20xx年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)一模試卷文科word版含解析(編輯修改稿)
2024-12-21 11:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 時，函數(shù) f（ x） =lnx﹣ x+1 有 ， 所以函數(shù) f（ x）在（ 0， 1）上單調(diào)遞增，在（ 1， +∞ ）上單調(diào)遞減， 當(dāng) x=1 時函數(shù)有極大值為 f（ 1） =0， 根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，作出其函數(shù)圖象如圖所示： 由函數(shù)圖象可知 y=ex和 y=f（ x）有兩個不同交點(diǎn)， 故選 C． 12．拋物線 y2=8x 的焦點(diǎn)為 F，設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2）是拋物線上的兩個動點(diǎn)，若 x1+x2+4= |， 則 ∠ AFB 的最大值為（ ） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】 利用 余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求出 ∠ AFB 的最大值． 【解答】 解：因?yàn)?， |AF|+|BF|=x1+x2+4 ，所以． 在 △ AFB 中，由余弦定理得： = ． 又 ． 所以 ， ∴∠ AFB 的最大值為 ， 故選 D． 二．填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13．若 ，則 = ． 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡求值． 【分析】 由已知利用誘導(dǎo)公式化簡所求即可得解． 【解答】 解： ∵ ， ∴ ． 故答案為： ． 14．已知單位向量 的夾角為 ， ，則 在 上的投影是 ． 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 ． 【分析】 根據(jù)平面向量投影的定義，利用數(shù)量積的運(yùn)算求出對應(yīng)的值即可． 【解答】 解：單位向量 的夾角為 ， ， 則 在 上的投影是： | |cos＜ ， ＞ = = ? =（ 2 ﹣ ） ? =2 ﹣ ? =2﹣ 1 1 1 cos = ． 故答案為： ． 15．如圖，直角梯形 ABCD 中， AD⊥ DC， AD∥ BC， BC=2CD=2AD=2，若將直角梯形繞 BC 邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為 ． 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）． 【分析】 由圓錐及圓柱的幾何特征可得，該幾何體由兩個底面相待的圓錐和 圓柱組合而成，其中圓柱和圓錐的高均為 1，代入圓柱和圓錐的體積公式，即可得到答案． 【解答】 解：由圖中數(shù)據(jù)可得： ， S 圓柱側(cè) =π 21=2π， ． 所以幾何體的表面積為 ． 故答案為： ． 16．已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，在這兩個實(shí)數(shù) x， y 之間插入三個實(shí)數(shù)，使這五個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值為 9 ． 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【分析】 利用數(shù)列的關(guān)系推出三項(xiàng)和關(guān)于 x， y 的表達(dá)式，畫出約束條件的可行 域，利用線性規(guī)劃知識求解最值． 【解答】 解：設(shè)構(gòu)成等差數(shù)列的五個數(shù)分別為 x， a， b， c， y， 因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差 ， 則 （另解：因?yàn)橛傻炔顢?shù)列的性質(zhì)有 x+y=a+c=2b， 所以 ．） 則等差數(shù)列后三項(xiàng)和為 = = ．）． 所以設(shè) z=x+3y，實(shí)數(shù) x， y 滿足 ， 作出約束條件所表示的可行域如圖所示： 可知當(dāng)經(jīng)過點(diǎn) A（ 3， 3）時， 目標(biāo)函數(shù) z=x+3y 有最大值 12，此時 b+c+y 有最大值 9． 故答案為： 9． 三．解答題：本大題共 5小題，共 70分 .解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟 . 17．已知等差數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 a1=1， S3+S4=S5． （ Ⅰ ）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）令 ，求數(shù)列 {bn}的前 2n 項(xiàng)和 T2n． 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【分析】 （ Ⅰ ）由 S3+S4=S5可得： a1+a2+a3=a5， 3（ 1+d） =1+4d，解得 d=2，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得 {an}的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ） ． T2n=1﹣ 3+5﹣ 7+… +?（ 2n﹣ 3）﹣（ 2n﹣ 1） =﹣ 2n． 【解答】 解：（ Ⅰ ）設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d， 由 S3+S4=S5可得： a1+a2+a3=a5， 即 3a2=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴ 3（ 1+d） =1+4d，解得 d=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴ an=1+（ n﹣ 1） 2=2n﹣ 1， 數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 an=2n﹣ 1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）可得： ． ∴ T2n=1﹣ 3+5﹣ 7+… +?（ 2n﹣ 3）﹣（ 2n﹣ 1）， =（﹣ 2） n， =﹣ 2n， 數(shù)列 {bn}的前 2n 項(xiàng)和 T2n=﹣ 2n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 18．某中學(xué)環(huán)保社團(tuán)參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)，制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表（假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過 300）： 空氣質(zhì)量指數(shù) （ 0，50] （ 50，100] （ 100，150] （ 150，200] （ 200，250] （ 250，300] 空氣質(zhì)量等級 1 級優(yōu) 2 級良 3 級輕度污染 4 級中度污染 5 級重度污染 6 級嚴(yán)重污染 該社團(tuán)將該校區(qū)在 2020 年連續(xù) 100 天的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)作為樣本，繪制了如圖的頻率分布表，將頻率視為概率．估算得全年空氣質(zhì)量等級為 2 級良的天數(shù)為73 天（全年以 365 天計(jì)算）． 空氣質(zhì)量指數(shù) 頻數(shù) 頻率 （ 0， 50] x a （ 50， 100] y b （ 100， 150] 25 （ 150， 200] 20 （ 200， 250] 15 （ 250， 300] 10 （ Ⅰ ）求 x， y， a， b 的值； （ Ⅱ ）請?jiān)诖痤}卡上將頻率分布直方圖補(bǔ)全（并用鉛筆涂黑矩形區(qū)域），并估算這 100 天空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)的平均數(shù)． 【考點(diǎn)】 頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)． 【分析】 （ Ⅰ ）由題意得： 365b=73， a+b=，由此能求出 x， y， a， b 的值． （ Ⅱ ）補(bǔ)全直方圖，由頻率分布直方圖，可估算這 100 天空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)的平均數(shù)． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由題意得： 365b=73，解得 b=， 又 a+b= ∴ a=， ∴ x=100 =10， y=100 =20﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （ Ⅱ ）補(bǔ)全直方圖如圖所示﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由頻率分布直方圖，可估算這 100 天空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為： 25 +75 +125 +175 +225 +275 =145．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 19．如圖，四棱錐 P﹣ ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD，底面 ABCD 為梯形，AB∥ CD， AB=2DC=2 ， AC∩ BD=F．且 △ PAD 與 △ ABD 均為正三角形， E為 AD 的中點(diǎn)， G 為 △ PAD 重心． （ Ⅰ ）求證： GF∥ 平面 PDC； （ Ⅱ ）求三棱錐 G﹣ PCD 的體積． 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定． 【分析】 （ Ⅰ ）法一：連 AG
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