PQ節(jié)點(diǎn)，不僅需要給定電壓幅值的初值，還要給出相角的初值（設(shè)為零）。假如第m號節(jié)點(diǎn)為PQ節(jié)點(diǎn)，第k次疊代公式為（第m個節(jié)點(diǎn)以前的節(jié)點(diǎn)第k次疊代已經(jīng)完畢，因此用k+1次的值取代k次的值，而在第m個節(jié)點(diǎn)以后的節(jié)點(diǎn)尚未進(jìn)行第k次疊代）： 對于PV節(jié)點(diǎn)，給定的初值的電壓幅值為給定的電壓，相角初值設(shè)為零?？墒菍τ赑V節(jié)點(diǎn)來說，注入該節(jié)點(diǎn)的無功功率未知，因此第k次疊代時，首先按照下式計(jì)算注入PV節(jié)點(diǎn)（假設(shè)第m個節(jié)點(diǎn)是PV節(jié)點(diǎn)）的無功功率： 如果在疊代計(jì)算過程中，任意節(jié)點(diǎn)的電壓和無功功率必須滿足不等約束條件：如果在疊代過程中，PQ節(jié)點(diǎn)的電壓幅值超出允許的范圍，則該節(jié)點(diǎn)的電壓幅值就固定為允許電壓的上限（如果超出上限）或下限（如果越過下限），PQ節(jié)點(diǎn)就變?yōu)镻V節(jié)點(diǎn)繼續(xù)進(jìn)行疊代。同樣，對于PV節(jié)點(diǎn)來說，如果在疊代過程中，無功功率Q超出了允許的范圍，則PV節(jié)點(diǎn)就變?yōu)镻Q節(jié)點(diǎn)繼續(xù)參與疊代。高斯－賽德爾疊代法的計(jì)算過程如下：（1）第一步：設(shè)置初始值，對于PQ節(jié)點(diǎn)，由于其電壓相量的幅值和相角都未知，因此初始的電壓相量的幅值可以設(shè)定為各個點(diǎn)的額定電壓，相角選擇為零；對于PV節(jié)點(diǎn)，由于其電壓相量的幅值已知，因此幅值用已知的設(shè)定電壓，初始相角設(shè)定為零。（2）第二步：對于PQ節(jié)點(diǎn)，直接將設(shè)定的初始值代入，求得下一次迭代的電壓值，然后判斷是否電壓越限，如果越限，則用其限值（越過上限用上限值，越過下限則用下限值），該節(jié)點(diǎn)在下一次迭代過程中轉(zhuǎn)化為PV節(jié)點(diǎn)；對于PV節(jié)點(diǎn)，則首先求出注入的無功功率，然后校驗(yàn)無功功率是否越限，如果越限則采用上限值或者下限值，下一次迭代時該節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點(diǎn)，將求得的注入無功功率和已知的有功功率代入求解下一次迭代的電壓相量值。（3）第三步：判斷誤差是否滿足要求，用第k次迭代的結(jié)果和k1次迭代的結(jié)果進(jìn)行比較，如果其最大的誤差滿足事先設(shè)定的誤差要求，則輸出計(jì)算結(jié)果，如果不滿足要求，則返回第二步繼續(xù)迭代。其計(jì)算流程圖如圖所示。 高斯賽德爾迭代法計(jì)算流程圖 牛頓拉夫遜法（直角坐標(biāo)）1. 牛頓拉夫遜法的意義和推導(dǎo)過程把按泰勒級數(shù)在點(diǎn)展開 式（）修正方程 　2．牛頓—拉夫遜法的特點(diǎn)(1)牛頓拉夫遜法是迭代法，逐漸逼近的方法；(2)修正方程是線性化方程，它的線性化過程體現(xiàn)在把非線性方程在按泰勒級數(shù)展開，并略去高階小量；(3)用牛頓—拉夫遜法解題時，其初始值要求嚴(yán)格(較接近真解)，否則迭代不收斂。3．多變量非線性方程的解牛頓拉夫遜法的修正方程 縮寫為 式（）（直角坐標(biāo)）PQ節(jié)點(diǎn) 式（）PV節(jié)點(diǎn) 式（）平衡節(jié)點(diǎn)平衡節(jié)點(diǎn)只設(shè)一個,電壓為已知,不參見迭代,其電壓為 式（）修正方程 式（） 式（） 式（）當(dāng)時, 雅可比矩陣中非對角元素為 式（）當(dāng)時,雅可比矩陣中對角元素為 式（）:,在迭代過程中,這些元素隨著節(jié)點(diǎn)電壓的變化而變化。,則必有。 牛頓拉夫遜法計(jì)算步驟 PQ分解法潮流計(jì)算通過上面的分析和論述，可以發(fā)現(xiàn)，牛頓－拉夫遜法的收斂速度很快，但計(jì)算量很大，因?yàn)槊恳淮蔚急仨氈匦掠?jì)算雅克比矩陣，并求解修正方程。因此，為了減少計(jì)算量，根據(jù)基于極坐標(biāo)的牛頓－拉夫遜法的特點(diǎn)，建立了PQ分解法的潮流計(jì)算方法。首先，我們來觀察一下基于極坐標(biāo)下的牛頓拉夫遜法潮流計(jì)算過程中的電壓修正方程中的雅克比矩陣的情況。根據(jù)電力系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時的實(shí)際情況，可知，，，因此，我們可以近似的認(rèn)為：；；；這就是說，各個節(jié)點(diǎn)電壓相角的變化主要與注入凈有功功率的變化有關(guān)，各個節(jié)點(diǎn)電壓幅值的變化主要與注入的凈無功功率的變化有關(guān)：；，將這兩個修正方程可以表示為： 式（）上面的方程可以進(jìn)一步表示為： 式（）可以簡單的表示為： 其中，矩陣為全系統(tǒng)除了平衡節(jié)點(diǎn)以外的節(jié)點(diǎn)電納矩陣。注：和表示不是很嚴(yán)謹(jǐn)，它們僅代表由和組成的列向量。同理可得： 其中，矩陣為所有PQ節(jié)點(diǎn)以外的節(jié)點(diǎn)電納矩陣。注：僅代表由組成的列向量。這樣，我們在求解修正方程的時候，只需要提前將節(jié)點(diǎn)電納矩陣和利用高斯消去法變換成上（或下）三角矩陣，并記錄變換過程就可以了。與牛頓－拉夫遜法相比，每一步的迭代過程都大大減少了工作量。PQ 分解法的潮流計(jì)算步驟如下：（1）準(zhǔn)備工作，形成全系統(tǒng)（平衡節(jié)點(diǎn)除外）的節(jié)點(diǎn)電納矩陣，以及其子矩陣——全部PQ節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電納矩陣，然后利用高斯消去法形成上（或者下）三角矩陣并記錄變換過程。（2）賦初值和；將全系統(tǒng)的PQ節(jié)點(diǎn)的電壓V設(shè)置為額定電壓，全系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)的相角（平衡節(jié)點(diǎn)除外）設(shè)置為0。令迭代次數(shù)k=0。（3）根據(jù)設(shè)置的電壓和相角值計(jì)算以及，并根據(jù)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的上/下三角矩陣求解修正方程，得到和。并根據(jù)修正值修正設(shè)定的電壓初始值。（4）判斷誤差是否滿足要求，即、。如果滿足要求，則輸出計(jì)算結(jié)果，否則就令，轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)迭代。PQ分解法簡化了每一步的迭代的計(jì)算量，每一步的迭代出的修正值與牛頓－拉夫遜法的修正值相比誤差要大，因此，PQ分解法雖然每一步的迭代計(jì)算量減少了，但換來的代價(jià)是增加了迭代次數(shù)。但其最終的計(jì)算精確度是不受影響的，因?yàn)橛?jì)算的精度取決于最終的誤差要求和，如果誤差要求和牛頓－拉夫遜法是一樣的，那么PQ分解法最終的計(jì)算結(jié)果和牛頓－拉夫遜法的計(jì)算結(jié)果的精度就是一樣的。4 用MATLAB進(jìn)行編程 牛頓拉夫遜法（直角坐標(biāo)） MATLAB的基本功能MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）的簡稱，是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Stimulink 兩大部分。MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿