【文章內(nèi)容簡介】 ： （）（頻譜密度）其中：解：先求g(t)的頻譜密度G（ω）將此式代入式（）得： （）由式（）可見，周期信號的頻譜密度是一沖激序列。沖激的間隔為與周期T成反比；沖激強(qiáng)度的分布規(guī)律決定于單個脈沖g(t)的頻譜密度G（ω）；其主要分量集中在ω=0到之間，即在頻率f=0到之間。（t）的頻譜密度令：δT(t)214。δT(ω)；則據(jù)式（）有：2．8．4符號函數(shù)的付立葉變換符號函數(shù)Sgn(t)定義為： 1 t0Sgn(t)= 0 t=0 —1 t0 為了求其付立葉變換，可將Sgn(t)表示為：取此式兩邊的付立葉變換：即：（）令：f(t)為實能量信號，且f(t)214。F(ω)式（）稱作帕色瓦爾定理通常令：稱為f（t）的能量譜密度。由此有：由式（）可看出E(ω)是單位帶寬中的信號能量與角頻率ω的關(guān)系，故稱其為能量譜密度。由于E(ω)存在于（—∞ω∞）故稱為雙邊能量譜密度。不艱看出對于實信號E(ω)是ω的偶函數(shù)。在通信技術(shù)中常用到單邊能量譜密度的概念G（ω），其定義為： 2E（ω） ω0G（ω）= ()2 ω0 令功率信號f(t)的平均功率為其中—表示時間平均 T→∞取f(t)的短截：令fT(t)214。FT(ω)顯然fT(t)為能量信號，其能量為： （根據(jù)帕色瓦爾定理）f(t)的平均功率可表示為：令： （）如果此極限在，則稱其為f(t)的功率譜密度。由此得到： （）由式（）可見，P(ω)表示單位帶寬中f(t)的平均功率與ω的關(guān)系，故稱其為f(t)的功率譜密度。由于P（ω）存在于（∞ω∞），故稱為雙邊功率譜密度。對于實信號P（ω）是ω的偶函數(shù)。因此對于實信號還使用術(shù)語單邊功率譜密度。其定義為： 2P（ω） ω0B（ω）= ()0 ω0信號f(t)的功率Pf可表示為： （） 信號帶寬是指信號的能量或功率的主要部分集中的頻率范圍。若信號的主要能量或功率集中在零頻率附近則稱這種信號為基帶信號。若信號的能量或功率集中在某一載波頻率附近，則稱此類信號為頻帶信號。這里介紹幾種常見的定義信號帶寬的方法：1）。設(shè)信號帶寬為B赫，則根據(jù)所占的百分?jǐn)?shù)可列出等式：（或 ） （）(或95%，99% ) （） (對于功率信號)2）若E(ω)或P（ω）在0頻率處最大，則可以將E（ω）或P（ω）值下降到3db（半功率點）的頻率定為信號帶寬。即： 3） （） ：令f1(t)，f2(t)為能量信號，一般情況可以是時間的復(fù)函數(shù)。稱： （）為f1(t)和f2(t)的互相關(guān)函數(shù)。令f1(t)，f2(t)為功率信號，則稱： ()T→∞為f1(t)和f2(t)的互相關(guān)函數(shù)。若f1(t)和f2(t)為周期信號（周期為T），則有： （）若若f1(t)=f2(t)=f(t)，則稱 （）為f(t)的自相關(guān)函數(shù)。對于能量信號，自相關(guān)函數(shù)的定義為： （）對于實信號，上述公式中去掉共軛符號*。舊一化相關(guān)函數(shù)的定義為： （）1） R12(τ)R21(τ)2） |r12(τ)|≤13） R（τ）=R*（τ）4） |R（τ）≤R（0）5） 能量信號的能量E=R（0），功率信號的平均功率P=R（0）6）周期信號的自相關(guān)函數(shù)是周期函數(shù)，且周期與信號周期相等，下面我們對于實信號證明此性質(zhì)。（對于復(fù)信號用類似方法也可證明）令f(t)為實周期信號，周期等于T，可將其展為付立葉級數(shù)： （∞t∞） 其中：f(t)的自相關(guān)函數(shù)為：以及對實信號有：Fn=Fn可得到： ()由式（）可看出，R(τ)是周期為T的周期函數(shù)。（注意到：）（功率）譜密度的關(guān)系1） 能量信號的自相關(guān)函數(shù)與其能量譜密度互為付立葉變換，即： ()證：令f(t)為能量信號，且：f(t)214。F（ω） 根據(jù)定義有：2） 功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度互為付立葉變換。即： （）證：令f(t)為功率信號，取其短截： 顯然fT(t)是能量信號，令其自相關(guān)函數(shù)為RT(τ)則有：據(jù)定義f(t)的自相關(guān)函數(shù)為：T→∞已知：由此有：T→∞ T→∞利用式（）和式（）可根據(jù)已知的相關(guān)函數(shù)求出相應(yīng)的能量譜密度或功率譜密度。例：解：由式（）有：則：定義：令f1(t)和f2(t)為能量信號，且它們的互相關(guān)函數(shù)為R12（τ），稱R12（τ）的付立葉變換為f1(t)和f2(t)的互能量譜密度，以E12（ω）表示之。即： ()性質(zhì)：令 ， 則有： （）證：定義：令f2(t)為功率信號，且它們的互相關(guān)函數(shù)為R12（τ），稱R12（τ）的付立葉變換為f1(t)和f2(t)的互功率譜密度，以R12（ω）表示之。即： （） 令有函數(shù)f1(t)和f2(t)，稱積分為f1(t)和f2(t)的卷積積分，簡稱卷積，通常以f1(t)*f2(t)表示。即：* （）式中α為積分變量，由于定積分值與積分變量符號無關(guān)，所以式（）中的積分變量可用任何符號表示，例如：τ，β，λ等。 1）交換律：f1(t) Vf2(t)= f2(t) V f1(t) 2) 分配律： f1(t) V [f2(t)+f3(t)]= f1(t) Vf2(t)+ f1(t) V f3(t) 3）結(jié)合律：f1(t) V [f2(t) Vf3(t)]=[ f1(t) Vf2(t)] V f3(t) 4）卷積的微分：= fi（t）Vf2(t)= f1(t) Vfi(t)1)時域卷積定理證畢。2）頻域卷積定理令： 則： （）證：證畢。 由定義和 的性質(zhì)可得到下列各式：相似地，在頻域中有類似的關(guān)系：卷積定理和式（）到式（）在信號分析中很有用。（濾波） 通信系統(tǒng)由許多部份組成，例如，天線，放大器，信道和調(diào)制解調(diào)器等。其中一些部份可看作是線性系統(tǒng)。例如，信道，放大器，濾波器等。本節(jié)研究確定信號通過線性系統(tǒng)。并限于研究具有一個輸入端和一個輸出端的系統(tǒng)。 x(t)→L→ y(t)一個輸入信號x(t)，對應(yīng)有一個確定的輸出信號y(t).將x(t)變換為y(t)的運(yùn)算，數(shù)學(xué)上稱為算子，以L表示。則可表示為： y(t)=L[x(t)] ()令：y1(t)=L[x1(t)] i=1,2,3…..若系統(tǒng)算子滿足以下關(guān)系：其中：ci為任意常數(shù)， i=1,2,3…..則稱此算子為線性算子，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，式（）稱為疊加原理。其表述為：系統(tǒng)輸入線性和的響應(yīng)等于響應(yīng)的線性和。 如前所述，任意信號x(t)可以表示為：對于線性算子，有：令：L[δ（tτ）]=h(t0τ), 稱作系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，得到： （）若系統(tǒng)滿足L[δ（tτ）]=h(tτ)， τ則稱系統(tǒng)為時不變線性系統(tǒng)或稱恒參線性系統(tǒng)。本節(jié)僅研究時不變（恒參）線性系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為： h(t)=L[δ(t)] ()由此對于恒參線性系統(tǒng)有： ()或?qū)憺椋簓(t)=x(t)Vh(t) ()式()是恒參線性系統(tǒng)時域的重要關(guān)系式，它通過系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)將系統(tǒng)的輸入和輸出聯(lián)系起來。 通過時域卷積定理，可將輸入與輸出在頻域的關(guān)系表示出。令：據(jù)式（）有：由此得：y(ω)=x(ω)H(ω) ()式（）是系統(tǒng)輸入輸出的頻域關(guān)系式。即輸出的頻譜密度等于輸入的頻譜密度乘以H（ω）。H（ω）是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的付立葉變換，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，一般它是ω的復(fù)函數(shù)，可表示為： （）稱作系統(tǒng)的幅度頻率特性，簡稱幅頻特性；φ（ω）稱作相位 頻率特性，簡稱相頻特性。它們反映正弦信號通過線性系統(tǒng)后幅度和相位的變化與頻率的關(guān)系。 信號通過線性系統(tǒng)會引起變化。從傳送信息的角度考慮，重要的是信號波形的變化。我們認(rèn)為信號波形大小和時延的變化不影響信號所帶的信息，因此我們定義通過線性系統(tǒng)信號不失真的條件為：y(t)=kx(tτ) （）