第3章-32-323導(dǎo)數(shù)的四則元算法則(編輯修改稿)
2024-12-23 17:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 線 y ＝ x4＋ ax2＋ 1 在點(diǎn) ( －1 ， a ＋ 2) 處切線的斜率為 8 ，則 a ＝ ( ) A ． 9 B ． 6 C ．－ 9 D ．－ 6 ( 2 ) 若曲線 y ＝32x2＋ x －12的某一切線與直線 y ＝ 4 x ＋ 3 平行，則切點(diǎn)坐標(biāo)為 _ _ _ _ _ _ _ _ ，切線方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【思路探究】 ( 1 ) 求出函數(shù)在 x ＝－ 1 處的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義為在此點(diǎn)處切線的斜率，解方程可得 a 的值； ( 2 ) 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求之，進(jìn)而可知切線方程． 【自主解答】 ( 1 ) y ′ ＝ 4 x3＋ 2 ax ，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在點(diǎn)( － 1 ， a ＋ 2) 處的切線斜率 k ＝ y ′ | x ＝－ 1 ＝－ 4 － 2 a ＝ 8 ，解得 a ＝－ 6. ( 2 ) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 y ′ ＝ 3 x ＋ 1 ，已知直線 y ＝ 4 x ＋ 3 的斜率 k ＝ 4 ，由 3 x ＋ 1 ＝ 4 ，解得切點(diǎn)的橫坐標(biāo) x ＝ 1 ，所以 y ＝ 2 ，即切點(diǎn)坐標(biāo)為( 1 , 2 ) ，切線方程為 y － 2 ＝ 4( x － 1 ) ，即 y ＝ 4 x － 2. 【答案】 ( 1) D ( 2) ( 1, 2) y ＝ 4 x － 2 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題時(shí)，若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則該點(diǎn)處切線的斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)，再借助于兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解． 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( m ＋ 1) x ＋ 2 m 是偶函數(shù)，且 f ( x ) 在 x ＝ 1 處的切線方程為 ( n － 2) x － y － 3 ＝ 0 ，則常數(shù) m ， n 的積等于 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【解析】 函數(shù)為偶函數(shù)，所以有 m ＋ 1 ＝ 0 ， m ＝－ 1. 所以 f ( x )＝ x2－ 2 ， f ′ ( x ) ＝ 2 x ，所以在 x ＝ 1 處的切線斜率為 f ′ ( 1 ) ＝ 2 ，切線方程為 y ＝ ( n － 2) x － 3 ，即 n － 2 ＝ 2 ， n ＝ 4 ，所以 mn ＝－ 4. 【答案】 － 4 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 已知直線 l 1 為曲線 y ＝ x2＋ x － 2 在點(diǎn) ( 1 , 0 ) 處的切線，l 2 為該曲線的另一條切線，且 l 1 ⊥ l 2 . ( 1 ) 求直線 l 2 的方程； ( 2 ) 求由直線 l 1 ， l 2 和 x 軸所圍成的三角 形的面積． 【思路探究】 求 y ′ | x ＝ 1 即 l 1 的斜率 → 求 l 2 的斜率 → 求切點(diǎn)坐標(biāo) → 寫出 l 2 的方程 → 求 l 1 與 l 2 的交點(diǎn)，進(jìn)而求三角形的面積 【自主解答】 ( 1 ) ∵ y ′ ＝ 2 x ＋ 1 ， ∴ 直線 l1的斜率為 k ＝ 2 1＋ 1 ＝ 3 ，方程為 y ＝ 3 x － 3. 設(shè)直線 l2與曲線 y ＝ x2＋ x － 2 切于點(diǎn) A ( a ， a2＋ a － 2) ， 則 l2的方程為 y ＝ (2 a ＋ 1) x － a2－ 2 ， 因?yàn)?l1⊥ l2，則有 2 a ＋ 1 ＝－13， a ＝－23. 所以直線 l2的方程為 y ＝－13x －229. ( 2 ) 解方程組????? y ＝ 3 x － 3y ＝－13x －229， 得????? x ＝16y ＝－52. 所以直線 l1和 l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為????????16，－52， l 1 ， l 2 與 x 軸的交點(diǎn) 坐標(biāo)分別為 ( 1 , 0 ) ，????????－223， 0 ， 所以所求三角形的面積 S ＝12????????1 －????????－223????????－5
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