xxxx創(chuàng)新設(shè)計(jì)(高中理科數(shù)學(xué))第4講平面向量應(yīng)用舉例(編輯修改稿)
2025-01-28 13:44 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 11頁(yè) 返回概要 解析 (2 ) ( 2) 在 △ AB C 所在平面上有一點(diǎn) P ，滿足 P A→＋ P B→＋ P C→＝ A B→，則 △ P A B 與 △ ABC 的面積之比值是 ( ) ． A .13 B .12 C .23 D .34 考點(diǎn) 向量在平面幾何中的應(yīng)用 即 S △ P AB ∶ S △ ABC ＝ 1 ∶ 3. 任選一三角形，利用向 量的三角形法則化簡(jiǎn) P A→＋ P C→＝ A B→ P B→ = A B→+ B P→= A P→? P C→=2 A P→ ? A 、 P 、 C 共線 由已知可得 P C→ ＝ 2 AP→ ， ∴ P 是線段 AC 的三等分點(diǎn) ( 靠近點(diǎn) A ) ， 易知 S △ P AB ＝ 13 S △ ABC ， 結(jié)束放映 第 12頁(yè) 返回概要 向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 【 例 2 】 設(shè)向量 a ＝ (4 c os α ， sin α ) ， b ＝ ( sin β ， 4 cos β ) ， c ＝ ( cos β ，－ 4 sin β ) ． ( 1) 若 a 與 b － 2 c 垂直，求 tan ( α ＋ β ) 的值； (2) 求 | b ＋ c | 的最大值； (3) 若 tan α t an β ＝ 16 ，求證： a ∥ b . 考點(diǎn) (1)解 因?yàn)?a 與 b － 2 c 垂直， 所以 a ( b － 2 c ) ＝ 4 cos αsin β － 8 cos αco s β ＋ 4 sin αc os β ＋ 8 sin α sin β ＝ 4 sin ( α ＋ β ) － 8 cos ( α ＋ β ) ＝ 0 ， 因此 tan ( α ＋ β ) ＝ 2. (2)解 由 b ＋ c ＝ ( s in β ＋ cos β ， 4 cos β － 4 sin β ) ，得 | b ＋ c |＝ ? sin β ＋ cos β ? 2 ＋ ? 4 cos β － 4 sin β ? 2 ＝ 17 － 15 sin 2 β ≤ 4 2 . 又當(dāng) β ＝ kπ －π4 ( k ∈ Z ) 時(shí)，等號(hào)成立， 所以 | b ＋ c |的最大值為 4 2 . (3)證明 由 tan αtan β ＝ 16 ， 得4 cos αsin β ＝sin α4 cos β ， 所以 a ∥ b . 結(jié)束放映 第 13頁(yè) 返回概要 規(guī)律方法 (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解． (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等． 向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 結(jié)束放映 第 14頁(yè) 返回概要 【訓(xùn)練 2 】 ( 201 3 江蘇卷 ) 已知向量 a ＝ ( c os α ， sin α ) ， b ＝ ( c os β ，sin β) ， 0 ＜ β ＜ α ＜ π .( 1) 若 | a － b |＝ 2 ，求證： a ⊥ b ； ( 2) 設(shè) c ＝ ( 0,1 ) ，若 a ＋ b ＝ c ，求 α ， β 的值． 考點(diǎn) 證明（ 1） 由題意得 |a － b | 2 ＝ 2 ， 向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 即 ( a － b ) 2 ＝ a 2 － 2 a b ＋ b 2 ＝ 2. 又因?yàn)?a 2 ＝ b 2 ＝ | a | 2 ＝ | b | 2 ＝ 1 ， 所以 2 － 2 a b ＝ 2 ， 即 a b ＝ 0 ，故 a ⊥ b . 解（ 2） 因?yàn)?a ＋ b ＝ ( c o s α ＋ c o s β ， sin α ＋ si n β
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