【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 BC 結(jié)論 ：實(shí)現(xiàn)免疫策略最好的債券是 B。 原因 ：債券 B的修正久期等于負(fù)債的修正久期。 在其他市場(chǎng)利率條件下，在第 10年的價(jià)值 6% 55 ? 免疫策略的另一種選擇 ：構(gòu)造一個(gè)債券組合，使其修正久期等于債務(wù)的修正久期。 ? 假設(shè)在債券 A上的投資比例為 p，在債券 C上的投資比例為(1 – p)，那么債券組合的修正久期為 + (1 – p) 令其等于債務(wù)的修正久期 ，即可求得 在債券 A上的投資： % 在債券 C上的投資： % ? 這個(gè)組合與債券 B的凸度比較見下圖： 56 0 150020232500 組合B結(jié)論： （ 1）組合的凸度更大，對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)的免疫能力更強(qiáng)。 （ 2）當(dāng)市場(chǎng)利率變化時(shí)，組合的價(jià)值上升得更多。 57 完全免疫 ? Redington免疫：只有當(dāng)平坦的收益率曲線發(fā)生微小的平移時(shí)，才能保證盈余不會(huì)減少。 ? 完全免疫 （ full immunization）： 在某些情況下，即使當(dāng)平坦的收益率曲線發(fā)生較大的平移，盈余也不會(huì)減少。 例： 假設(shè)某機(jī)構(gòu)在未來需要支付一筆負(fù)債 L，支付時(shí)間為 t，同時(shí)在未來有兩筆資產(chǎn)現(xiàn)金流，金額分別為 A 和 B，到期時(shí)間分別為 t – a 和 t + b。它們的大小關(guān)系如下圖所示。 58 可以證明，實(shí)現(xiàn)完全免疫需要滿足下述三個(gè)條件： （ 1）資產(chǎn)的現(xiàn)值＝負(fù)債的現(xiàn)值 （ 2）資產(chǎn)的久期＝負(fù)債的久期 （ 3）資產(chǎn)到期時(shí)間處于負(fù)債到期時(shí)間之前和之后，即： t a t t b? ? ? ?59 ?根據(jù)（ 1），資產(chǎn)的現(xiàn)值等于負(fù)債的現(xiàn)值，即： ?盈余是資產(chǎn)的現(xiàn)值與負(fù)債的現(xiàn)值之差，其一階導(dǎo)數(shù)為： ?由條件（ 1）和（ 2）可知 0 0 0( ) ( )e e et a t b tA B Ld d d + +=00eeabL A Bdd =+( ) ( )( ) ( ) e ( ) e et a t b tS A t a B t b L td d dd + 162。 = + +0 0 0( ) ( )0( ) 0 ( ) e ( ) e e 0t a t b tS A t a B t b L td d dd + 162。 = 222。 + + =證明（略）： 60 ?上式變形得（展開括號(hào)）： ?由條件（ 1）知，第一項(xiàng)為零。由第二項(xiàng)為零，可得： 0 0 0( ) ( )( ) e ( ) e e 0t a t b tA t a B t b L td d d + + + =00 000( ) ( )( ) ( )eee e 0e t a t b b tt a tAt Aa B t L tBbddd d d + ++ + =0 0 0 00( ) ( )( ) ( )e ee 0e et a t abb tttt A B L A a B bd d d dd + +輊 + 犏臌 輊+ =犏臌0()e abaBAbd+驏 247。231。= 247。231。247。231。桫61 ?對(duì)于任意的利息力 ?，盈余可以表示為： ?先把 L 代入上式，再把 B 代入上式，可得： ? 括號(hào)外邊大于零。令括號(hào)中的項(xiàng)為 f (? )，則： 0 0 0( ) ( )( ) e e e e 1a a bt aaSAbbd d d d ddd 輊 驏 247。231。犏= + + 247。231。 247。231。犏 桫臌( ) ( )( ) e e et a t b tS A B Ld d dd + = + 00( ) ( )( ) e eabf a ad d d dd 162。 =62 ?由于 a 和 b 都是大于零的數(shù)，所以： 0000( ) ( )( ) ( )()e1( ) e eeababbf a a addd d d dddd+ 162。 = = ?0000 ( ) 0 0 f如 果 如 果 如 果 ddd d ddd236。 ==239。239。239。239。162。237。239。239。239。 239。238。0( ) e e ( ) 0atS A fdddd=?故 63 命題： 當(dāng)滿足前述完全免疫的三個(gè)條件時(shí)，必然會(huì)滿足Remington免疫的三個(gè)條件。 證明 ：根據(jù)完全免疫的第二個(gè)條件 有 由于負(fù)債只在一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上有現(xiàn)金流，所以 而資產(chǎn)在兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上有現(xiàn)金流，所以 馬考勒凸度和馬考勒久期的關(guān)系： ALM ac D M ac D t??2 0L? ?2 0A ? 2 222 ALA A L LM ac C MM ac D ac C M ac D??? ? ? ?ac C M ac C?64 例： 某保險(xiǎn)公司在 10年末需要支付一筆 2023萬元的債務(wù)， 它現(xiàn)在擁有 5年期的零息債券 （到期價(jià)值）， 15年期的零息債券 16105100元（到期價(jià)值） 。假設(shè)年收益率為 10％。 請(qǐng)判斷保險(xiǎn)公司是否處于完全免疫狀態(tài)？ 如果收益率變?yōu)? 20％，保險(xiǎn)公司的盈余將如何變化？ 65 解 ： 保險(xiǎn)公司負(fù)債的現(xiàn)值為 保險(xiǎn)公司資產(chǎn)的現(xiàn)值為 完全免疫的第一個(gè)條件得到了滿足。 1020230000 771086 ??A 5 16105100 77108 ? ? ?66 容易看出，負(fù)債的馬考勒久期為 10 資產(chǎn)的馬考勒久期為 完全免疫的第二個(gè)條件也得到了滿足。 完全免疫的第三個(gè)條件顯然是滿足的： 5 10 15， 所以，保險(xiǎn)公司當(dāng)前處于完全免疫狀態(tài)。 5 ( 1 .10) 5 16105100 ( 1 .10) 1510 77 108 65. 79 AM ac D??? ? ? ? ???67 如果收益率從 10%變?yōu)?20％，則保險(xiǎn)公司的盈余為： 可見，由于保險(xiǎn)公司處于完全免疫狀態(tài)，所以收益率的較大變化仍然會(huì)導(dǎo)致盈余增加（ 參見下圖 ）。 5 15 10 16105100 20230000 310540 .99( )1 .2 1 .2ALPP ? ? ? ? ? 元68 69 70 現(xiàn)金流配比 （ cash flow matching or Dedication） 例 ：假設(shè)某保險(xiǎn)公司未來 3年的現(xiàn)金流支出和三種可投資資產(chǎn)的現(xiàn)金流模式如下。如果實(shí)施現(xiàn)金流匹配策略，投資在這三種資產(chǎn)上的資金分別應(yīng)為多少？ 第 1年末 第 2年末 第 3年末 現(xiàn)金流支出 1000 1000 1000 資產(chǎn) 1 50 50 500 x 資產(chǎn) 2 100 300 y 資產(chǎn) 3 200 z 令：投資比例為 x、 y、 z，則有 500 100050 300 100050 100 200 1000xxyx y z??? ???? ? ? ??233xyz??? ??? ??71 ? 現(xiàn)金流匹配策略的特點(diǎn)： 徹底消除了利率風(fēng)險(xiǎn) 不容易實(shí)現(xiàn)：可能沒有所需期限的資產(chǎn)（債券） 可調(diào)空間很小，一旦實(shí)施，就很難調(diào)整債券組合。 72 例 ： 某公司未來負(fù)債的現(xiàn)金流如下表所示： 可投資的資產(chǎn)如下： （ 1）年息票率為 20％的 2年期債券； （ 2）年息票率為 10％的 4年期債券； （ 3）年息票率為 5％的 5年期債券； 每種債券的面值均為 100元，年實(shí)際收益率為 5％。 如果該公司打算通過現(xiàn)金流匹配策略管理利率風(fēng)險(xiǎn)，請(qǐng)計(jì)算應(yīng)該如何購(gòu)買這三種債券？ 年度 1 2 3 4 5 負(fù)債的現(xiàn)金流 4090 6790 3550 36550 5250 73 年度 1 2 3 4 5 5年期債券 5 5 5 5 105 4年期債券 10 10 10 110 2年期債券 20 120 可投資債券的現(xiàn)金流： 年度 1 2 3 4 5 負(fù)債的現(xiàn)金流 4090 6790 3550 36550 5250 負(fù)債的現(xiàn)金流： 74 （ 1） 年度 1 2 3 4 5 （ 2） 負(fù)債的現(xiàn)金流 4090 6790 3550 36550 5250 （ 3） 5年期債券的現(xiàn)金流 250 250 250 250 5250 （ 4） 剩余負(fù)債的現(xiàn)金流 3840 6540 3300 36300 0 （ 5） 4年期債券的現(xiàn)金流 3300 3300 3300 36300 0 （ 6） 剩余負(fù)債的現(xiàn)金流 540 3240 0 0 0 （ 7） 2年期債券的現(xiàn)金流 540 3240 0 0 0 （ 8） 剩余負(fù)債的現(xiàn)金流 0 0 0 0 0 現(xiàn)金流匹配策略的計(jì)算過程 ? 5年期債券到期時(shí)的本息之和為 105元，故需購(gòu)買： 5250247。 105 = 50 ? 4年期債券到期時(shí)的本息之和為 110元，故需購(gòu)買： 36300247。 110 = 330 ? 2年期債券到期時(shí)的本息之和為 120元，故需購(gòu)買： 3240247。 120 = 27 75 ? 利率的期限結(jié)構(gòu) （ term structure of interest rate） ：利率和與之相聯(lián)系的到期期限之間的關(guān)系。 ? 如果通過利率的期限結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)一項(xiàng)資產(chǎn)的定價(jià)過高或者過低，就有可能從中獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，即套利（ arbitrage）。 ? 本章主要內(nèi)容 ： 到期收益率 遠(yuǎn)期利率 即期利率 套利 76 到期收益率 ? 到期收益率（ yield to maturity）：資產(chǎn)的內(nèi)部報(bào)酬率，是使得該項(xiàng)資產(chǎn)未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值與其價(jià)格相等的利率。 0 ( 1 )ttt yCP????77 到期日 年息票率 年實(shí)際收益率 債券的價(jià)格 1 2% % 2 5% % 3 6% % 4 10% % 5 4% % 6 12% % 7 0% % 8 7% % 9 4% % 10 8% % 表 1：利率的期限結(jié)構(gòu)（由 10種不同到期日的債券組成） 78 %%%%%%%%1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 收益率曲線： 利率隨著投資時(shí)期變化而變化的曲線 平價(jià)收益率曲線 （ par yield curve）： 債券的息票率等于其收益率時(shí)相應(yīng)的收益率曲線。此時(shí)，債券的價(jià)格將等于它的票面值。 79 ? 即期利率 （ spot rate） ：從當(dāng)前時(shí)點(diǎn)開始計(jì)算的未來一定限期的利率水平。 ? 用即期利率計(jì)算債券的價(jià)格： ? 用即期利率計(jì)算的債券價(jià)格更加合理。 0 (1 )tttt rCP?? ??即期利率 80 例 ： 1年期的即期利率為 %， 2年期的即期利率為 %。請(qǐng)計(jì)算一個(gè)年息票率為 15%的兩年期債券的價(jià)格，假設(shè)債券的面值為 100元。 解 ：該債券的價(jià)格為 221215 115 15 115 117 .580 2( 1 ) 1 ( 1 ) 2 5tttCPr r r? ? ? ? ? ?? ? ??81 ? 用即期利率計(jì)算年金的現(xiàn)值： 2121 1 1...( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) nn na r r r? ? ? ?? ? ?211 2 11 1 11 ...( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) nn na r r r ??? ? ? ? ?? ? ?82 例 ：假設(shè) 1年期、 2年期和 3年期的即期利率分別為 5％、 7％和 9％，請(qǐng)計(jì)算一項(xiàng)每年年末支付 100元的三年期年金的現(xiàn)值。 解 ： 該年金的現(xiàn)值為 233|1 1 1100 100( ) ? ? ? ?83 ? 如何求得即期利率 ？?jī)煞N方法 1. 通過市場(chǎng)上零息債券的價(jià)格計(jì)算： n 年期的即期利率＝ n 年期零息債券的收益率 2. 自助法（ bootstrapping）：從一系列含有息票的債券的價(jià)格中計(jì)算得到。 由一年期債券的價(jià)格計(jì)算 1年期的即期利率 利用這個(gè)信息及兩年期債券的價(jià)格，計(jì)算 2年期的即期利率 以此類推。 在自助法中，要求應(yīng)用收益率和即期利率計(jì)算的債券價(jià)格相等。 84 例： 假設(shè) 1年期和 2年期的即期利率分別為 5％和 ％。 3年期債券的價(jià)格為 100，息票率為 6％。求 3年期的即期利率。 解 ： 3年期的即期利率滿足下述方程： 23