【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 象處理等很多方面獲得應(yīng)用。在信號(hào)處理、圖象處理等很多方面獲得應(yīng)用。1987年在法國(guó)召開(kāi)了第一屆小波分析的國(guó)際會(huì)年在法國(guó)召開(kāi)了第一屆小波分析的國(guó)際會(huì)議，之后有關(guān)小波分析的會(huì)議和論文如雨后春議，之后有關(guān)小波分析的會(huì)議和論文如雨后春筍此起彼伏．人們稱之為筍此起彼伏．人們稱之為 ““ 小波熱潮小波熱潮 ”” ，我國(guó)，我國(guó)也于也于 1992年在武漢大學(xué)召開(kāi)了年在武漢大學(xué)召開(kāi)了 ““ 中法首屆小波中法首屆小波分析研討會(huì)分析研討會(huì) ”” 。3/21/2023 33① 連續(xù)小波變換 根據(jù)小波的計(jì)算和表達(dá)式形式，其可分為各種形式。而連續(xù)小波（ Continuous Wavelet TransformCWT）則定義為：如果基本小波 ?滿足“ 相容性 ” 條件（ 1）3/21/2023 34 式中 a、 b?R， a?0， ?（ ?） 是 ?（ t） 的傅氏變換（母小波），參數(shù) a稱為尺度因子（尺度與頻率是相關(guān)聯(lián)的，可以認(rèn)為尺度的倒數(shù) 1/a與頻率具有正比關(guān)系）， b為時(shí)移因子、而（W?f)(b， a)則稱為小波變換系數(shù)。信號(hào)的連續(xù)小波變換所提供的信息是高度冗余的，適合于諸如濾波這些對(duì)頻率分解要求比較高的場(chǎng)合。連續(xù)小波變換的物理意義可簡(jiǎn)述為通過(guò)變換，將二維的時(shí)間信號(hào)變換到由尺度因子、時(shí)間因子和小波變換系數(shù)所決定的立體空間（如下圖）。以獲得更多、更清晰的信號(hào)的信息量。由伸縮與頻移構(gòu)成 L2（ R）的規(guī)范正交基。3/21/2023 35 小波變換式中基本小波函數(shù)的選取很重要。常常決定于實(shí)際應(yīng)用函數(shù)是因?yàn)樵趲缀涡螒B(tài)上小波函數(shù)一般都具有以下兩個(gè)特征：? 必須是振蕩函數(shù)；? 必須是迅速收斂的函數(shù)。 下圖 a所示正弦函數(shù)振蕩但不收斂。因此不是小波函數(shù)。下圖 b所示函數(shù)迅速收斂但不振蕩，因此也3/21/2023 36不是小波函數(shù)。下一頁(yè)圖所示為幾種常見(jiàn)的小波函數(shù)。圖 兩種函數(shù)（ a）正弦函數(shù)，（ b）迅速收斂的函數(shù)3/21/2023 37 圖圖 幾種常見(jiàn)的小波函數(shù)幾種常見(jiàn)的小波函數(shù)a)Lemarie小波，小波， b)具有具有 20個(gè)系數(shù)的個(gè)系數(shù)的 Danbechies小波，小波， c)具有具有 4個(gè)系數(shù)的個(gè)系數(shù)的 Danbechies小波，小波， d)Morlet小波小波 小波變換式中的小波集 ?b、 a(f)可由一個(gè)基本小波經(jīng)尺度平移和時(shí)間平移而得到尺度因子 a和時(shí)移因子 b的不同會(huì)給小波函數(shù)的幾何形態(tài)帶來(lái)很大的變化。下圖為因子 a、 b取不同數(shù)值時(shí)的 Morlet小波函數(shù)。3/21/2023 38尺度因子和時(shí)移因子取不同數(shù)值時(shí)的尺度因子和時(shí)移因子取不同數(shù)值時(shí)的 Morlet小波函數(shù)小波函數(shù)3/21/2023 39小波變換利用小波在不同的小波變換利用小波在不同的時(shí)移和尺度下對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀察時(shí)移和尺度下對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀察 3/21/2023 40② 連續(xù)小波變換的時(shí)頻窗的精度 基本小波可以看作是一個(gè)窗函數(shù)。連續(xù)小波變換可由如下的時(shí)間窗得到信號(hào) f（ t）時(shí)域局部信息 [at*+b a?w， at*+b + a?w] 其窗函數(shù)中心為 at*+b ，其半徑為 a?w。這個(gè)時(shí)域窗相對(duì)于較小的 a值變窄，而相對(duì)于較大的 a值變寬。 類似的在頻域中，小波函數(shù)的中心和半徑分別由 ?*和 ??來(lái)定義。應(yīng)用帕斯維爾定理來(lái)定義連續(xù)小波變換的頻域窗為： [?*/a ??/a， ?*/a+ ??/a]3/21/2023 41若假定中心是正值，則中心頻率與帶寬之比是 現(xiàn)在若 at*被看作是時(shí)間變量，而 ?*／ a 被看作是頻率變量，則在時(shí)頻表面我們已經(jīng)具有矩形的時(shí)頻窗 [at*+b a?w， at*+b + a?w]?[?*/a ??/a， ?*/a+ ??/a]顯然，該比值與尺度因子 a 無(wú)關(guān)。因此，連續(xù)小波變換可被視為由上式給定通帶的自適應(yīng)帶通濾波器，其頻率變量可由與 1／ a的常數(shù)的乘積得到。值得注意的是該濾波器具有其中心頻率與帶寬之比與中心頻率的位置無(wú)關(guān)的特性。3/21/2023 42 該窗的寬度為 2a，高度為 2??/a(圖 105)。所以，在時(shí)域中對(duì)于高頻信號(hào) (即較小 a值 )，這種窗可自動(dòng)變窄以達(dá)到較好的檢測(cè)效果，而對(duì)于低頻現(xiàn)象 (即較大的 a值 )則可自動(dòng)變寬，仍具有較好的檢測(cè)效果。而在頻域，窗寬度的變化正好相反，因而同樣具有較好的檢測(cè)效果，即對(duì)高頻現(xiàn)象，窗是自動(dòng)變寬的，而對(duì)低頻現(xiàn)象，窗是自動(dòng)變窄的。正是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q具有這種 “ 柔性 ”窗，才使其在時(shí)域和頻域同時(shí)良好的局部化特性，因而對(duì)信號(hào)具有良好的檢測(cè)能力。3/21/2023 433/21/2023 44圖 106從另一角度說(shuō)明了上述小波變換的時(shí)頻窗的柔性性質(zhì)。圖 b所示 STFT的時(shí)域窗相對(duì)于其時(shí)移參數(shù) t0 的窗寬度 ?t是等寬的。而連續(xù)小波變換(CWT)的時(shí)域窗 (圖 a )相對(duì)于其時(shí)移參數(shù) t0的窗寬度卻是三角形的，隨著尺度參數(shù) a的增大而變寬。 a值的增大意味著頻率 f 的減小，即 CWT的時(shí)域窗對(duì)于頻率變化緩慢的時(shí)間信號(hào)具有放大窗寬度的性能，因此可以更好地檢測(cè)緩變信號(hào)。 3/21/2023 45在頻域，如圖 d 所示， STFT的頻域窗的寬度?f相對(duì)于各中心頻率是等寬的，而 CWT的窗寬度 (圖 c)卻是隨中心頻率按對(duì)數(shù)形式變化，即相對(duì)于低頻信號(hào)，窗寬度較窄、而相對(duì)于高頻信號(hào)，窗寬度變寬。這恰好符合低頻信號(hào)需要較窄的頻域窗而高頻信號(hào)需要較寬的頻域窗以提高頻域分辨率的要求。3/21/2023 46若將若將 STFT和小波變換（和小波變換（ WT）視為帶通濾波器，）視為帶通濾波器，則它們的帶寬如下圖所示：則它們的帶寬如下圖所示：3/21/2023 47③ 信號(hào) f（ t）的重構(gòu) 若信號(hào) f（ t）是連續(xù)的，且滿足一定條件，我們可以利用小波變換系數(shù)來(lái)重構(gòu)任何能量有限的信號(hào) f（ t） （ 2）式與（ 1）式就構(gòu)成了一個(gè)連續(xù)小波變換對(duì)。類似于 STFT的分析結(jié)果，小波變換的結(jié)果也在三維空間進(jìn)行描述。這是因?yàn)檫B續(xù)小波變換在變換中沒(méi)有能量泄露，保存了信號(hào)的能量（ 2）3/21/2023 48 式中 Ex為信號(hào)能量。這就導(dǎo)致我們可以用小波變換系數(shù)的模的平方來(lái)進(jìn)行小波變換結(jié)果的三維描述，它是信號(hào)在時(shí)頻表面的三維分布。與STFT所不同的是，此處信號(hào)的能量是以多重分析精度的形式在時(shí)頻表面進(jìn)行分布的。 如同傅里葉變換結(jié)果可以表示為幅頻特性和相頻特性一樣，小波變換的結(jié)果 —— 小波變換系數(shù)（ W?f）（ b， a） 也可以用幅值和相位加以表示。下圖即為一個(gè)矩形信號(hào)的小波變換結(jié)果的幅值、相位和實(shí)部表示。3/21/2023 493/21/2023 50④ 小波分析與其他時(shí)頻分析的比較 這里給出兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例．以作為小波分析方法和時(shí)頻分析方法結(jié)果的比較。216。 合 成信號(hào)的分析 如前圖所示的合成信號(hào)，由于 STFT方法對(duì)同一寬度的窗來(lái)說(shuō)不可能同時(shí)具有較好的時(shí)域和頻域分析精度，因而就不可能同時(shí)具有較好的分時(shí)和分頻特性，這也是 STFT方法的主要缺陷。下圖為同一合成信號(hào)的小波變換結(jié)果。由圖可見(jiàn)、無(wú)論是小波變換系數(shù)的幅值還是相位都同時(shí)具有良好的分時(shí)和分頻特性。即同時(shí)具有良好的時(shí)域和頻域分析精度。3/21/2023 51合成信號(hào)的小波變換結(jié)果的幅值及相位(a)兩正弦信號(hào)的合成信號(hào)的幅值和相位， (b)具有間隙的信號(hào)的幅值和相位3/21/2023 52216。心電圖信號(hào)的分析心電圖信號(hào)的分析 晚期心肌梗塞病人的室性心動(dòng)過(guò)速經(jīng)常導(dǎo)致病人的突然死亡。檢查是否有室性心動(dòng)過(guò)速癥狀的主要手段目前仍然是心電圖。在心電圖上是否有這種癥狀主要是表現(xiàn)在 QRS組波的尾部 (圖一 )，但即使是使用高分辨率的心電圖，也很難