【正文】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 .1449 ) ( ) E AV E i i? ? ?? ? ??? ? ? ?? ?222 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 5509 ) ( ) ( 5506 ) ( ) ( 0796 ) ( ) 609E AV E i i?? ? ? ??? ? ? ? ?? 因此累積值的方差為： ? ? 222 2 22v a r AV E AV E AV?????（ ） （ ） （ ）? 變動利率模型 (varying interest rate model)： 各年的利率水平是相互獨立的。 ? 例： 假設(shè)未來每年的實際利率可能是 3%、 5%或 7%，相應(yīng)的概率分別為 、 。 （ 1）試計算現(xiàn)在投資單位 1在兩年末的期望累積值。 （ 2）試計算現(xiàn)在投資單位 1在兩年末的累積值的方差。 解： AV2的 完整分布如下： (i1 ， i2) 概 率 AV2 (AV2)2 (， ) ()()= ()()= = (， ) ()()= ()()= = (， ) ()()= ()()= = (， )或 (， ) 2()()= ()()= = (， )或 (， ) 2()()= ()()= = (， )或 (， ) 2()()= ()()= = (1) 兩年末累積值的期望為： (2) 兩年末累積值的二階矩為： ? ? ? ?? ?2 1 22( 1 ) ( 1 ) E AV E i iAV? ? ? ???? 概 率? ? ? ?? ?222 1 222( 1 ) ( 1 ) ( ) E AV E i iAV?? ? ? ??????????? 概 率? 因此累積值的方差為： ? ? ? ? ? ?222 2 22v a r AV E AV E AV?? ???????? 從上述兩例可以看出，固定利率模型中的期望累積值 ()要大于變動利率模型中的期望累積值 ()。 ? 在固定利率模型中，當(dāng)?shù)谝荒甑睦仕綖樽罡叩?7%時，第二年的利率水平也固定在最高的 7%。這可認(rèn)為是對利率水平的有效分配，因為第一年末的累積值越高，第二年所應(yīng)獲得的利息收入就應(yīng)越高，也就是說，當(dāng)?shù)谝荒昴┑睦鄯e值達(dá)到最高時，第二年的利率也應(yīng)達(dá)到最高。 現(xiàn)值 ? 如果假設(shè)利率為一個隨機(jī)變量 it，那么在時刻 n 到期的單位 1，在時刻 0 的現(xiàn)值 PVn 為： 可見，現(xiàn)值 PVn 本身也是一個隨機(jī)變量。 121 1 11 1 1n nPV i i i??? ? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??? 如果已知所有時刻的利率的概率分布，就可以計算在時刻 0 的期望現(xiàn)值。 ? 注意，雖然現(xiàn)值和累積值的乘積等于 1，即 ? 但這并不意味著期望累積值 和 期望現(xiàn)值會具有同樣的代數(shù)關(guān)系。在一般情況下 1nnP V A V??? ? ? ? 1nnE PV E AV??? ?nE AV? ?nE PV例： 假設(shè)未來每年的實際利率可能是 3%、 5%或 7%，相應(yīng)的概率分別為 、 。利率一旦被確定，將在今后兩年保持不變。請計算時刻 2的單位 1在時刻 0的期望現(xiàn)值。 解 ： ? ?2122 2 21( 1 ) ( 1 )1 1 1( ) ( ) ( ) E PV Eii??? ??????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 在上例中，我們已經(jīng)計算得到的期望累積值為 ，故 可見在本例中，期望現(xiàn)值乘以期望累積值并不等于 1。 ? ? ? ? 41 69 nnE PV E AV? ? ??獨立同分布假設(shè)下的累積值和現(xiàn)值 ? 如果利率 是獨立同分布的隨機(jī)變量，它們具有相同的期望值 ， t = 1， 2， … ， n，則 n 年末的期望累積值可以表示為： 12, ni i i? ?ti E i? ? ? ? ? ? ? ? ?121 ( ) 1 ( ) 1 ( )nnE AV E i E i E i? ? ? ?(1 )ni??? ?11 ( ) nEi例： 假設(shè)未來每年的實際利率可能是 3%、 5%或 7%，相應(yīng)的概率分別為 、 。試計算現(xiàn)在投資的單位 1在時刻 2的期望累積值。 解： 未來的利率是獨立同分布的，故期望值為： ? ? 2tEi ? ? ? ? ? ? ?? 時刻 2的期望累積值為： ? 結(jié)果與上例相同。顯然，通過期望利率 來解 要方便得多。 ? ? ? ? 222 ( 1 ) AV i? ? ? ?i ? ?nE AV? 設(shè)諸 it 的方差為 s2，即 ，則可以用 和 s2來表示累積值 AVn的方差。 ? 累積值 AVn的二階原點矩為 i ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 22 121 1 1nnE A V E i i i??? ? ? ???? ?2112ntti E i???? ? ???? 2v a r ( )tis? ? ?211nttEi???? ? ?2112ntttE i i?? ? ?? 隨機(jī)利率 it 的方差 s2 為 ? 故 it 的二階原點矩為 ? ? ? ? 222 tts E i E i?? ????? ?2 2 2tE i s i??? ?22tE i i??? 將后式代入前式中，可以得到累積值 AVn 的二階原點矩為： ? ? ? ?2 2 2112nntE AV i s i?? ? ? ??? ?222 i s i? ? ? ? ?? ? 2 21nis??? ???? 因此，如果利率 it 是獨立同分布的，則累積值 AVn 的方差可以表示為： ? ? ? ? ? ?22v a rn n nA V E A V E A V?? ????? ? ? ?22211 n ni s i??? ? ? ? ???? 如果諸利率 it 是獨立同分布的，則現(xiàn)值 PVn 的期望值可以表示為： ? 其中 ， t =1， 2， … ， n。 ? 在通常情況下 ，即 。 ? ? 11nnntE PV E vi???????????????11 tvE i??? ????? ? ?1111ttE i E i?? ???????11v i? ?? 注意，期望現(xiàn)值并不等于為了在時刻 n 獲得單位 1的期望累積值而在 0時刻必須進(jìn)行的投資。下面的例子可以說明這一點。 例： 假設(shè)未來每年的實際利率可能是 3%、 5%或 7%，相應(yīng)的概率分別為 、 。 (1) 為了使得第 2年末的期望累積值為 1元，現(xiàn)在必須投資多少 ? (2) 在第 2年末支付 1元，它的期望現(xiàn)值是多少 ? 解： (1) 假設(shè)現(xiàn)在投資 X，則第 2年末的期望累積值為： 令第 2年末的期望累積值為 1元，則有： 解得 即：如果現(xiàn)在投資 ，則第 2年末的期望累積值為1元。 ? ? ? ?? ?2221 X E AV X iX? ? ??? ? 1X ?0. 90 35 84X ?(2) 為了計算第 2年末支付的 1元的期望現(xiàn)值，首先計算 ： 11 tvE i????????v 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0. 95 07 39?? 接下來再計算期望現(xiàn)值 就十分方便了： ? 可見，在第 2年末支付 1元，它的期望現(xiàn)值是 。 ? 顯然，在第 2年末 1元期望累積值的現(xiàn)值，不等于第 2年末支付 1元的期望現(xiàn)值。 ? ?2E PV? ? 22 905 E PV v??對數(shù)正態(tài)模型 ? 在對數(shù)正態(tài)模型中，我們通常假設(shè) 服從正態(tài)分布，這相當(dāng)于假設(shè)連續(xù)利率 服從正態(tài)分布，這是因為 ? 這里的隨機(jī)變量是時刻 t1 至?xí)r刻 t 的利息力。 ? 注意： 時刻 t 附近無限短的時間內(nèi)的利息力。 隨機(jī)變量（應(yīng)用于一個時間區(qū)間） ln(1 )ti?t? ln( 1 )tti? ??t?t? 假設(shè) 服從對數(shù)正態(tài)分布，且 具有如下的均值和方差： ? 則 的期望和方差分別為： ? ? ? ?? ? ? ? 2l n( 1 )v a r l n( 1 ) v a rttttE i Ei????? ? ?? ? ?? ?2 /21etEi ?????? ? 222v a r 1 e ( e 1 )ti ? ? ??? ? ?(1 )ti?ln(1 )ti?(1 )ti?例： 假設(shè)對時刻 1和時刻 2，有 ， 。進(jìn)一步假設(shè)在各年的利率還是獨立同分布的，且 服從對數(shù)正態(tài)分布。試計算對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù) ? 和 ?2 。 解 ：因為 是具有參數(shù) ? 和 ?2的對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量，所以的期望和方差分別為： ? ? ?? ?v a r 4ti ?(1 )ti?? ?2 /21etEi ?????(1 )ti? ? ? 222v a r 1 e ( e 1 )ti ? ? ??? ? ?? 由此可得： ? ?? ?22v a r 1l n 11ttiEi?????????????????? ? ? ?? ? 2v a r 11l n 1 l n 12 1tttiEiEi??? ??? ? ? ? ??? ?????? ?????? 因為 ， ，所以 ? 將它們代入和的等式中，即可求得對數(shù)正態(tài)分布的兩個參數(shù)分別為： ? ? ?? ?v a r 4ti ?? ? ? ?1 1 i E i? ? ? ? 67 48 4? ?2 00 34 9? ? ? ? ? ?v a r 1 v a r 04ttii? ? ?? 如果假設(shè) 服從正態(tài)分布，那么現(xiàn)在存入的單位 1在時刻 n 的累積值的自然對數(shù)就可以由每一年的利息力之和來表示，即 ln(1 )ti?12( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnA V i i i? ? ? ?? ? 12l n l n( 1 ) l n( 1 ) l n( 1 )nnAV i i i? ? ? ? ? ? ? ?? ? 12ln nnAV ? ? ?? ? ? ?? 如果 均服從參數(shù)為 ? 和 ?2的對數(shù)正態(tài)分布，且相互獨立，則 相互獨立，且服從均值為 ? ，方差 ?2為的正態(tài)分布，故有 ? ? ? ? 212v a r l n v a rnnA V n? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ?12ln nnE A V E n? ? ? ?? ? ? ? ?????12( 1 ) , ( 1 ) , , ( 1 )ni i i? ? ?t?? 由于 是一組獨立同分布的正態(tài)隨機(jī)變量之和，所以是具有均值 n? ，方差 n?2 的正態(tài)隨機(jī)變量。 ? 這就意味著累積值 AVn 服從參數(shù)為 n?