山東省棗莊市20xx年高考數(shù)學一模試卷理科word版含解析(編輯修改稿)
2024-12-21 09:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 10．《九章算術》是我國數(shù)學史上堪與歐幾里得 《幾何原本》相媲美的數(shù)學名著．其中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉膈．已知直三棱柱 A1B1C1﹣ ABC 中， AB⊥ BC，AB=3， ，將直三棱柱沿一條棱和兩個面的對角線分割為一個陽馬和一個鱉膈，則鱉膈的體積與其外接球的體積之比為（ ） A． B． C． D． 【考點】 球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積． 【分析】 分別求出鱉膈的體積與其外接球的體積，即可得出結論． 【解答】 解：由題意，鱉膈的體積 = =10 ， 其外接球的半徑為 =5，體積為 = ， ∴ 鱉膈的體積與其外接球的體積之比為 10 ： =3 ： 50π， 故選 C． 【點評】 本題考查鱉膈的體積與其外接球的體積，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分． 11．在 的展開式中， x 的系數(shù)為 24 ．（用數(shù)字作答） 【考點】 二項式系數(shù)的性質． 【分析】 根據(jù)二項式展開式的通項公式，令展開式中 x 的指數(shù)為 1，即可求出 x的系數(shù)． 【解答】 解：在 的展開式中， 通項公式為 Tr+1= ?x4﹣ r? = ? ?2r， 令 4﹣ r=1，解得 r=2； ∴ 展開 式中 x 的系數(shù)為： 22 =24． 故答案為： 24． 【點評】 本題考查了二項式定理的應用問題，著重考查了二項展開式的通項公式，是基礎題． 12．已知雙曲線 C 的中心為坐標原點，它的焦點 F（ 2， 0）到它的一條漸近線的距離為 ，則 C 的離心率為 2 ． 【考點】 雙曲線的簡單性質． 【分析】 利用點到直線的距離，結合已知條件列式，利用雙曲線離心率的公式，可以計算出該雙曲線的離心率． 【解答】 解：雙曲線的一條漸近線方程為 bx+ay=0， ∵ 焦點 F（ 2， 0）到它的一條漸近線的距離為 ， ∴ = ， ∴ b= c， ∴ a= c， ∴ e= =2． 故答案為 2． 【點評】 本題給出雙曲線一個焦點到漸近線的距離與焦距的關系，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題． 13．若 “? x0∈ R， |x0+1|+|x0﹣ 1|≤ m”是真命題，則實數(shù) m的最小值是 2 ． 【考點】 特稱命題． 【分析】 寫出該命題的否定命題，根據(jù)否定命題求出 m 的取值范圍，即可得出結論． 【解答】 解：若 “? x0∈ R， |x0+1|+|x0﹣ 1|≤ m”是真命題， 它的否定命題是 “? x∈ R，有 |x+1|+|x﹣ 1|＞ m”，是假命題， ∵ |x+1|+|x﹣ 1|≥ 2 恒成立， ∴ m的最小值是 2． 故答案為： 2． 【點評】 本題考查了函數(shù)的最值以及命題的真假的應用問題，是基礎題． 14．某三棱錐的三視圖是三個邊長相等的正方形及對角線，若該三棱錐的體積是，則它的表面積是 2 ． 【考點】 由三視圖求面積、體積． 【分析】 根據(jù)三視圖得出該幾何體是正方體的內(nèi)接正三棱錐，畫出圖形求出三棱錐的棱長， 利用面積公式求出幾何體的表面積． 【解答】 解：如圖所示， 該幾何體是正方體的內(nèi)接正三棱錐； 設正方體的棱長為 a， 則幾何體的體積是 V=a3﹣ 4 a2?a= a3= ， ∴ a=1， ∴ 三棱錐的棱長為 ， 因此該三棱錐的表面積為 S=4 =2 ． 故答案為： 2 ． 【點評】 本題考查了正方體的內(nèi)接正三棱錐表面積的計算問題，關鍵是根據(jù)三視圖得出幾何體的結構特征． 15．已知函數(shù) f（ x） =|x?ex|， g（ x） =f2（ x） +λf（ x），若方程 g（ x） =﹣ 1 有且僅有 4 個不同的實數(shù)解，則實數(shù) λ 的取值范圍是 （﹣ ∞ ，﹣ e﹣ ） ． 【考點】 根的存在性及根的個數(shù)判斷． 【分析】 設 f（ x） =t，研究 f（ x）的單調性和極值，得出 f（ x） =t 的解的情況，從而確 定關于 t 的方程 t2+λt+1=0 的解的分布情況，利用二次函數(shù)的性質得出 λ的范圍． 【解答】 解： f（ x） = ， 當 x≥ 0 時， f′（ x） =ex+xe x=（ 1+x） ex＞ 0， ∴ f（ x）在 [0， +∞ ）上是增函數(shù)， 當 x＜ 0 時， f′（ x） =﹣ ex﹣ xe x=（﹣ 1﹣ x） ex， ∴ 當 x＜ ﹣ 1 時， f′（ x） ＞ 0，當﹣ 1＜ x＜ 0 時， f′（ x） ＜ 0， ∴ f（ x）在（﹣ ∞ ，﹣ 1]上是增函數(shù)，在（﹣ 1， 0）上是減函數(shù)． 當 x=﹣ 1 時， f（ x）取得極大值 f（﹣ 1） = ． 令 f（ x） =t， 又 f（ x） ≥ 0， f（ 0） =0， 則當 t＜ 0 時，方程 f（ x） =t 無解； 當 t=0 或 t＞ 時，方程 f（ x） =t 有一解； 當 t= 時，方程 f（ x） =t 有兩解； 當 0 時，方程 f（ x） =t 有三解． ∵ g（ x） =f2（ x） +λf（ x） =﹣ 1 有四個不同的實數(shù)解， ∴ 關于 t 的方程 t2+λt+1=0 在（ 0， ）和（ ， +∞ ）上各有一解， ∴ ，解得： λ＜ ﹣ e﹣ ． 故答案為（﹣ ∞ ，﹣ e﹣ ）． 【點評】 本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)與單調性和極值的關系，二次函數(shù)的性質，換元法解題思想，屬于中檔題． 三、解答題：本大題共 6小題，共 75分．解答應寫出文字說明、證明過程或 演算步驟． 16．（ 12 分）（ 2017?棗莊一模）將函數(shù) 的圖象上每點的橫坐標縮短到原來的 倍（縱坐標不變），得到函數(shù) y=f（ x）的圖象． （ 1）求函數(shù) f（ x）的解析式及其圖象的對稱軸方程； （ 2）在 △ ABC 中，內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c．若 ，求 sinB 的值． 【考點】 三角形中的幾何計算；函數(shù) y=Asin（ ωx+φ）的圖象變換． 【分析】 （ 1）由題意和圖象平移變換法則求出 f（ x）的解析式，由整體思想和正弦函數(shù)的對稱軸方程求出其圖象的對稱軸方程； （ 2）由（ 1）化簡 ，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函 數(shù)值求出 A，由條件和正弦定理求出 sinB 的值． 【解答】 解：（ 1）由題意得， f（ x） = ， 令 得， ， 所以 f（ x）的圖象的對稱軸方程是 ； （ 2）由（ 1）得， ， 因 0＜
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