(修改)第七講從海岸線長度談起——分形幾何(編輯修改稿)
2025-01-22 06:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 球本身和作用于氣球的空氣流同樣也都受到牛頓動力學的支配，但無人能夠準確地預測它在不久將來的位置。這種現(xiàn)象根據(jù)確定論代表人物法國數(shù)學家拉普拉斯的觀點，其原因是我們不能準確知曉氣球所在的初始位置和速度及作用于氣球的空氣流的方向和速度。但若從此觀點看這種現(xiàn)象，人們不覺會認為自然界的一切隨機不確定現(xiàn)象都源于不可知因素作用的結果，可能就要產(chǎn)生錯誤。 蝴蝶效應 1963年，美國氣象學家洛倫茨發(fā)現(xiàn)的 “蝴蝶效應 ”便是其中典型一例。洛倫茨在一個由三維一階微分方程組描述的氣象預報模型中，發(fā)現(xiàn)該確定的數(shù)學模型產(chǎn)生的結果不是趨于穩(wěn)定平衡的，也不是趨于某種周期性變化，而是貌似隨機的。近似的初始條件并不能獲得近似的結果，更甚者，兩者的差異隨時間增大而越大。但這種現(xiàn)象并不是由于計算機的精度或可靠性等原因造成的。之后，這種類似現(xiàn)象被大量發(fā)現(xiàn)，引起眾多學者的關注。 1975年，美國數(shù)學家約克和華人學者李天巖將“蝴蝶效應”之類的現(xiàn)象稱之為“混沌”。對混沌現(xiàn)象的研究加深了人們對非線性現(xiàn)象的理解，深化了對混沌現(xiàn)象本質(zhì)的認識。 混沌討論過程的復雜性 ? 失之毫厘，謬以千里 ? 。 ? “失之毫厘，謬以千里?！? ? 如“洛倫茲的天氣預報”。 ? ，小的擾動只產(chǎn)生結果的小偏差。 混沌是比有序更為普遍的現(xiàn)象 ? “蝴蝶效應”： ? 巴西的蝴蝶扇一下翅膀，可能會引起幾周之后在美國德克薩斯州有一場風暴。 ? ——洛倫茲 ? “對初值的極端敏感”在天氣預報中的發(fā)現(xiàn)。 美國氣象學家 是混沌認識過程中的一個里程碑。 1963年，他在麻省理工學院操作著一臺當時比較的先進工具 ——計算機進行天氣模擬，試圖進行長期天氣預報。 Lorenz發(fā)現(xiàn)混沌運動的兩個重要特點： （ 1）對初值極端敏感； (2)解并不是完全隨機的。Lorenz之后，混沌學的研究開始蓬勃發(fā)展。 三、 關于混沌的思考 1. 混沌的特點 1) 混沌是決定論系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性，這種隨機性與我們過去所了解的隨機性現(xiàn)象，比如拋硬幣等有很大的區(qū)別。 2) 混沌對初值的敏感依賴性。在線性系統(tǒng)中，小擾動只產(chǎn)生結果的小偏差，但對混沌系統(tǒng)，則是“失之毫厘，謬以千里”。 3) 混沌不是有序，也不是簡單的無序，更不是通常意義下的有序。 2. 混沌的意義 1) 混沌的發(fā)現(xiàn)與數(shù)學史上的數(shù)學危機是不同的。數(shù)學危機是人們對于數(shù)學根基的質(zhì)疑，而混沌則是人們在看似簡單的問題中發(fā)現(xiàn)了復雜的現(xiàn)象。 2) 混沌絕不單單是有趣的數(shù)學現(xiàn)象，混沌是比一般的有序更為普遍的現(xiàn)象，它使我們對物質(zhì)世界有了更深一層的認識，為我們研究自然的復雜性開辟了一條道路，同時也引出了關于物質(zhì)世界認識論上的一些哲學思考。 四、 混沌學的應用 ，發(fā)現(xiàn)各種各樣的生物節(jié)律既非完全周期，又不可能屬于純粹隨機，它們既有與自然界周期（季節(jié)，晝夜等）協(xié)調(diào)的一面，又有著內(nèi)在的復雜性質(zhì)。 20世紀 20年代后期已經(jīng)有人用非線性電路模擬過心臟搏動。近幾年更發(fā)現(xiàn)了心律不齊等病癥與混 沌運動的聯(lián)系。 如果考察人類腦電波，對比就更為尖銳。癲癇患者發(fā)病時的腦電波呈明顯的周期性，而正常人的腦電波近乎隨機訊號。 進一步測量表明它們不是隨機的，而是接近于混沌系統(tǒng)。 雖然距離最終認清它們還很
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