【文章內(nèi)容簡介】 得例 321中矩陣 A的 =，小于 6階矩陣的臨界值 =，可以通過一致檢驗，這是的本征向量為 ? 由于在本示例中，每個候選城市的屬性值無法量化，只能采用上述方案排序法之②：通過在各屬性下各方案對優(yōu)劣的比較求得每個屬性下各方案的權。三個候選城市倫敦、莫斯科、紐約分別記作 X、 Y、Z；設在各屬性下比較的結果（稱為比較矩陣） max?max?? 多屬性決策方法 多屬性決策方法 多屬性決策方法 3. 加權積法 (1) 基本思路與運算 ? 在使用一般加權和法或層次分析法求解多屬性決策問題時，都默認了各目標屬性值之間的線性可補償性。而事實上，很多屬性決策問題中的屬性值之間是不可補償?shù)模词乖谝欢ǚ秶鷥?nèi)是可以補償?shù)?，但這種補償往往是非線性的。我們先看一個例子。圖 321所示為可持續(xù)發(fā)展評價指標體系框架。 多屬性決策方法 多屬性決策方法 ? 在設定第二層各目標的權重 wj并由下層目標或屬性值求得各目標的評價指數(shù) ej后，可繼續(xù)用適當方法求解區(qū)域可持續(xù)發(fā)展能力的總的評價指數(shù)。由于經(jīng)濟、社會、環(huán)境和資源各目標之間的不完全可補償性，顯然不宜用加權和法，而可以用加權積的方法計算方案 i的綜合評價指數(shù) Ci’，即 ? (325) ? 式中， j=1,2,3,4分別表示經(jīng)濟、社會、環(huán)境和資源四個分目標；再按 Ci’的大小確定方案的優(yōu)劣。為了避免加權積法算出的綜合評價指數(shù)數(shù)值太小， ej的最優(yōu)值可以取 10或 100，也可以采用隨后將介紹的式 (327)和式(328)計算。 ? 考慮到經(jīng)濟與社會這兩個分目標之間有一定的可補償性，環(huán)境和資源之間也有一定的可補償性，經(jīng)濟、社會與環(huán)境、資源之間沒有可補償性，則也可以用加權和與加權積的混合算法計算綜合評價指數(shù)： ? (326) 4139。i j jjC w e?? ?? ? ? ?1 1 2 2 3 3 4 439。39。iC w e w e w e w e? ? ? ? 多屬性決策方法 ? (2) 加權積與加權和法的對比 ? 下面舉一個例子（雙重屬性的決策問題），比較一下加權積法與加權和法評價結果的差異。這兩個屬性的權重相同，即w1 = w2 = ，屬性值 ei1和 ei2分別簡記為 e1和 e2；加權和法用式 (321)來計算方案 i的綜合評價指數(shù) Ci，即 Ci = w1 + w2； 加權積法用式 (325)來計算的綜合評價指數(shù)，即 Ci’ = w1e1w2e2計算；規(guī)范化的屬性 e1和 e2分別在 0~1之間取不同數(shù)值，用兩種方法計算的綜合評價指數(shù)排列在表 323中。表中每一格中加權和法的計算結果放在逗號前面；加權積法的計算結果在逗號后面并加粗。 多屬性決策方法 多屬性決策方法 多屬性決策方法 ? 由式 (329)可知，當 即 時，加權積法與加權和法的綜合評價指數(shù)相等；評價指數(shù) w1e1與 w2e2之差越大，加權和法與加權積法的綜合評價指數(shù)之間的差別也就越大。在表 324中，當 e1=e2時，即在對角線上的各項，加權積法與加權和法的綜合評價指數(shù)相同； w1e1與 w2e2之差越大，加權積法評價結果比加權和法得到的指標小得越多。而這也正是采用加權積法的初衷：如果多屬性決策問題中某些屬性對方案的總體性能都不可或缺時，那么這些屬性之間的補償都是有條件的，甚至優(yōu)勢是完全不可補償?shù)摹? 1 1 2 2w e w e?1 2 2w e w e? 多屬性決策方法 ? 雖然上面討論的只是兩個屬性（ n= 2）的情況，推廣到一般時以上結論仍然成立。因為加權和法實際上是用加權屬性的“算術平均值”的 n倍作為評價指數(shù)，而用式 (327)和式(328)所計算的加權積法的評價指數(shù)是加權屬性的“幾何平均值”的 n倍，而算術平均值不小于（大于或等于）幾何平均值，所以加權和法不小于加權積法的可補償性。 多屬性決策方法 ? (3) 加權積法屬性值表的規(guī)范化 ? 由于加權積法的特殊性質，在對決策矩陣規(guī)范化時應該選用線性變換式(313)和 (313’)。一般不采用式 (314)，是因為在用式 (314)計算以后，成本型屬性 j最差的方案 i的指標 eij為 0，其上一級的綜合評價指數(shù) Ci’也為 0，則該方案必將被淘汰。 多屬性決策方法 ? TOPSIS方法與雙基點方法 ? 1. TOPSIS法的求解思路 ? TOPSIS法是逼近理想解的排序方法 (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)的英文縮寫。它借助多屬性問題的理想解和負理想解給方案集 X中各方案排序。 ? 設一個所屬性決策問題的備選方案集為 ，衡量方案優(yōu)劣的屬性向量為 Y= ；這時方案集 X中的每個方案 的 n個屬性值構成的向量是 ，它作為 n維空間中的一點，能唯一地表征方案 。 ? ?12, , , mX x x x?? ?12, , , ny y y( 1, , )ix i m? ? ?12, , ,i i i inY y y y?ix 多屬性決策方法 ? 理想解 x*是一個方案集 X中并不存在的虛擬的最佳方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性的最好的值；而負理想解 x0則是虛擬的最差方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性的最差的值。在 n維空間中，將方案集 X中的各備選方案 xi與理想解 x*和負理想解 x0 。的距離進行比較，既靠近理想解又遠離負理想解的方案就是方案集 X中的最佳方案；并可以據(jù)此排定方案集 X中各備選方案的優(yōu)先序。 ? 用理想解求解多屬性決策問題的概念簡單，只要在屬性空間定義適當?shù)木嚯x測度就能計算備選方案與理想解。 TOPSIS法所用的是歐氏距離。至于既用理想解又用負理想解是因為在僅僅使用理想解時有時會出現(xiàn)某兩個備選方案與理想解的距離相同的情況，為了區(qū)分這兩個方案的優(yōu)劣，引入負理想解并計算這兩個方案與負理想解的距離，與理想解的距離相同的方案離負理想解遠者為優(yōu)。 多屬性決策方法 ? TOPSIS法的思路可以用圖 322來說明。圖 322表示兩個同性的決策問題， f1和 f2為加權的規(guī)范化屬性，均為效益型；方案集 X中的六個方案 x1到 x6根據(jù)它們的加權規(guī)范化屬性值標出了在圖中的位置，并確定理想解 x*和負理想解 x0 。圖中的 x4與 x5與理想解 x*的距離相同，引入它們與負理想解 x0的距離后，由于 x4比 x5離負理想解遠，就可以區(qū)分兩者的優(yōu)劣了。 多屬性決策方法 ? 解 對理想解的相對接近度： ? 若 為理想解，則 ? 若 為負理想解，則 ? 愈接近 1，則相應的方案愈應排在前面 * 0 0 */ ( ) , 1 , 2 , ...,i i i iC d d d i m? ? ?ix *0 1 , 1 , 2 , ...,iC i m? ? ?ixix * 1iC ?* 0i*iC 多屬性決策方法 多屬性決策方法 多屬性決策方法 ? 3. TOPSIS法示例 ? 用 TOPSIS法求解例 312。 ? 第一步，對表 316所示屬性值向量規(guī)范化，所得屬性矩陣見表 319。 ? 第二步，設權向量仍為 w ={,}，得加權的向量規(guī)范化屬性矩陣如下： ? 第三步，由上表和式 (3212)、式 (3213)，得 ? 理想解為： (,) ? 負理想解為： (,) 多屬性決策方法 多屬性決策方法 ? 與加權和法相比，方案與的排序有較大不同。也許最廣為人知和廣泛使用的多屬性決策方法是加權和法。這種方法如此簡單，以至于一些決策者不愿接受 TOPSIS法的結果。 ? TOPSIS法使用屬性的基數(shù)偏好信息，需要屬性的權重集。它的解依賴于決策者賦權方法。幸好已有一些可靠的確定權重的方法可以增強 TOPSIS法的實用性。此外， TOPSIS法假設每個屬性具有單調(diào)遞減的效用。這個單調(diào)性的要求是合情合理的。非單調(diào)性的效用是很少見的，例如房子中最優(yōu)房間數(shù)或身體中血糖數(shù)目等，這些情況的最優(yōu)效用處于屬性值域的中間。 多屬性決策方法 ? 4. 雙基點法及其分析 多屬性決策方法 多屬性決策方法 多屬性決策方法 多屬性決策方法 ? 物元決策方法 ? 1. 物元概念 ? 物元決策方法 (matterelement method)是基于物元分析法的一種多屬性決策方法。 ? 物元理論包括物元可拓性和物元變換。物元理論的核心就是研究物元的可拓性、物元的變換以及物元變換的性質。物元分析是用來處理在某些情況下，用通常的方法無法達到預期目標的不相容問題的一種分析方法。 ? 物元分析 (matterelement analysis)是在可拓集合論的基礎上研究解決矛盾問題的規(guī)律和方法，它是系統(tǒng)科學、思維科學、數(shù)學交叉的邊緣學科，是貫穿自然科學和社會科學的應用較廣的橫斷學科。它可以將復雜問題抽象為形象化的模型，并利用這些模型研究基本理論，提出相應的應用方法。 多屬性決策方法 ? 2. 物元分析法的基本步驟 ? 利用物元分析方法可以建立事物多屬性多等級的性能參數(shù)的質量評定模型，能以定量的數(shù)值來表示評定結果與各等級集合的關聯(lián)度大小，并可據(jù)此判斷待評物元的所屬級別，從而能夠較完整地反映事物質量的綜合水平，并易于用計算機進行規(guī)范化處理。物元分析法的具體評價步驟如下： ? (1)建立物元矩陣 ? 在物元分析中，把事物 N及其特征 c和特征的量值 x的三元有序組合足 R=(N， c， x)稱為物元。如果事物 N需要用 n個特征 c1， c2， ?， 和對應量值 x1， x2， ?， xn來描述，則稱為 n維物元，并用矩陣表示為： ? (3229) ? ?1122,iinnN c xcxR N c xcx?????????? 多屬性決