【文章內(nèi)容簡介】 UA UNIVERSITY m ? 非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 ? 應(yīng)用舉例－ 例題 2 解： O處的動(dòng)坐標(biāo)系 Ox180。y180。 牽連慣性力為 aF m??Ie 2． 擺球的相對運(yùn)動(dòng)為繞 O點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)：采用弧坐標(biāo) ， 在運(yùn)動(dòng)軌跡的切線軸上建立相對運(yùn)動(dòng)微分方程 x180。 y180。 O 因?yàn)閯?dòng)系以勻加速度作平移 ， 所以擺球上只有牽連慣性力 ， 而沒有科氏慣性力 。 TSINGHUA UNIVERSITY ? 非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 ? 應(yīng)用舉例－ 例題 2 ?? c o ss in mamgsm ???????? c o ss in mamgml ?????1c o s,s in ?? ???lalg ?? ????x180。 y180。 O ma mg 2． 擺球的相對運(yùn)動(dòng)為繞 O點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)： 采用弧坐標(biāo) ，在運(yùn)動(dòng)軌跡的切線軸上建立相對運(yùn)動(dòng)微分方程 或者利用 s=lθ 這一方程為非線性微分方程 。 3． 利用微幅擺動(dòng)時(shí) θ很小的條件 TSINGHUA UNIVERSITY ? 非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 ? 應(yīng)用舉例－ 例題 2 3． 利用微幅擺動(dòng)時(shí) θ很小的條件 lalg ?? ????此為強(qiáng)迫振動(dòng)方程 ， 與例題 1相比 ，擺振動(dòng)的周期和頻率都沒有變化 ，只是通解由 )s in ( ??? ?? tA n 這表明當(dāng)車以勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí) ， 擺球并不是在最底點(diǎn)附近作微擺動(dòng) ， 而是在 ?0附近擺動(dòng) 。 也就是說微分方程的非齊次項(xiàng) ， 只改變了擺球的振動(dòng)中心位置 ， 而對系統(tǒng)本身的振動(dòng)規(guī)律沒有影響 。 0s in ( ) + s in ( )nnaA t A tg? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?x180。 y180。 O ma mg TSINGHUA UNIVERSITY ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) 返回 第 16章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) TSINGHUA UNIVERSITY ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) 物體在某一位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng) ， 這種運(yùn)動(dòng)稱為機(jī)械振動(dòng) ，簡稱振動(dòng) 。 常見的振動(dòng)有鐘擺的運(yùn)動(dòng) 、 汽缸中活塞的運(yùn)動(dòng)等 。振動(dòng)在許多情形下是有害的 ， 但若能掌握其規(guī)律 ， 消其弊揚(yáng)其利 ， 則能使其更好的為人類服務(wù) 。 本節(jié)以物理學(xué)中牛頓動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ) ， 研究單自由度系統(tǒng)的機(jī)械振動(dòng) ， 重點(diǎn)是如何將單自由度系統(tǒng)簡化為等效的質(zhì)量 — 彈簧系統(tǒng) （ 即彈簧振子 ） ， 其要點(diǎn)是如何確定質(zhì)量 — 彈簧系統(tǒng)中的等效質(zhì)量和彈簧的等效剛度 ， 為今后繼續(xù)研究機(jī)械振動(dòng)奠定基礎(chǔ) 。 TSINGHUA UNIVERSITY ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) TSINGHUA UNIVERSITY ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) TSINGHUA UNIVERSITY ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 質(zhì)量塊受初始擾動(dòng) ， 僅在恢復(fù)力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)稱為自由振動(dòng) (free vibration)。 考察圖中所示之彈簧振子 ， 設(shè)質(zhì)量塊的質(zhì)量為 m， 彈簧的剛度為 k， 由牛頓定律 kxt xm ??22dd令 mkn ?2?0dd 222 ?? xt x n?彈簧振子的無阻尼自由振動(dòng) m TSINGHUA UNIVERSITY 0dd 222 ?? xt x n?此式稱為無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 。 其解為 )s in ( ?? ?? tAx n自由振動(dòng)的固有圓頻率 mkn ??A為自由振動(dòng)的振幅； ?為初相位 。 A與 ?均由初始條件確定 。 自由振動(dòng)的周期 nT ??2?m ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的無阻尼自由振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY 振動(dòng)中的阻力 ,習(xí)慣上稱為阻尼 。 這里僅考慮粘性阻尼 (viscous damping)， 粘性阻尼的阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度成正比 ， 阻力的方向與速度矢量的方向相反 ， 即 vF c??c其中比例常數(shù) c稱為粘性阻尼系數(shù) (coefficient of vicous damping)。 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY vF c??c 圖中所示為彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng)的力學(xué)模型 ， 根據(jù)牛頓定律 txckxtxmdddd22 ???m 2?0dd2dd 222 ??? xtxnt x n?02 22 ??? nn ???這一方程稱為有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 ， 其特征方程為 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY 02 22 ??? nn ???對于不同的 n值 ， 特征方程的解有三種不同形式 ， 相應(yīng)的微分方程的解也有三種形式： nn ??? 弱阻尼狀態(tài) （ 或欠阻尼狀態(tài) ） inn 222,1 ???? ???有阻尼自由振動(dòng)微分方程的解為 )s in ( 22 ?? ??? ? tnAex nnt? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng) 特征方程的解為一對共軛復(fù)根 TSINGHUA UNIVERSITY )s in ( 22 ?? ??? ? tnAex nnt有阻尼自由振動(dòng)微分方程的解為 A和 ?為 積分常數(shù) ， 由初始條件確定 。 此時(shí)振子的運(yùn)動(dòng)是一種振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的振動(dòng) 。 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY )s in ( 22 ?? ??? ? tnAex nntntA ?e相鄰的兩個(gè)振幅之比稱為減縮系數(shù) ， ddmm ntTtnntmmAAAA eee1??? ????)(? 振幅的包絡(luò)線的表達(dá)式為 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY 相鄰的兩個(gè)振幅之比稱為減縮系數(shù) ， ddmm ntTtnntmmAAAA eee1??? ????)(?為阻尼振動(dòng)的周期 。 2222nT ndd ??? ????為應(yīng)用方便 ， 常引入對數(shù)減縮率 ， dmm nTAAΛ ???)ln (1? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY 02 22 ??? nn ???對于不同的 n值 ， 特征方程的解有三種不同形式 ， 相應(yīng)的微分方程的解也有三種形式： nn ??? 強(qiáng)阻尼狀態(tài) 特征方程的解為 222,1 nnn ?? ????? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY nn ??? 強(qiáng)阻尼狀態(tài) 特征方程的解為 有阻尼自由振動(dòng)微分方程的解為 222,1 nnn ?? ????tt CCx 21 ee 21 ?? ??C1和 C2為積分常數(shù) ， 由初始條件決定 。 強(qiáng)阻尼狀態(tài)下 ， 振子 已不能振動(dòng) ， 系統(tǒng) 將緩慢回到平衡狀態(tài) 。 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY 02 22 ??? nn ???對于不同的 n值 ， 特征方程的解有三種不同形式 ， 相應(yīng)的微分方程的解也有三種形式： nn ??? 臨界阻尼狀態(tài) 特征方程的解為 有阻尼自由振動(dòng)微分方程的解為 臨界阻尼狀態(tài)下 ， 振子也 不能振動(dòng) ， 系統(tǒng) 將較快回到平衡狀態(tài) 。 n??? 21 ??12e ( )ntx C C t???? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY 受迫振動(dòng)是系統(tǒng)在外界激勵(lì)下所產(chǎn)生的振動(dòng) 。 圖中所示為受迫振動(dòng)的力學(xué)模型 。系統(tǒng)在激振力 F作用下發(fā)生振動(dòng) 。 外激振力一般為時(shí)間的函數(shù) ， 最簡單的形式是簡諧激振力： tH ?sin?F? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的受迫振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY 外激振力一般為時(shí)間的函數(shù) ， 最簡單的形式是簡諧激振力： tH ?sin?F對質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律 ， 有 tHtxckxt xm ?s indddd 22 ????thxtxntx n ?? s indd2dd 22 ??? Hh m?? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的受迫振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY thxtxntx n ?? s indd2dd 22 ???這一方程稱為有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 ， 若其中第二項(xiàng) （ 即阻尼項(xiàng) ） 為零 ， 則為無阻尼受迫振動(dòng) 。 方程的通解為 22e s i n ( ) s i n ( )nt nx A n t B t? ? ? ??? ? ? ? ?A和 ?為 積分常數(shù) ， 由初始條件確定 。 B 和 ψ由設(shè)定形式為 )s in ( ?? ?? tBx的特解求出 。 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的受迫振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY 22e s i n ( ) s i n ( )nt nx A n t B t? ? ? ??? ? ? ? ? 有阻尼受迫振動(dòng)的解由兩部分組成 ， 第一部分是衰減振動(dòng) ， 第二部分是受迫振動(dòng) 。 通常將第一部分稱為過渡過程或瞬態(tài)過程 ， 第二部分稱為穩(wěn)態(tài)過程 ， 穩(wěn)態(tài)過程是研究的重點(diǎn) 。 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧振子的受迫振動(dòng) TSINGHUA UNIVERSITY thxtxntx n ?? s indd2dd 22 ???)s in ( ?? ?? tBx? ?? ?2122222 4 ??? nhBn ???222ta n?????? nn 這 表明 ， 在穩(wěn)定狀態(tài)下 ， 受迫振動(dòng)的一個(gè)重要特征是：振幅的取值與強(qiáng)迫力的頻率有關(guān) 。 將式 B的表達(dá)式對 ω求一次導(dǎo)數(shù)并令其等于零 ， 可以發(fā)現(xiàn)