【正文】 信號的時頻分析 時頻分析的基本任務是建立一個函數(shù)，要求這個函數(shù)不僅能夠同時用時間和頻率描述信號的能量分布密度，還能夠以同樣的方式來計算信號的其他特征量。這里只是簡單介紹當前廣泛采用的時頻分析方法：短時傅里葉變換（STFT）、小波變換（ WT）及時頻分析的一些應用。3/21/2023 1 短時傅里葉變換 （ 1）短時傅立葉變換原理 短時傅立葉變換是研究 非平穩(wěn)信號 最廣泛使用的方法。假定我們聽一段持續(xù)時間為 1h的音樂，在開始時是有小提琴，而在結(jié)束時有鼓。如果用傅立葉變換分析整個 1h的音樂，傅立葉頻譜將表明對應小提琴和鼓的頻率的峰值。頻譜會告訴我們有小提琴和鼓，但不會給我們小提琴和鼓什么時候演奏的任何表示。最簡單的做法是把 1h劃分成每 5min一個間隔，并用傅立葉變換分析每一個時間間隔。在分析每一個時間間隔時，就會看到小提琴和鼓出現(xiàn)在哪個 5min間隔。如果要求更好的局部化，那就把這 1h劃分成 1min一個間隔，甚至更小的時間間隔，再用傅立葉變換分析每一個間隔。這就是短時傅立葉變換的基本思想：把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以確定在哪個時間間隔存在的頻率，這些頻譜的總體就表現(xiàn)了頻譜在時間上是怎樣變化的。3/21/2023 2 為了研究信號在時刻 t的特性，人們加強在那個時刻的信號而衰減在其它時刻的信號。這可以通過用中心在 t 的窗函數(shù) h（ t）乘信號來實現(xiàn)。產(chǎn)生的信號是： xt（ ?） =x （ ?） h （ ?t） 改變的信號是兩個時間函數(shù)，即所關心的固定時間 t和執(zhí)行時間 ?。窗函數(shù)決定留下的信號圍繞著時間 t 大體上不變，而離開所關心時間的信號衰減了許多倍，也就是 3/21/2023 3 因為改變的信號加強了圍繞著時刻 t 的信號，而衰減了遠離時刻 t 的信號，傅立葉變換將反映圍繞著 t 時刻的頻譜，即 對于每一個不同的時間，都可以得到一個不同的頻譜，這些頻譜的總體就是時頻分布 Psp（ t， f）。 我們關心的是分析圍繞著時刻 t 的信號，所以選擇一個圍繞著 t 具有峰值的窗函數(shù)。這樣就可以在 t 時刻附近得到一個短持續(xù)時間信號，其傅立葉方程（上式）叫做短時傅立葉變換。下式確定的 Psp（ t， f）函數(shù)曲面圖叫時頻分布圖。3/21/2023 4下圖為鯨魚發(fā)出的聲音表示。畫在主圖左邊的曲線是鯨魚聲音信號的時域波形，它清楚地告訴我們鯨魚聲強度或者響度怎樣隨時間而變化。在主圖下面的曲線是能量譜密度，即傅立葉變換的絕對值平方。它表明哪些頻率存在，以及它們的相對強度有多大。 這個聲音的頻譜告訴我們頻率范圍大約從175Hz到 325Hz。這個信息是有意義而且重要的，但是根據(jù)這個頻譜告訴無法知道這些頻率什么時候存在。例如，不可能通過觀察頻譜確切知道300Hz聲音在什么時候產(chǎn)生，或者產(chǎn)生這個聲音的總持續(xù)時間，或產(chǎn)生了多少次。主圖反映了信號能量的時間頻率聯(lián)合分布密度，由此就可以確定作為時間進程的強度。這使我們能夠了解各個時刻發(fā)生的情況：3/21/2023 5 頻率大約從 175Hz開始，大體上在 的時間內(nèi)線性地增加到大約 325Hz，然后停在那里約 ，等等。作為對 300Hz聲音什么時候出現(xiàn)這個問題的回答， 現(xiàn)在從圖中可以知道在 。3/21/2023 6 另外，在現(xiàn)實生活和工程實際中許多信號是暫態(tài)信號 (非穩(wěn)態(tài)信號 )、其統(tǒng)計特性與時間有關．如語言信號、雷達信號、超聲波信號等，這些信號不滿足傅氏變換所要求的條件。傅立葉變換公式獲得信號頻譜信息需要無限長的時間，即不僅需要過去而且需要將來的時間信號去估計一個單一頻率的頻譜。另外，傅立葉變換式不能反映與時間變量有關的頻率信息。除此之外、非穩(wěn)態(tài)信號很可能在一個短時瞬間發(fā)生變化．即具有很強的時間局部性，并對整個頻譜產(chǎn)生影響，很難從信號的頻譜上確認這種時域內(nèi)的瞬時變化的存在及其確切的頻率信息。也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號的頻域信息．也不能揭示暫態(tài)信號的時間特性。因此．暫態(tài)信號很難用傅氏變換進行分析。3/21/2023 7 下圖 a 所示為一白噪聲信號中夾雜一個脈沖信號。二者分別為典型的穩(wěn)態(tài)信號和暫態(tài)信號。該信號的頻譜如圖 b 所示。很難在頻譜中看出脈沖信號的存在，這是因為白噪聲信號是均勻的寬帶頻譜，而脈沖信號也具有寬帶特性．只不過是其帶寬取決于脈沖信號的作用時間。 可采用 “ 短時傅立葉變換 ” 來對暫態(tài)信號進行分析。窗函數(shù) w(t)在整個信號上沿時間平移并且完成了連續(xù)重疊變換時，就可以得到與時間有關的信號頻譜的描述。圖 92所示為 STFT的連續(xù)重疊加窗示意圖。該方法假定在一個有限的時窗 w(t)內(nèi)信號是穩(wěn)態(tài)的．若時窗相當短，則假定應是成立的。將這些變換結(jié)果按時間順序排列在時間軸上就得到了信號的時頻描述 (分布 )，這種描述稱之為信號的 “ 頻圖 ”3/21/2023 83/21/2023 9圖 2 STFT滑動示意圖3/21/2023 10 這樣，就可以在時頻表面得到一個信號能量的三維分布。這種分布類似于功率譜是信號能量在頻率軸上的二維分布。這種信號的分析方法就稱之為信號的時頻分析。 3/21/2023 11（ 2）測不準原理 時間 帶寬乘積定理，即測不準原理，是傅立葉變換對之間互相制約的關系表述。它在聯(lián)合時頻分析的討論、抽象及其他方面起著重要的作用。在信號分析中，測不準原理就是一個眾所周知的數(shù)學事實：窄波形產(chǎn)生寬頻譜，寬波形產(chǎn)生窄頻譜，時間波形和頻率頻譜不可能同時使其任意窄。 3/21/2023 12 （ 3）短時傅立葉變換的特點 一方面，為了獲取信號的短時傅立葉變換，把信號劃分成許多小的時間間隔，但這種間隔是否越細越好？回答是否定的。因為在變窄到一定程度之后，得到的頻譜就變得沒有意義，而且表明與原信號的頻譜完全不相符。原因在于把一個完全好得信號劃分成短持續(xù)時間信號。但是，短持續(xù)時間信號有固有的寬頻帶，而這樣的短持續(xù)時間信號幾乎與原信號的特性沒有關系。 另一方面，為了獲取高的頻率分辯率，采用寬時窗做信號的短時傅立葉變換。但是，加大時窗寬度是與短時傅立葉變換的初衷相背的，因為它丟失非平穩(wěn)信號中小尺度短信號的時間局部信息。3/21/2023 13 由此可見，短時傅立葉變換由于采用固定窗，當非平穩(wěn)信號中所含信號分量尺度范圍很大時，采用多大的時窗寬度都無法正確揭示信號的時頻譜，這是由于測不準原理對采用固定窗的短時傅立葉變換方法的制約。 盡管有上述困難，但短時傅立葉變換方法在許多方面是理想的。它的意義是明確的，基本合理的物理原理，而且對于許多信號和情況，它給出了與我們的直觀感知相符的極好的時頻構(gòu)造。 3/21/2023 14（ 4）存在問題 “ 短時博氏變換 ” 方法雖然很早就被提出，但由于具有若干局限性，限制了這種方法在工程中的廣泛應用。以下從三個方面對其局限性進行分析。 3/21/2023 15 ?窗函數(shù)選擇的限制 對一個待定的信號來說，一個特定的窗可能比所有其他的窗都更為合適、即具有較好的分析精度。但若一個信號是由兩個信號構(gòu)成，就有可能每一個信號都要求有自己的窗才能有最好的分析精度。很顯然，僅有一個窗用于這兩個信號是很難獲得最佳分析精度的。如圖 95a所示為一合成信號．是兩個頻率分別為64Hz相 194Hz的兩個正弦信號的合成。圖 95b是一個頻率為 128Hz的正弦信號，但有一個 64個采樣點的間隙。3/21/2023 163/2