【正文】 ? 這就意味著累積值 AVn 服從參數(shù)為 n? 和 n。試計(jì)算對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù) ? 和 ?2 。 隨機(jī)變量（應(yīng)用于一個(gè)時(shí)間區(qū)間） ln(1 )ti?t? ln( 1 )tti? ??t?t? 假設(shè) 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且 具有如下的均值和方差： ? 則 的期望和方差分別為： ? ? ? ?? ? ? ? 2l n( 1 )v a r l n( 1 ) v a rttttE i Ei????? ? ?? ? ?? ?2 /21etEi ?????? ? 222v a r 1 e ( e 1 )ti ? ? ??? ? ?(1 )ti?ln(1 )ti?(1 )ti?例： 假設(shè)對(duì)時(shí)刻 1和時(shí)刻 2，有 ， 。 ? ?2E PV? ? 22 905 E PV v??對(duì)數(shù)正態(tài)模型 ? 在對(duì)數(shù)正態(tài)模型中，我們通常假設(shè) 服從正態(tài)分布，這相當(dāng)于假設(shè)連續(xù)利率 服從正態(tài)分布，這是因?yàn)? ? 這里的隨機(jī)變量是時(shí)刻 t1 至?xí)r刻 t 的利息力。 ? ? ? ?? ?2221 X E AV X iX? ? ??? ? 1X ?0. 90 35 84X ?(2) 為了計(jì)算第 2年末支付的 1元的期望現(xiàn)值，首先計(jì)算 ： 11 tvE i????????v 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0. 95 07 39?? 接下來(lái)再計(jì)算期望現(xiàn)值 就十分方便了： ? 可見(jiàn)，在第 2年末支付 1元，它的期望現(xiàn)值是 。 例： 假設(shè)未來(lái)每年的實(shí)際利率可能是 3%、 5%或 7%，相應(yīng)的概率分別為 、 。 ? ? 11nnntE PV E vi???????????????11 tvE i??? ????? ? ?1111ttE i E i?? ???????11v i? ?? 注意，期望現(xiàn)值并不等于為了在時(shí)刻 n 獲得單位 1的期望累積值而在 0時(shí)刻必須進(jìn)行的投資。 ? 累積值 AVn的二階原點(diǎn)矩為 i ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 22 121 1 1nnE A V E i i i??? ? ? ???? ?2112ntti E i???? ? ???? 2v a r ( )tis? ? ?211nttEi???? ? ?2112ntttE i i?? ? ?? 隨機(jī)利率 it 的方差 s2 為 ? 故 it 的二階原點(diǎn)矩為 ? ? ? ? 222 tts E i E i?? ????? ?2 2 2tE i s i??? ?22tE i i??? 將后式代入前式中，可以得到累積值 AVn 的二階原點(diǎn)矩為： ? ? ? ?2 2 2112nntE AV i s i?? ? ? ??? ?222 i s i? ? ? ? ?? ? 2 21nis??? ???? 因此，如果利率 it 是獨(dú)立同分布的，則累積值 AVn 的方差可以表示為： ? ? ? ? ? ?22v a rn n nA V E A V E A V?? ????? ? ? ?22211 n ni s i??? ? ? ? ???? 如果諸利率 it 是獨(dú)立同分布的，則現(xiàn)值 PVn 的期望值可以表示為： ? 其中 ， t =1， 2， … ， n。顯然，通過(guò)期望利率 來(lái)解 要方便得多。試計(jì)算現(xiàn)在投資的單位 1在時(shí)刻 2的期望累積值。 解 ： ? ?2122 2 21( 1 ) ( 1 )1 1 1( ) ( ) ( ) E PV Eii??? ??????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 在上例中，我們已經(jīng)計(jì)算得到的期望累積值為 ，故 可見(jiàn)在本例中，期望現(xiàn)值乘以期望累積值并不等于 1。利率一旦被確定，將在今后兩年保持不變。 ? 注意，雖然現(xiàn)值和累積值的乘積等于 1，即 ? 但這并不意味著期望累積值 和 期望現(xiàn)值會(huì)具有同樣的代數(shù)關(guān)系。 現(xiàn)值 ? 如果假設(shè)利率為一個(gè)隨機(jī)變量 it，那么在時(shí)刻 n 到期的單位 1，在時(shí)刻 0 的現(xiàn)值 PVn 為： 可見(jiàn)，現(xiàn)值 PVn 本身也是一個(gè)隨機(jī)變量。 ? 在固定利率模型中，當(dāng)?shù)谝荒甑睦仕綖樽罡叩?7%時(shí)，第二年的利率水平也固定在最高的 7%。 （ 2）試計(jì)算現(xiàn)在投資單位 1在兩年末的累積值的方差。 ? 例： 假設(shè)未來(lái)每年的實(shí)際利率可能是 3%、 5%或 7%，相應(yīng)的概率分別為 、 。 （ 2）試計(jì)算現(xiàn)在投資單位 1在兩年末的累積值的方差。利率一旦被確定，將在今后兩年保持不變。 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnA V i i i? ? ? ?? 固定利率模型 (fixed interest rate model)：初始利率將在第一年被確定，而隨后的利率將被固定在這個(gè)利率水平之上。 累積值 ? 如果假設(shè)利率為一個(gè)隨機(jī)變量 it ，那么現(xiàn)在投資單位 1，經(jīng)過(guò) n 年后，其累積值 AVn為： 可見(jiàn) AVn也是一隨機(jī)變量。 ? 如果能夠?qū)ξ磥?lái)利率的概率分布作出一定假設(shè)，那么就可以得到未來(lái)的利率水平和與之相關(guān)的現(xiàn)金流的一些結(jié)論。在第三年末，累積值為 （ ） = （元） 正好用于支付售出債券在第三年末的本金（ 100元）和息票（ ）。 解： 與遠(yuǎn)期利率一致的債券價(jià)格為 0 0%f ?1 2%f ?2 0%f ? 0 0 1 0 1 2 1 1 105 .8611 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )P f f f f f f? ? ?? ? ? ? ? ? 61 61 105 .86 45 ( 45 ) ( 600 2) ( 45 ) ( 600 2) ( 1. 08 )? ? ?99 .3 87 2?107 ? 套利策略 ：按 100元的價(jià)格賣出一個(gè)三年期債券，同時(shí)用，即可在 0時(shí)刻獲得 =（元）的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。兩個(gè)債券的價(jià)格為 25 105 ? ? ?105 ? 該投資策略的現(xiàn)金流如下： 時(shí)刻 賣出債券的現(xiàn)金流 買入債券的現(xiàn)金流 凈現(xiàn)金流 0 99 1 5 5 0 2 105 105 0 106 例： 一個(gè)年息票率為 %的三年期債券按其面值（ 100元）定價(jià)。 104 ? 套利者可以通過(guò)以下策略從套利機(jī)會(huì)中獲利： 按 99元的價(jià)格 購(gòu)買 該債券。 ? 解： 由前例可知，與即期利率一致的債券價(jià)格為 元。試判斷是否存在套利機(jī)會(huì)。 103 例（價(jià)格被低估）： 一個(gè)年息票率為 5%的兩年期債券的價(jià)格為 99元，其面值為 100元。 25 105 ? ? ?102 時(shí)刻 賣出債券的現(xiàn)金流 買入債券的現(xiàn)金流 凈現(xiàn)金流 0 101 1 5 5 0 2 105 105 0 該投資策略的現(xiàn)金流如下： 套利的一般規(guī)律： ? 賣出一項(xiàng)價(jià)格被高估的資產(chǎn)，并買入一系列現(xiàn)金流與之相匹配的資產(chǎn)。 購(gòu)買 一個(gè)在第 1年末支付 5元的零息票債券，以及一個(gè)在第 2年末支付 105元的零息票債券。 解 ：按即期利率計(jì)算的債券價(jià)格為： 與市場(chǎng)價(jià)格 101元不一致，故存在套利機(jī)會(huì)。 1年期的即期利率為 %， 2年期的即期利率為 5%。通過(guò)同時(shí)的買入和賣出，實(shí)現(xiàn)套利。 ? 【 解 】 適用于第 1年的遠(yuǎn)期利率等于第 1年的即期利率，即： 1011rf? ? ? 1 f? ? ?0 0%f??98 ? 應(yīng)用前面的公式，分別計(jì)算第 2年和第 3年的遠(yuǎn)期利率為 22 0 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )r f f? ? ? ?323 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )r r f? ? ? ?2 126 ) ( 1 )f? ??32 2 604 11 1 061 % 551 26f ???1 277 %f ?99 例： 假設(shè)各年的遠(yuǎn)期利率分別為 請(qǐng)計(jì)算 2年期和 3年期的即期利率。 21 105 .45 105 .45 ( ) ( 1 )f? ? ? ?2322 1 1 105 .971 1 1 105 .971 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 00%ff? ? ? ? ????1 12. 000 %f93 ? 應(yīng)用遠(yuǎn)期利率求即期利率 ： 假設(shè)在 t 年末的現(xiàn)金流為 Ct，用即期利率計(jì)算其現(xiàn)值為 用遠(yuǎn)期利率計(jì)算其現(xiàn)值為 由于上述兩個(gè)現(xiàn)值相等，故有： (1 )t ttCr? 0 1 1(1 ) (1 ) ...( 1 )t tCf f f ?? ? ?0 1 10 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ...( 1 )( 1 ) ( 1 ) ...( 1 ) 1ttttttr f f fr f f f??? ? ? ? ?? ? ? ? ??94 33 0 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) r f f f? ? ? ? ?f0 f1 f2 r3 0 1 2 3 應(yīng)用遠(yuǎn)期利率求得即期利率： 95 0 1 111 0 1 2 ( 1)( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ...( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ...( 1 ) ( 2) ttttttr f f fr f f f????? ? ? ? ?? ? ? ? ? 11 1 111( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 11 2 )( 1 )ttttt t t tttr f r r fr?? ? ????? ? ?? ? ? ??（ ）（ ＝）應(yīng)用即期利率求遠(yuǎn)期利率： 96 323 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) r r f? ? ? ?r2 f2 r3 0 1 2 3 應(yīng)用即期利率求得遠(yuǎn)期利率： 97 例： 1年期的即期利率為 %， 2年期的即期利率為 %，3年期的即期利率為 %。 解 ：應(yīng)用收益率和遠(yuǎn)期利率計(jì)算的債券價(jià)格相等，故第 1年的遠(yuǎn)期利率滿足下述方程： 到期日 年息票率 年實(shí)際收益率 1 % % 2 % % 3 % % 0103 103 1 f? ?0 12. 000 %f??92 ? 同理，可以計(jì)算第 2年和第 3年的遠(yuǎn)期利率 f1 和 f2： ? 可見(jiàn)，第 3年的遠(yuǎn)期利率均為 12%。但在現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中，遠(yuǎn)期利率小于即期利率和到期收益率的情況也是有可能發(fā)生的。見(jiàn)下例。 解： 該債券的價(jià)格為： 0 1 1( 1 ) ( 1 ) ...( 1 )tt tCPf f f ?? ? ? ??10 10 110 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 62? ? ??89 例： 三年期債券的價(jià)格為 100元， f0 = 5%, f1=%，計(jì)算2年期的遠(yuǎn)期利率。請(qǐng)計(jì)算一個(gè)年息票率為 10%的三年期債券的價(jià)格。 86 遠(yuǎn)期利率 ? 遠(yuǎn)期利率 （ forward rate）： 未來(lái)兩個(gè)時(shí)點(diǎn)之間的利率水平，由一系列即期利率所確定。 解 ： 3年期的即期利率滿足下述方程： 231 2 36 6 1061001 ( 1 ) ( 1 )r r r? ? ?? ? ?3 411 %r??2336 6 106 512 6 ( 1 )r? ? ? ?85 %%%%%%1 2 3 4 5 6 7 8 9 10年實(shí)際收益率 即期利率與表 1 對(duì)應(yīng)的即期利率曲線 到期收益率是不同即期利率的一種加權(quán)平均。 3年期債券的價(jià)格為 100，息票率為 6％。 在自助法中，要求應(yīng)用收益率和即期利率計(jì)算的債券價(jià)格相等。 解 ： 該年金的現(xiàn)值為 233|1 1 1100 100( )