20xx年新高考數(shù)列主題復(fù)習(xí)及歷年數(shù)列題總結(jié)(編輯修改稿)
2024-10-03 11:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 必定是綜合性很強(qiáng)的問題，大多以數(shù)列為考查平臺，綜合運用函數(shù)、方程、不等式、簡單數(shù)論等知識，通過運用遞推、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類整合等各種數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力和數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新的能力.2013年新課標(biāo)高考數(shù)列新題型預(yù)計會具有一定的探究性和開放性,可能出現(xiàn)數(shù)列解決實際應(yīng)用問題。題目特點：沒有給出條件，或者沒有給出足夠的條件，需要考生自己去尋找出充分條件或充要條件；沒有給出結(jié)論，或者沒有確定的結(jié)論，需要考生自己去探求結(jié)論；給出的信息比較生疏，比較新穎，或所給知識沒有學(xué)習(xí)過，需要考生自己去理解，篩選；給出一個特殊的情形或類似的問題，需要考生自己去歸納、聯(lián)想、類比；（三）高考基本題型與基本策略示例★基本題型一：運用基本量思想解決等差、等比數(shù)列的求項求和問題例. （2011四川文20）已知是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，為它的前n項和．（Ⅰ）當(dāng)、成等差數(shù)列時，求q的值；（Ⅱ）當(dāng)、成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)k，、也成等差數(shù)列．解：（Ⅰ）由已知，∴，．∴當(dāng)、成等差數(shù)列時，即．化簡得．解得．（Ⅱ）若，則的每項，此時、顯然成等差數(shù)列．若，由、成等差數(shù)列可得，即．整理得．因此，．說明：此題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及基本量運算能力和分析問題、解決問題的能力．變式：（1）（2011遼寧理17） 已知等差數(shù)列{an}滿足.①求數(shù)列的通項公式；②求數(shù)列的前n項和．說明：此題是典型的運用基本量思想求數(shù)列通項的問題，列出關(guān)于的方程兩個二元一次方程構(gòu)成的方程組，通過加減消元或帶入消元接出的值；數(shù)列是一個差比數(shù)列，錯位相減法求和變式：（2010全國卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)4）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，=5，=10，則說明：表面看這是一道可以用基本量思想解決的問題，但在實際操作過程中發(fā)現(xiàn)，使用基本量列出方程組計算量較大，要得到結(jié)果還需借助指數(shù)冪的運算性質(zhì)，易出錯.如果聯(lián)想等比數(shù)列性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)，，運用性質(zhì)可以很快求出基本策略：等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，它們的通項公式、前n項和的公式中均含有兩個基本量，要注意以下兩個方面：基本量思想在解決問題時比較程序化，認(rèn)真審題選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ顷P(guān)鍵，有兩個性質(zhì)有時可以簡化計算①在等差數(shù)列中，若則；在等比數(shù)列中若則；②等差中項和等比中項。等差、等比數(shù)列的求和，需選擇恰當(dāng)?shù)那蠛凸剑缺葦?shù)列還需考慮q=1和q≠1.★基本題型二：與遞推有關(guān)的數(shù)列問題例.（2011四川理8）數(shù)列的首項為，為等差數(shù)列且．若則，則_______.說明：由已知知由疊加法一般地，使用累加法求通項的遞推形式為，使用累乘法求通項的遞推形式為.變式：（2010新課標(biāo)全國理科卷17）設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.說明：此題為一道典型的運用遞推數(shù)列性質(zhì)求項求和的問題，用到我們熟知的累加法即；第二問中，則采用分組求和的方法求和，在分組求和中的第一個分組則采用錯位相減法求和，此題主要考察學(xué)生對基本方法的熟悉程度.基本策略：遞推數(shù)列的求項求和問題一般以遞推公式為背景，通過常見的累加、累乘、構(gòu)造等方法對遞推公式進(jìn)行變形，最終轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的定義式“差式”“商式”進(jìn)行求解，在構(gòu)造過程中會用到多種構(gòu)造方法，但最后的目的還是將未知的數(shù)列轉(zhuǎn)化為我們的基本數(shù)列進(jìn)行求解. 與的關(guān)系式：要求每一個學(xué)生都掌握并會運用.幾種基本的遞推模型人人掌握，其它類型的遞推，由于類型較多，根據(jù)新課標(biāo)要求及歷年高考中考查的問題，一般要求不高，復(fù)習(xí)時建議不同層次的學(xué)校根據(jù)學(xué)生特點進(jìn)行復(fù)習(xí)，對于變形巧妙，難度較大的問題，可視學(xué)生情況選講.幾種常見的數(shù)列求和人人掌握，學(xué)會分析數(shù)列的通項公式的特征去選擇恰當(dāng)?shù)那蠛头椒?★ 基本題型三：數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等知識的綜合問題例．(2011江蘇13)設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則的最小值是________.說明：有等差又有等比，基本量在哪兒，注意到已知，所以為等差的基本量，故先用表示、則已知條件變?yōu)椋僮⒁獾浇Y(jié)論為求的最小值，所以、應(yīng)盡可能的小，故，可得，所以，，.此題是數(shù)列與不等式的綜合題，要想快速求解需要學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，甚至解題過程還需要直覺的成份，顯然死記硬背式的學(xué)習(xí)對解決這樣的問題是行不通的的，因此在數(shù)列教學(xué)中，我們更要關(guān)注學(xué)生對數(shù)列的深入理解，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育.例.（2010浙江15）設(shè),為實數(shù)，首項為，公差為的等差數(shù)列的前n項和為,滿足，則的取值范圍是 說明：化歸基本量后看作：關(guān)于的一元二次方程必有解，所以此題考察數(shù)列與方程的綜合題，需要學(xué)生對二元方程的主元變換有著深入理解.例.（2011廣東20）設(shè)b0，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n,說明：此題考察了遞推公式求通項問題、數(shù)列與不等式綜合，分析法、基本不等式證明不等式恒成立問題.變式：（2012四川理22）已知為正實數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點,設(shè)為該拋物線在點處的切線在軸上的截距.(Ⅰ)用和表示。(Ⅱ)求對所有都有成立的的最小值。(Ⅲ)當(dāng)時,比較與的大小,并說明理由.說明：此題屬于高檔題，難度大，主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識；考查了
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