【正文】 1/2023 173/21/2023 18 圖 9圖 97均為上述兩個信號的STFT分析結(jié)果，其中圖 a為窗函數(shù)具有128個采樣點(diǎn)寬度的分析結(jié)果，圖 b為窗函數(shù)具有 32個采樣點(diǎn)寬度的分析結(jié)果。由分析結(jié)果可見．當(dāng)窗函數(shù)的寬度較大．為 128個采樣點(diǎn)時(shí)，對圖 95a所示的兩個正弦信號的合成信號具有較好的頻域分辨率，即頻域分析精度較高，但時(shí)域分辨率較差。3/21/2023 19 當(dāng)窗函數(shù)的寬度較小，為 32個采樣點(diǎn)時(shí)，對圖 95b所示的具有間隙的單一頻率正弦信號來說，其分析結(jié)果具有較好的時(shí)域分辨率，即具有較好的時(shí)域分析精度，但頻域精度較差。由此可見， STFT方法的窗函數(shù)寬度對分析結(jié)果至關(guān)重要．而且時(shí)域與頻域的精度不可能都為最佳。3/21/2023 20?STFT方法的精度分析 由以上分析可知，窗函數(shù)寬度的選擇將會直接影響時(shí)域或頻域的精度。為改進(jìn)時(shí)域精度可以選擇一個較短的窗，但是短窗將會導(dǎo)致傅氏變換計(jì)算時(shí)采樣點(diǎn)數(shù)目的減少，因此，頻域中離散頻率數(shù)也將減少，從而引起頻域精度的降低。 3/21/2023 21 可以證明時(shí)域精度的提高將以損失頻域精度為代價(jià)，而提高頻域精度將以損失時(shí)域精度為代價(jià)，二者不可兼得。對 STFT來說．重要的是窗函數(shù)一經(jīng)選定，則時(shí)頻精度在整個時(shí)頻表面都是固定的，因?yàn)橥粋€窗函數(shù)將被用于信號中所有頻率。所以 STFT的窗函數(shù)對時(shí)頻分析是剛性的。3/21/2023 22 如果一個信號是由一些小的脈沖與較長的偽穩(wěn)態(tài)成份所組成，則每一個信號組成部分可以有較好的時(shí)域或頻域分析精度，但并不是二者兼有。 對 STFT分析來說．一般認(rèn)為 Gaussian窗函數(shù)是最佳選擇。當(dāng)合成信號較為簡單且變換參數(shù)選取合理， STFT也可有較好的分析結(jié)果。下圖為其分析結(jié)果。3/21/2023 233/21/2023 243/21/2023 25小波分析、小波分析 （（ 1）從傅里葉變換到短時(shí)傅里葉變換 如前所述，傅里葉變換可以將時(shí)域信號變換到頻域中的譜。就振動分析來說，各頻段的譜分量可以告訴我們信號的各個組成部分，表征著信號的不同來源和不同特征。 FFT算法和現(xiàn)代譜理論的發(fā)展使得信號譜估計(jì)可以在很短的時(shí)間內(nèi)完成，從而實(shí)現(xiàn)對觀測信號的實(shí)時(shí)分析。頻譜估計(jì)現(xiàn)已成為信號分析與處理領(lǐng)域中十分重要的特征分析工具。傅里葉變換的不足之處在于它只適用于穩(wěn)態(tài)信號分析，而非穩(wěn)態(tài)信號在工程領(lǐng)域中是廣泛存在的，另外，非穩(wěn)態(tài)信號很可能在一個短時(shí)瞬間發(fā)生變化．即具有很強(qiáng)的時(shí)間局部性，并對整個頻譜產(chǎn)生影響，很難從信號的頻譜上確認(rèn)這種時(shí)域內(nèi)的瞬時(shí)變化的存在及其確切的頻率信息。3/21/2023 26也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號的頻域信息．也不能揭示暫態(tài)信號的時(shí)間特信號的頻域信息．也不能揭示暫態(tài)信號的時(shí)間特性。因此．暫態(tài)信號很難用傅氏變換進(jìn)行分析。性。因此．暫態(tài)信號很難用傅氏變換進(jìn)行分析。 由此采用了由此采用了 ““ 短時(shí)傅立葉變換短時(shí)傅立葉變換 ”” 來對非穩(wěn)態(tài)和來對非穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)信號進(jìn)行分析。窗函數(shù)暫態(tài)信號進(jìn)行分析。窗函數(shù) w(t)在整個信號上沿時(shí)在整個信號上沿時(shí)間平移并且完成了連續(xù)重疊變換時(shí)，就可以得到與間平移并且完成了連續(xù)重疊變換時(shí)，就可以得到與時(shí)間有關(guān)的信號頻譜的描述。在時(shí)頻面上構(gòu)建了三時(shí)間有關(guān)的信號頻譜的描述。在時(shí)頻面上構(gòu)建了三維譜圖。維譜圖。 （（ 2）從短時(shí)傅里葉變換到小波變換）從短時(shí)傅里葉變換到小波變換 但短時(shí)傅立葉變換的主要缺陷是：對所有的頻但短時(shí)傅立葉變換的主要缺陷是：對所有的頻率都用同一個窗，使得分析的分辨率在時(shí)間率都用同一個窗，使得分析的分辨率在時(shí)間 頻率頻率平面的所有局部都相同，如下圖所示。如果在信號平面的所有局部都相同，如下圖所示。如果在信號內(nèi)有短時(shí)（相對于時(shí)窗）、高頻成分、那么短時(shí)內(nèi)有短時(shí)（相對于時(shí)窗）、高頻成分、那么短時(shí)3/21/2023 27傅立葉變化就不是非常有效了?？s小時(shí)窗（選取更集中的窗函數(shù)）、縮小采樣步長固然可以獲得更多的信息，但是受到測不準(zhǔn)原理的約束，在時(shí)間和頻率上均有任意高分辨率是不可能的。3/21/2023 28 在信號分析中，為能精確地得到高頻信息。采樣間隔應(yīng)相對的小些；而為了完整地得到低頻信息。采樣間隔應(yīng)相對地大些。換言之，重要的是需要一個 “ 柔性 ”時(shí)頻窗、其在較高的頻率處時(shí)域窗可以自動地變窄，而在較低的頻率處時(shí)域窗又可以自動地變寬。見下圖所示。而某些所謂 “ 基本小波” 的積分變換 (Integral Wavelet Transform)便正具有這種所需的細(xì)化功能。因此，小波分析是目前信號分析中一種十分有用的時(shí)頻局部化分析方法。3/21/2023 29 小波分析其基本思想是采用時(shí)窗寬度可調(diào)小波分析其基本思想是采用時(shí)窗寬度可調(diào)的小波函數(shù)替代短時(shí)傅立葉變換中的窗函數(shù)。的小波函數(shù)替代短時(shí)傅立葉變換中的窗函數(shù)。也就是說小波變換在時(shí)頻平面不同位置具有不也就是說小波變換在時(shí)頻平面不同位置具有不同的分辨率，是一種多分辨（率）分析方法。同的分辨率，是一種多分辨（率）分析方法。其目的是其目的是 “既要看到森林（信號的概貌），又要既要看到森林（信號的概貌），又要看到樹木（信號的細(xì)節(jié)）看到樹木（信號的細(xì)節(jié)） ”，因此，它又稱為數(shù)，因此，它又稱為數(shù)學(xué)顯微鏡。它是將信號交織在一起的多種尺度學(xué)顯微鏡。它是將信號交織在一起的多種尺度成分分開，并能對大小不同的尺度成分采用粗成分分開，并能對大小不同的尺度成分采用粗細(xì)的時(shí)域或空域采樣步長，從而能夠不斷地聚細(xì)的時(shí)域或空域采樣步長，從而能夠不斷地聚焦到對象的任意細(xì)節(jié)。這就是小波優(yōu)于短時(shí)傅焦到對象的任意細(xì)節(jié)。這就是小波優(yōu)于短時(shí)傅立葉變換的地方。立葉變換的地方。 （（ 3）小波分析發(fā)展簡介）小波分析發(fā)展簡介3/21/2023 30 小波分析作為一門新的學(xué)科分支目前正在眾多研究領(lǐng)域掀起研究熱潮。在 數(shù)學(xué)領(lǐng)域 、它被認(rèn)為是調(diào)和分析近半個世紀(jì)的工作結(jié)晶．能夠壓縮奇異積分算子，求解偏微分方程．構(gòu)造近似慣性流形并被廣泛用于逼近論；在 量子力學(xué) 中，一個量子場的基于正交小波基的相細(xì)胞簇的展開具有一系列良好的性質(zhì)，為研究量子場結(jié)構(gòu)提供了新方法，在 流體力學(xué) 中，它被用來模擬湍流的流動．得到湍流流動的某些分解；在 數(shù)字信號處理 領(lǐng)域，小波與多分辯率濾波、正交景象濾波以及分波段編碼等緊密聯(lián)系，在數(shù)據(jù)壓縮編碼、持征提取等方面取得了重要進(jìn)展；小波分析也為 計(jì)算機(jī)視覺處理 提供了新的模型．在圖象的壓縮、邊緣檢測和紋理識別等方面發(fā)揮著重要的作用、對自相似過程和分形信號的研究，小波方法也提供了強(qiáng)有力的工具。小波分析可以認(rèn)為是 Fourier分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。3/21/2023 31 小波分析的歷史可以追朔到本世紀(jì)中葉。在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域， Calderon于 1964年在調(diào)和分析中的恒等算子分解理論。物理學(xué)中 Aslaken和Calland于 1968年在量子力學(xué)對仿射群所構(gòu)造的凝聚態(tài)，以及在工程界 Esterban和 Calland于1977年提出的 QMF濾子都涉及到小波分析。 1983年法國地質(zhì)學(xué)家 J． Morlet在處理地質(zhì)資料時(shí)偶然中又重新發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的工作。隨后，理論物理學(xué)家 ：和數(shù)學(xué)家 理論上對小波分析做了一系列深入研究，將Morlet的想法作了出色的數(shù)學(xué)描述，大大豐富了調(diào)和分析的內(nèi)容。3/21/2023 32 90年代初期，在信號處理界年代初期，在信號處理界 和和 域具有重要的應(yīng)用前景，并作出開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)域具有重要的應(yīng)用前景，并作出開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，發(fā)展了快速算法．使小波分析的研究者在不，發(fā)展了快速算法．使小波分析的研究者在不同學(xué)科間搭起橋梁。在他們的推動下小波分析同學(xué)科間搭起橋梁。在他們的推動下小波分析在信號處理、圖