【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 斷異方差性是否存在 。 若相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值高 ， 則存在異方差性 。 對(duì)于多個(gè)解釋變量的情況 ， 可分別計(jì)算︱ et︳與各解釋變量的等級(jí)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn) 。 41 —— 匡特檢驗(yàn)法 基本思路：假定 隨 Yt的數(shù)值大小變動(dòng) 。 檢驗(yàn)步驟： （ 1） 將數(shù)據(jù)分為三組：小 Yt值組 ， 中 Yt值組 ， 大 Yt值組 （ 數(shù)據(jù)項(xiàng)大致相等 ） （ 2） 對(duì)小 Yt值組估計(jì)模型 ， 給出 （ 3） 對(duì)大 Yt值組估計(jì)模型 ， 給出 2t?1? 1221 ????kne?1?3223 ????kne?42 （ 4） H0： H1： （ 或 ） 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 F0 = ～ F（ n3k1, n1k1） 若 F0＞ Fc， 則拒絕 H0， 存在異方差性 。 例： S=α +β Y + u 其中： S=儲(chǔ)蓄 Y=收入 設(shè) 1951— 60年 ， = 1970— 79年 ， = F0 = 查表得 : （ 8， 8） 時(shí) ， 5% Fc= ∵F 0＞ Fc 因而 拒絕 H0。 結(jié)論：存在異方差性 。 2321 ?? ? 2321 ?? ? 2321 ?? ?123????21??23?43 三 廣義最小二乘法 1． 消除異方差性的思路 基本思路：變換原模型 ， 使經(jīng)過(guò)變換后的模型具有同方差性 ， 然后再用 OLS法進(jìn)行估計(jì) 。 對(duì)于模型 Yt = β 0+β 1X1t+… +β k Xkt+ ut （ 1） 若擾動(dòng)項(xiàng)滿(mǎn)足 E(ut) = 0， E(uiuj) = 0, i≠j， 但 E(ut2) = ≠常數(shù) . 也就是說(shuō) ， 該模型只有同方差性這一條件不滿(mǎn)足 ， 則只要能將具有異方差性的擾動(dòng)項(xiàng)的方差表示成如下形式： Var(ut) = ， t=1， 2， ? ， n 其中 為一未知常數(shù) ， 表示一組已知數(shù)值 ， 則用 λ t去除模型各項(xiàng) ， 得變換模型 : 2t?222 tt ??? ?2? 2t?44 （ 2） 由于 所以變換后的擾動(dòng)項(xiàng)的方差為常數(shù) ， 可以應(yīng)用 OLS法進(jìn)行估計(jì) ， 得到的參數(shù)估計(jì)量為 BLUE。 但這里得到的 OLS估計(jì)量是變模后模型 （ 2） 的 OLS估計(jì)量 。 對(duì)于原模型而言 ，它已不是 OLS估計(jì)量 ， 稱(chēng)為廣義最小二乘估計(jì)量 （ GLS估計(jì)量 ） 。 tttKtKttttt uXXY???????? ????? ...110 222221)(1)( ?????? ??? tttttt uVaruVar45 2． 廣義最小二乘法 (Generalized least squares) 下面用矩陣形式的模型來(lái)推導(dǎo)出 GLS估計(jì)量的一般計(jì)算公式 。 設(shè) GLS模型為 Y=Xβ +u （ 1） 滿(mǎn)足 E(u） = 0， E(uu180。)=?2Ω ， X 非隨機(jī) ， X的秩 =K+1＜ n, 其中 Ω 為正定矩陣 。 （ 注 : 正定矩陣是和單位矩陣合同的矩陣； 正定矩陣 =所有順序主子式均大于 0。 ） 46 根據(jù)矩陣代數(shù)知識(shí)可知，對(duì)于任一正定矩陣 Ω ，存在著一個(gè)滿(mǎn)秩（非退化，非奇異）矩陣 P，使得 用 P1左乘原模型（ 1）（對(duì)原模型進(jìn)行變換）： 令 Y* = P1Y ， X* = P1X， u* = P1u，得到 Y*= X*β + u* （ 2） 下面的問(wèn)題是，模型（ 2）的擾動(dòng)項(xiàng) u*是否 滿(mǎn)足 OLS法的基本假設(shè)條件。 111 )(, ??? ?????? PPPP uPXPYP 111 ??? ?? ?47 ))(()( 11** ???? ?? PuuPEuuE ))(( 11 ??? ?? PuuEP ))(( 121 ??? ?? PP ?))(( 112 ??? ?? PPPP? ))(( 112 ?? ?? PPPP?I2??我們有 48 這表明 ， 模型 （ 2） 中的擾動(dòng)項(xiàng) u*滿(mǎn)足 OLS法的基本假設(shè) ，可直接用 OLS估計(jì) ， 估計(jì)量向量 這就是 的廣義最小二乘估計(jì)量 （ GLS估計(jì)量 ） 的公式 ， 該估計(jì)量是 BLUE。 從上述證明過(guò)程可知 ， 我們可將 GLS法應(yīng)用于 Ω 為任意正定矩陣的情形 。 **1** )(? YXXX ??? ?? YPPXXPPX 11111 )())(( ????? ????? YXXX 111 )( ??? ???????49 如果只存在異方差性 ， 則 其中 我們顯然有 ??? 2)( ?uuE ???????????????222212.... ...000.... ....0.... ..000.... ..00n????ntt ,..... .,2,1,02 ???PPn????????????????????.... ...000.... ....0.... ..000.... ..002150 )(1.... ...000.... ....0.... ..0100.... ..0011211???????????????????????PPn????????????????????????2222111.... ...000.... ....0.... ..0100.... ..001n???51 四 廣義最小二乘法的應(yīng)用 1． 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定 Ω 矩陣 應(yīng)用 GLS法的關(guān)鍵是確定 Ω 矩陣 。 對(duì)于僅存在異方差性的實(shí)際問(wèn)題 ， Ω 矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣 ， 即 現(xiàn)在的問(wèn)題是 ， 的值為已知這一假設(shè)是否現(xiàn)實(shí) ， 也就是我們能否根據(jù)實(shí)際問(wèn)題 ， 提出有關(guān)擾動(dòng)項(xiàng)方差的某種合理的設(shè)想 （ 即估計(jì) Ω 矩陣 ） ， 使得 （ 為未知常數(shù) ， 為已知數(shù)值 ） 下面通過(guò)例子說(shuō)明這一問(wèn)題 。 ????????????????22221.... ...000.... ....0.... ..000.... ..00n???2t? 2t? 22 tt ??? ?2?52 例 1 Yt = β 1+β 2Xt+ ut t=1,2,… ,n. 其中 Y=家庭消費(fèi)支出 X=家庭可支配收入 我們?cè)谇懊嬉逊治鲞^(guò) ， 高收入家庭有較大的擾動(dòng)項(xiàng)方差 ，因此不妨假定擾動(dòng)項(xiàng)方差與可支配收入成正比 ， 即 Var(ut)=δ Xt , t=1,2,… ,n. 式中 δ 是一未知常數(shù) ， 由于 Xt為已知 ， 相當(dāng)于 ， 而 δ 相當(dāng)于 ， 因此 應(yīng)用 GLS法 ， 即可得出 β 的 GLS估計(jì)量 。 ??????????????nXXX...... ..000...... ..0......000......00? 212t?2?53 2． 格里瑟檢驗(yàn)法 （ Glesjer test） 在上例中我們假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)方差與解釋變量的取值成正比 ，這種假設(shè)是否真正合理呢 ？ 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和分析做出的這種假設(shè) ，雖然有一定道理 ， 但未免顯得過(guò)于武斷 ， 這方面還可做一些比較細(xì)致的工作 。 Glesjer檢驗(yàn)法不僅可檢驗(yàn)異方差性的存在 ， 還可用于提供有關(guān)異方差形式的進(jìn)一步信息 ， 對(duì)于確定 Ω 矩陣很有用 ， 下面我們扼要說(shuō)明格里瑟檢驗(yàn)法的步驟 。 格里瑟檢驗(yàn)法的思路是假定擾動(dòng)項(xiàng)方差與解釋變量之間存在冪次關(guān)系 ， 方法是用 對(duì)被認(rèn)為與擾動(dòng)項(xiàng)方差有關(guān)的解釋變量回歸 ， 確定 和該解釋變量的關(guān)系 。 由于與該解釋變量之間關(guān)系的實(shí)際形式是未知的 ， 因此需要用該解釋變量的不同冪次進(jìn)行試驗(yàn) ， 選擇出最佳擬合形式 。 tete54 具體步驟如下： (1)因變量 Y對(duì)所有解釋變量回歸 ， 計(jì)算殘差 et （ t=1,2,? ,n） （ 2） 對(duì)所選擇解釋變量的各種形式回歸 ， 如 然后利用決定系數(shù) ， 選擇擬合最佳的函數(shù)形式 。 （ 3） 對(duì) β 1進(jìn)行顯著性檢驗(yàn) ， 若顯著異于 0， 則表明存在異方差性 ， 否則再試其它形式 。 .... ...... ..... .1101010210tjtttjtttjtttjttuXeuXeuXeuXe????????????????????te55 格里瑟檢驗(yàn)法的最大優(yōu)點(diǎn)是能夠提供有關(guān)異方差性形式的信息 ， 為 GLS法提供 Ω 矩陣 。 缺點(diǎn)是太繁瑣 。 因此建議用其它方法檢驗(yàn)異方差性的存在 ， 然后再用格里瑟法確定異方差性的具體形式 ， 進(jìn)而應(yīng)用 GLS法 。 例 2 Yt = β 1+β 2X1t+… +β k Xkt+ ut 假設(shè)我們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道擾動(dòng)項(xiàng)方差與 Xjt有關(guān) ， 并用 格里瑟法試驗(yàn) ， 得出： 則 jtt X?? ?2 ??????????????????jnjjXXX.... ....000.... ....0.... ..000.... ..00? 2156 3． 加權(quán)最小二乘法 對(duì)于僅存在異方差性的問(wèn)題 ， 其 Ω 矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣 ，即 在這種情況下應(yīng)用 廣義最小二乘法 ， 也就是在原模型兩端左乘 矩陣 ????????????????22221n????????????????????????nP???1.... ..11211變換 原模型，再對(duì) 變換 后的模型應(yīng)用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。 57 這種作法實(shí)際上等價(jià)于在代數(shù)形式的原模型 Yt = β 0+β 1X1 t+… +β k X k t+ u t 的兩端除以 ? t， 得 變換 模型： tttKtKttttt uXXY???????? ????? ?110 這種作法相當(dāng)于在回歸中給 應(yīng)變量和解釋變量的每個(gè)觀測(cè)值都賦予一個(gè)與相應(yīng) 擾動(dòng)項(xiàng)的方差相聯(lián)系的權(quán)數(shù) ， 然后再對(duì)這些變換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行 OLS回歸 ， 因?yàn)檫@種作法相當(dāng)于每個(gè)觀測(cè)值都以相應(yīng) 擾動(dòng)項(xiàng)的 標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 的倒數(shù)（ 即 ） 為權(quán)數(shù) ， 因而被稱(chēng)為 加權(quán)最小二乘法 （ WLS法 , Weighted Least