【文章內(nèi)容簡介】 i+1—— i桿通過關(guān)節(jié) i+1作用在 i+1桿上的力和力矩； fi， i+1及 ni， i+1—— i+1桿通過關(guān)節(jié) i+1作用在 i桿上的反作用 力和反作用力矩； fn， n+1及 nn， n+1—— 工業(yè)機器人最末桿對外界環(huán)境的作用力 和力矩； fn， n+1及 nn， n+1—— 外界環(huán)境對工業(yè)機器人最末桿的 作用力和力矩； f0， 1及 n0， 1—— 工業(yè)機器人底座對桿 1的作用力和力矩； mig—— 連桿 i的重量 ， 作用在質(zhì)心 Ci上 。 連桿 i的靜力學平衡條件 ? 連桿 i的力和力矩平衡方程式為： fi1， i+(fi， i+1)+ mig＝ 0 (316) ni1， i+ (ni， i+1) + (ri1， i+ ri， ci) fi1， i +(ri， ci) (fi， i+1)＝ 0 (317) 式中： ri1， i—— 坐標系 {i}的原點相對于坐標系{i1}的位置矢量； ri， ci—— 質(zhì)心相對于坐標系 {i}的位置矢量。 操作臂中的靜力學 (續(xù) ) ? 假如已知外界環(huán)境對工業(yè)機器人最末桿的作用力和力矩，那么可以由最后一個連桿向第零號連桿 (機座 )依次遞推，從而計算出每個連桿上的受力情況。 ? 為了便于表示工業(yè)機器人手部端點的力和力矩 (簡稱為端點力 F)，可將 fn， n+1和 nn， n+1合并寫成一個 6維矢量： ?????????1,1,nnnnnfF(318) 操作臂中的靜力學 (續(xù) ) ? 各關(guān)節(jié)驅(qū)動器的驅(qū)動力或力矩可寫成一個 n維矢量的形式，即： (319) ?????????????n?????21式中： n—— 關(guān)節(jié)的個數(shù)； ?—— 關(guān)節(jié)力矩 (或關(guān)節(jié)力 )矢量，簡稱廣義關(guān)節(jié)力矩 。 工業(yè)機器人力雅可比 ? 假定關(guān)節(jié)無摩擦，并忽略各桿件的重力，則廣義關(guān)節(jié)力矩 ?與工業(yè)機器人手部端點力 F的關(guān)系可用下式描述： ?＝ J TF (320) 式中： J T為 n 6階工業(yè)機器人力雅可比矩陣或 力雅可比 。 ? 上式可用下述虛功原理證明如下： 工業(yè)機器人力雅可比 (續(xù) ) ? 考慮各個關(guān)節(jié)的虛位移為 ?qi，手部的虛位移為 ?X，如圖 34所示。 圖 34 手部及各關(guān)節(jié)的虛位移 X0 Y0 O0 ?i ?qi nn， n+1 fn， n+1 d ? 工業(yè)機器人力雅可比 (續(xù) ) 式中， d＝ [dx dy dz] T和 ?＝ [??x ??y ??z]T分別對應于手部的 線虛位移和角虛位移 （作業(yè)空間）； ?q為由各關(guān)節(jié)虛位移 ?qi組成的工業(yè)機器人關(guān)節(jié)虛位移矢量（關(guān)節(jié)空間）。 ????????? dX及 ?q＝ [?q1， ?q2… ?qn] T (321) 工業(yè)機器人力雅可比 (續(xù) ) ? 假設發(fā)生上述虛位移時，各關(guān)節(jié)力矩為 ?i(i＝1， 2， … ， n)，環(huán)境作用在工業(yè)機器人手部端點上的力和力矩分別為 fn， n+1和 nn， n+1。由上述力和力矩所做的虛功可以由下式求出： ?W＝ ?1?q1+?2?q2+…+ ?n?qn fn， n+1d nn， n+1? 或?qū)懗桑? ?W＝ ?T?q F T?X (322) 工業(yè)機器人力雅可比 (續(xù) ) ? 根據(jù)虛位移原理，工業(yè)機器人處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是對任意符合幾何約束的虛位移，有： ?W＝ 0 ? 注意到虛位移 ?q和 ?X并不是獨立的，是符合桿件的幾何約束條件的。利用式 (310)， dX＝ Jdq，將式(322)改寫成： ?W＝ ?T?q F TJ?q＝ (? JTF)T?q (323) ? 式中的 ?q表示幾何上允許位移的關(guān)節(jié)獨立變量，對于任意的 ?q，欲使 ?W＝ 0，必有： ?＝ JTF ? 證畢 。 工業(yè)機器人力雅可比 (續(xù) ) ? 式 (323)表示在靜力平衡狀態(tài)下 ， 手部端點力 F向廣義關(guān)節(jié)力矩 ?映射的線性關(guān)系 。 式中JT與手部端點力 F和廣義關(guān)節(jié)力矩 ?之間的力傳遞有關(guān) ， 故叫作工業(yè)機器人 力雅可比 。 很明顯 ， 力雅可比 JT正好是工業(yè)機器人速度雅可比 J的轉(zhuǎn)置 。 工業(yè)機器人靜力學的 兩類問題 ? 從操作臂手部端點力 F與廣義關(guān)節(jié)力矩 ?之間的關(guān)系式 ?＝ JTF可知，操作臂靜力學可分為兩類問題： ? (1) 已知外界環(huán)境對工業(yè)機器人手部作用力F ?(即手部端點力 F＝ F ?)，求相應的滿足靜力學平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩 ?。 ? (2) 已知關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩 ?，確定工業(yè)機器人手部對外界環(huán)境的作用力 F或負荷的質(zhì)量。 靜力學的兩類問題 (續(xù) ) ? 第二類問題是第一類問題的逆解。這時 F＝ (JT)1? ? 但是，由于工業(yè)機器人的自由度可能不是6，比如 n＞ 6，力雅可比矩陣就有可能不是一個方陣，則 JT就沒有逆解。所以，對這類問題的求解就困難得多，在一般情況下不一定能得到唯一的解。如果 F的維數(shù)比 ?的維數(shù)低，且 J是滿秩的話，則可利用最小二乘法求得 F的估值。 [例 32] ?圖 35所示的一個二自由度平面關(guān)節(jié)型機械手，已知手部端點力F＝ [Fx， Fy]T，求相應于端點力 F的關(guān)節(jié)力矩 (不考慮摩擦 )。 [例 32] (續(xù) ) Y0 ?1 F Fx Fy ?1=0 X0 ?2=90? l1 l2 ?2 (b) 圖 35 手部端點力 F與關(guān)節(jié)力矩 ? X0 ?1 ?1 l1 ?2 ?2 l2 F=[Fx， Fy]T (a) Y0 [例 32] (解 )(續(xù) ) ? 已知該機械手的速度雅可比為： ???????????????)c()c(c)s()s(s2122121121221211??????????llllllJ? 則該機械手的力雅可比為： ???????????????)c()s()c(c)s(s2122122121121211??????????llllllTJ [例 32] (解 )(續(xù) ) ? 根據(jù) ?＝ JTF，得： 所以： ?1 = [l1sin?1+ l2sin(?1+?2)]Fx +[l1cos?1+ l2cos(?1+?2)]Fy ?2 = l2sin(?1+?2)Fx+ l2 cos(?1+?2)Fy ????????????????????????????yxFFllllll)c()s()c(c)s(s212212212112121121????????????τ [例 32] (解 )(續(xù) ) ? 若如圖 35(b)所示，在某瞬時 ?1＝ 0， ?2＝90?，則在該瞬時與手部端點力相對應的關(guān)節(jié)力矩為： ? ?1=l2Fx+ l1Fy ? ?2= l2Fx ? 工業(yè)機器人動力學研究的是各桿件的運動和作用力之間的關(guān)系。工業(yè)機器人動力學分析是工業(yè)機器人設計、運動