第六章black-schols期權(quán)定價模型(編輯修改稿)
2025-01-30 11:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 時間后： （ ） 將式（ ）和（ ）代入式（ ），可得： （ ） 在沒有套利機會的條件下： 把式（ ）和（ ）代入上式得： t? SSff ?????????tSS ftf ?????????? )21( 2222?tr????? tSSffrtSS ftf ??????????? )()21( 2222? 布萊克 —— 舒爾斯微分分程 ? 化簡為： () ? 這就是著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格 S的所有衍生證券的定價。 rfSfSSfrStf ?????????222221 ? （二）風(fēng)險中性定價原理 ? 假設(shè)所有投資者都是風(fēng)險中性的，那么所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 ? 盡管風(fēng)險中性假定僅僅是為了求解布萊克 —— 舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。 例子 ? 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為 10元，我們知道在 3個月后，該股票價格要么是 11元，要么是 9元?，F(xiàn)在我們要找出一份 3個月期協(xié)議價格為 。 ? 該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為 ? 在風(fēng)險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為 P，下跌的概率為 1P。 P= ? 這樣，根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，我們就可以得出該期權(quán)的價值： ? ?0. 1 0. 25 11 9 1 10e P P?? ? ? ?（）0. 1 0. 25 ( 26 6 0 73 4) 1fe ??? ? ? ? ? 元 這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為 ，否則就會存在無風(fēng)險套利機會。 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到 11元的概率和下降到 9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。 事實上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在 風(fēng)險中性世界 中，無風(fēng)險利率為 10％，則股票上升的概率 P可以通過下式來求： ? ?0. 1 0. 2510 11 9 1e P P??? ? ? ?????62 .66 %P ? 又如， 現(xiàn)實世界 中股票的 預(yù)期收益率 為 15％，則股票的上升概率可 以通過下式來求： P = ％ 可見： 投資者厭惡風(fēng)險程度 股票預(yù)期收益率 股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險程度如何，無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于 。 ? ?0. 15 0. 2510 11 9 1e P P??? ? ? ? （三）布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價公式 ? 在風(fēng)險中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時（ T時刻）的期望值為： ? 其現(xiàn)值為 ? （ ） ? 對數(shù)股票價格的分布為： （ ） ? 對式（ ）求解： （ ） [ m a x( , 0) ]TE S E? ?() [ m a x( , 0) ]r T t Tc e E S E????? ]),)(2([ln~ln 2 tTtTrSNS T ???? ?? ()12( ) ( )r T tc SN d E e N d?? 21221l n( / ) ( / 2) ( )l n( / ) ( / 2) ( )S E r T tdTtS E r T td d T tTt?????? ? ???? ? ?? ? ? ??其中， ? 我們可以從三個角度來理解這個公式的金融含義： ? N(d2)是在風(fēng)險中性世界中 ST大于 E的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， ? er(Tt)EN(d2)是 E 的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。 ? SN(d1)= er(Tt)ST N(d1)是 ST 的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。 ? 其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量， SN（ d1)就是股票的市值 , er(Tt)EN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價值。 ? 最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成 資產(chǎn)或無 價值看漲期權(quán) （ Assetornothing call option） 多頭和 現(xiàn)金或無價值 看漲期權(quán) （ cashornothing option） 空頭， SN(d1)是資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)的價值， er(Tt)EN(d2)是 E份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)空頭的價值。 )( 1dN?? ? 在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于 c（歐式） =C（美式），因此式（ ） 也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價值。 ? 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式 ：
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