公司金融第五講(全)(編輯修改稿)
2025-01-18 15:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 者年初購入 7月到期的看跌期權(quán)一份，執(zhí)行價為 80元。股票年初價格為 80元 /股，無風險年利率 6%。假如在未來半年時間里，股票價格也僅有兩種變化，或上漲 10%，或下跌 10%，則看跌期權(quán)的可能損益見下表： 股票價格下跌 10% 股票價格上漲 10% 期權(quán)的價值 8 0 避險比率 =8/（ 8872） = 也就是說投資者賣出０ .５股股票，同時貸出 ４２ .７２ 元（ ４４ ／１ .０３），其收益一定能夠復(fù)制看跌期權(quán)的可能受益。 看跌期權(quán)價值＝－０ .５ 80＋４２ .７２ =２ .７２ (元 ) 股票價格下跌 10% 股票價格上漲 10% 賣出 () 36 44 收到貸款和利息 44 44 總損益 8 0 （ 2）風險中性定價 在風險中性的世界里，投資者承擔風險不需要額外的補償，所有股票的期望收益率均為無風險利率。 承接上例：若無風險半年利率為 3%，股票價格上漲幅度為 10%，股票價格下跌幅度也為 10%，在風險中性條件下，股票上漲的概率的計算方法為： 上漲概率 x10%+下降概率 x（ 10%） =3% 上漲概率為 。 在風險中性條件下，看漲期權(quán)的期望收益為： += 則看漲期權(quán)的現(xiàn)值為： （ 1+） = 結(jié)論：在期權(quán)等價物和期權(quán)之間不存在套利的條件下，期權(quán)的估值結(jié)果與風險中性估值相一致。 （ 3）二叉樹法 歐式看漲期權(quán)價值 在以上討論中，假設(shè)未來 6個月后，股票價格的漲跌只有兩種情形，這與事實不符。如果我們將時間間隔細分，將未來 6個月分成 2時段，每個時段 3個月，并且假設(shè) 3個月后股票價格有 2種變化情形，則 6個月后股票價格就有 3種情形，若時間間隔劃分的越細， 6個月后股票價格將有越多情形。 承接上例，買入一份看漲期權(quán)，執(zhí)行價為 80元 /股，股票年初價格為 80元 /股，無風險年利率為 6%。 3個月后股票價格變化有兩種情形：上漲 10%或下跌 10%；第 6個月末后，股票價格有 100、 80和 60元三種價格。 則當前看漲期權(quán)的價值為？ 第一步：計算 6個月末的期權(quán)價值。當股票價格為 100元，看漲期權(quán)價值20元（ 10080），當股票價格低于或等于 80元，看漲期權(quán)為 0. 第二步：計算 3月后的期權(quán)價值。避險比率 =20/（ 10080） =，投資者要想構(gòu)建一個期權(quán)等價物，需購入 1股股票，同時按無風險利率借入資金 80/（ 1+%)=，由于 3月末股票上漲時，價格為88元，因此： 看漲期權(quán)價值 ==。 第三步：計算當前看漲期權(quán)價值。避險比率 =（ 8872） =股，投資者要建立一個期權(quán)等價物，需購入 ，同時借入（ ）。則當前： 看漲期權(quán)價值== 在案例中，假設(shè) 3個月末股票上漲 10%或下跌 10%與實際可能不符。事實上股票上漲或下跌有一定的概率值，借助于股票收益率標準差和股票價格之間的關(guān)系，可以計算得到股票上漲和下跌的比率。如： 1+股票上漲率 =u= （ 1） 1+股票下跌率 =d=1/u （ 2） 等式（ 1）與（ 2）中， σ表示用連續(xù)復(fù)利計算的股票年收益率標準差， e表示 ， h表示時段長度相對于1年中的比率。比如：股票年收益率標準差為 ，時段為 6個月，則帶入等式（ 1）和（ 2），股票上漲率為%，下跌率為 25%。 hes 美式看跌期權(quán)價值 相對于歐式期權(quán)而言，美式期權(quán)價值只是投資者將再持有一期期權(quán)的價值。 例如：過 1期，公司無紅利股票價格或上升 1倍，或下跌 1半，即 u=2， d=。假如股票初始價格為 20元，且無風險利率為每期 55%，執(zhí)行價格為 30元，計算該期權(quán)價值。 根據(jù)風險中性定價原理，可以求出風險中性概率 Π ，即： [2Π +（ 1Π ） ]/=1 Π = 在節(jié)點 c，股票價格超出執(zhí)行價，此時看跌期權(quán)為 0和 10元（ 3020）的期望值的現(xiàn)值，因此有： （ +） /= 在節(jié)點 B，提前執(zhí)行得到期權(quán)價值為 20元，而等待一期執(zhí)行的期權(quán)現(xiàn)值為： （ +） /= 在節(jié)點 A，有： （ +） /=。 在節(jié)點 A處，提前執(zhí)行看跌期權(quán)的價值 10元，高于等待一期的看跌期權(quán)價值。因此，應(yīng)提前執(zhí)行，等待一期不值得。 （ 4）布萊克 斯科爾斯定價公式 股票未來價值非常多，如果將時期無限細分，二叉樹的計算結(jié)果將更加精確。 看漲期權(quán)價值 =（避險比率 x股票價格） 銀行借款 其中，避險比率是正態(tài)分布的累積概率密度函數(shù)，則： 12( ) ( )rtSN d Ke N d=看漲期權(quán)價值 121l n( / ) ( )S K r tdtd d tsss++== 其中， N（ d）表示正態(tài)分布的累積概率密度函數(shù)， S表示標的股票當前的價格， r為連續(xù)復(fù)利的短期無風險利率， t為間隔期數(shù)， K為執(zhí)行價格， 為執(zhí)行價格現(xiàn)值， σ為連續(xù)復(fù)利計算的股票收益率標準差， e=， ln表示自然對數(shù)。 如果是派發(fā)紅利的歐式看漲期權(quán)，鑒于紅利的現(xiàn)值是股票價值一部分，歸股票持有人所以，因此在使用布萊克 斯科爾斯模型計算期權(quán)價值時，應(yīng)該從股價中扣除期權(quán)到期日前派發(fā)的全部紅利的現(xiàn)值。 rtKe 12( ) ( )rtSN d Ke N d=121l n( / ) ( )S K r tdtd d tsss++==看漲期權(quán)價值 （ 4）布萊克 斯科
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