【正文】 效質(zhì)量和等效剛度 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 并聯(lián)和串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) 并聯(lián)彈簧和串聯(lián)彈簧都可以簡(jiǎn)化為彈簧－質(zhì)量系統(tǒng) TSINGHUA UNIVERSITY 并聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) 設(shè)物塊在重力作用下作平移 ， 其靜變形為 ?st， 兩個(gè)彈簧分別受力 F1和 F2 ， 因?yàn)閮蓮椈勺冃瘟肯嗤? ， 所以有 st22st11 ?? kFkF ?? ,平衡時(shí)應(yīng)有 tkkFFmg s2121 )( ?????? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 TSINGHUA UNIVERSITY tkkFFmg s2121 )( ?????令 21eq kkk ??steq ?kmg ?keq為并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù) 02 ?? xx n???mkkmkn21eq ????系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程為 系統(tǒng)的固有頻率為 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 并聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY 02 ?? xx n???mkkmkn 21eq ????系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程為 系統(tǒng)的固有頻率為 這一結(jié)果表明 ， 兩個(gè)彈簧并聯(lián)的系統(tǒng) ， 相當(dāng)于一個(gè)等效彈簧系統(tǒng) ， 等效彈簧的等效剛度等于原兩個(gè)彈簧的剛度和 。 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 并聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY 每個(gè)彈簧的受力均為 mg， 故兩個(gè)彈簧的靜伸長(zhǎng)量分別為 s t 1 s t 212,m g m gkk????)11(212st1stst kkmg ???? ??? 對(duì)于等效彈簧系統(tǒng) ， steq ?kmg ?? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 單自由度系統(tǒng)簡(jiǎn)化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 等效質(zhì)量和等效剛度 串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY )11(212st1stst kkmg ???? ???steq ?kmg ? steqmgk? ?keq為串聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù) 2121eq kkkkk??21eq111kkk ??? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY 這一結(jié)果表明 ， 兩個(gè)彈簧串聯(lián)的系統(tǒng) ， 相當(dāng)于一個(gè)等效彈簧系統(tǒng) 。 02 ?? xx n???系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程為 系統(tǒng)的固有頻率為 )( 2121kkmkkmk eqn ????? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY 擺振系統(tǒng) ， 桿自重不計(jì) ， 球質(zhì)量為 m。 d、 l 為已知 。 現(xiàn)在 ， 應(yīng)用物理學(xué)中關(guān)于簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)的動(dòng)能定理 ， 建立與剛體系統(tǒng)等效的單自由度相當(dāng)系統(tǒng)的等效質(zhì)量 (equivalent mass)與等效剛度系數(shù) 。 以系統(tǒng)平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn) ， 取 x軸如圖所示 。 系統(tǒng)為保守系統(tǒng) ， 重物在任意坐標(biāo) x處 ， 系統(tǒng)動(dòng)能 22 )(2121 rxJxmT ?? ??系統(tǒng)勢(shì)能 2st22st2st21)(2121)(21kxxmgkkxm g xkxkV???????????? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 剛體系統(tǒng) 的 等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY 系統(tǒng)動(dòng)能 22 )(2121rxJxmT ?? ??系統(tǒng)勢(shì)能 212V kx?不計(jì)摩擦 ， 系統(tǒng)機(jī)械能守恒 。 剛體系統(tǒng)的等效質(zhì)量與等效剛度分別為 2eq rJmm ??eqkk?上述運(yùn)動(dòng)微分 方程也可以 寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 02 2 ??? xJmr krx?? 2n 0xx???? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 剛體系統(tǒng) 的 等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY 02 2 ??? xJmr krx?? 2n 0xx???系統(tǒng)的固有頻率 Jmrkrn ?? 2?? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 剛體系統(tǒng) 的 等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY 通過(guò)以上分析 ， 可以看出 ， 只要能寫出單自由度 等效系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 ， 即可順利求出系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度系數(shù) 。 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 返回 第 16章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性 ? 牽連慣性力與科氏慣性力 ? 能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率中 的應(yīng)用 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性 在解決動(dòng)力學(xué)第二類問(wèn)題時(shí)可用積分法求解 ， 即求運(yùn)動(dòng)微分方程的解 。 目前我們僅討論可求出解析解的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 。 正確的寫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件此時(shí)就顯得極為重要 。 例如重力場(chǎng)中的單擺 ， 若在平衡位置附近由靜止無(wú)初速釋放 ， 則擺作微幅振動(dòng)；若初速度非常大 ， 擺的偏角很大 ， 擺可作圓周運(yùn)動(dòng) 。 ? 結(jié)論與討論 ? 確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 牽連慣性力與科氏慣性力 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 牽連慣性力與科氏慣性力 當(dāng)我們晃動(dòng)栓在繩上的小球 ， 我們會(huì)明顯地感到手上受到向外的拉力；當(dāng)我們坐在轉(zhuǎn)彎的汽車上 ， 我們會(huì)感受到一種試圖讓我們沖出車廂的力量； ......；這樣的例子在生活中舉不勝舉 。 這些力均表示為 aF m??I牽連慣性力和科氏慣性力是慣性力家族中的成員 ， 它們分別與牽連加速度 、 科氏加速度有關(guān) 。 如果在圖形上慣性力已與加速度方向相反 ， 則不必再另加負(fù)號(hào) 。 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng) 固有頻率中的應(yīng)用 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng) 固有頻率中的應(yīng)用 本章的分析結(jié)果表明 ， 只要求出振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率 ， 即可確定振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程以及相應(yīng)的通解 。 當(dāng)單自由度系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí) ， 均可簡(jiǎn)化為圖示彈簧－質(zhì)量系統(tǒng) ， 它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 )s in ( ?? ?? tAx n因而任意時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)能 (kiic energy)為 )(c o s2121 2222 ??? ??? tAmmvT nn以系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn) ， 則系統(tǒng)的勢(shì)能 (potential energy)為 m g xxkV ???? ])[(21 st22st ??TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng) 固有頻率中的應(yīng)用 )(c o s2121 2222 ??? ??? tAmmvT nnm g xxkV ???? ])[(21 st22st ??注意到靜平衡時(shí) mgk ?st?)(s in2121 222 ?? ??? tkAkxV n當(dāng)重物到達(dá)振動(dòng)中心時(shí) ， 勢(shì)能為零 ， 動(dòng)能最大為 22m a x 21 AmT n?? 當(dāng)重物到達(dá)偏離中心的極端位置時(shí) ， 其動(dòng)能為零 ， 勢(shì)能最大為 2max 21 kAV ?于是 ， 有 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng) 固有頻率中的應(yīng)用 22m a x 21 AmT n?? 2max 21 kAV ?由機(jī)械能守恒定律 ， 應(yīng)有 maxmax VT ?2 2 21122nm A k A? ＝由此即可得到系統(tǒng)的固有頻率 mkn ??這 與 前面所得到的結(jié)果完全一致 。矩形槽內(nèi)安置物塊 彈簧系統(tǒng)，物塊 P的質(zhì)量為 m， 彈簧的剛度系數(shù)為 k 。 求 ： 物塊的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程； 物塊對(duì)槽壁的側(cè)壓力。 y180。 vr aen aIC 解： 非慣性參考系－ O x180。 動(dòng)點(diǎn)－物塊 P 分析相對(duì)速度和各種加速度： 相對(duì)速度 vr － 沿著 x180。 FN －槽對(duì)物塊的約束力 FIC －科氏力 FIen －法向牽連慣性力 FIen＝ m ?2 x180。 y180。 vr aen aIC TSINGHUA UNIVERSITY 解： 建立質(zhì)點(diǎn) (物塊 )的相對(duì) 運(yùn)動(dòng)微分方程： xmxkFFxm ????????? 2Ie 2 ???ICN FFym ?????0)2( 2 ????? xmkx ???xmF ??? ?2N? 參考性例題 ? 例題 1 FIen F FN FIC ? k k P x180。 O x180。＝ 0處的平衡位置 為穩(wěn)定平衡位置。＝ 0處附近作 自由振動(dòng)，物塊在 x180。 mk22 ??? 當(dāng) mk22 ?? 牽連慣性力等于彈簧的彈性恢復(fù)力 物塊在 x180。 ? 參考性例題 ? 例題 1 TSINGHUA UNIVERSITY 返回 返回總目錄