【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ： （）（頻譜密度）其中：解：先求g(t)的頻譜密度G（ω）將此式代入式（）得： （）由式（）可見，周期信號(hào)的頻譜密度是一沖激序列。沖激的間隔為與周期T成反比；沖激強(qiáng)度的分布規(guī)律決定于單個(gè)脈沖g(t)的頻譜密度G（ω）；其主要分量集中在ω=0到之間，即在頻率f=0到之間。（t）的頻譜密度令：δT(t)214。δT(ω)；則據(jù)式（）有：2．8．4符號(hào)函數(shù)的付立葉變換符號(hào)函數(shù)Sgn(t)定義為： 1 t0Sgn(t)= 0 t=0 —1 t0 為了求其付立葉變換，可將Sgn(t)表示為：取此式兩邊的付立葉變換：即：（）令：f(t)為實(shí)能量信號(hào)，且f(t)214。F(ω)式（）稱作帕色瓦爾定理通常令：稱為f（t）的能量譜密度。由此有：由式（）可看出E(ω)是單位帶寬中的信號(hào)能量與角頻率ω的關(guān)系，故稱其為能量譜密度。由于E(ω)存在于（—∞ω∞）故稱為雙邊能量譜密度。不艱看出對(duì)于實(shí)信號(hào)E(ω)是ω的偶函數(shù)。在通信技術(shù)中常用到單邊能量譜密度的概念G（ω），其定義為： 2E（ω） ω0G（ω）= ()2 ω0 令功率信號(hào)f(t)的平均功率為其中—表示時(shí)間平均 T→∞取f(t)的短截：令fT(t)214。FT(ω)顯然fT(t)為能量信號(hào)，其能量為： （根據(jù)帕色瓦爾定理）f(t)的平均功率可表示為：令： （）如果此極限在，則稱其為f(t)的功率譜密度。由此得到： （）由式（）可見，P(ω)表示單位帶寬中f(t)的平均功率與ω的關(guān)系，故稱其為f(t)的功率譜密度。由于P（ω）存在于（∞ω∞），故稱為雙邊功率譜密度。對(duì)于實(shí)信號(hào)P（ω）是ω的偶函數(shù)。因此對(duì)于實(shí)信號(hào)還使用術(shù)語(yǔ)單邊功率譜密度。其定義為： 2P（ω） ω0B（ω）= ()0 ω0信號(hào)f(t)的功率Pf可表示為： （） 信號(hào)帶寬是指信號(hào)的能量或功率的主要部分集中的頻率范圍。若信號(hào)的主要能量或功率集中在零頻率附近則稱這種信號(hào)為基帶信號(hào)。若信號(hào)的能量或功率集中在某一載波頻率附近，則稱此類信號(hào)為頻帶信號(hào)。這里介紹幾種常見的定義信號(hào)帶寬的方法：1）。設(shè)信號(hào)帶寬為B赫，則根據(jù)所占的百分?jǐn)?shù)可列出等式：（或 ） （）(或95%，99% ) （） (對(duì)于功率信號(hào))2）若E(ω)或P（ω）在0頻率處最大，則可以將E（ω）或P（ω）值下降到3db（半功率點(diǎn)）的頻率定為信號(hào)帶寬。即： 3） （） ：令f1(t)，f2(t)為能量信號(hào)，一般情況可以是時(shí)間的復(fù)函數(shù)。稱： （）為f1(t)和f2(t)的互相關(guān)函數(shù)。令f1(t)，f2(t)為功率信號(hào)，則稱： ()T→∞為f1(t)和f2(t)的互相關(guān)函數(shù)。若f1(t)和f2(t)為周期信號(hào)（周期為T），則有： （）若若f1(t)=f2(t)=f(t)，則稱 （）為f(t)的自相關(guān)函數(shù)。對(duì)于能量信號(hào)，自相關(guān)函數(shù)的定義為： （）對(duì)于實(shí)信號(hào)，上述公式中去掉共軛符號(hào)*。舊一化相關(guān)函數(shù)的定義為： （）1） R12(τ)R21(τ)2） |r12(τ)|≤13） R（τ）=R*（τ）4） |R（τ）≤R（0）5） 能量信號(hào)的能量E=R（0），功率信號(hào)的平均功率P=R（0）6）周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是周期函數(shù)，且周期與信號(hào)周期相等，下面我們對(duì)于實(shí)信號(hào)證明此性質(zhì)。（對(duì)于復(fù)信號(hào)用類似方法也可證明）令f(t)為實(shí)周期信號(hào)，周期等于T，可將其展為付立葉級(jí)數(shù)： （∞t∞） 其中：f(t)的自相關(guān)函數(shù)為：以及對(duì)實(shí)信號(hào)有：Fn=Fn可得到： ()由式（）可看出，R(τ)是周期為T的周期函數(shù)。（注意到：）（功率）譜密度的關(guān)系1） 能量信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其能量譜密度互為付立葉變換，即： ()證：令f(t)為能量信號(hào)，且：f(t)214。F（ω） 根據(jù)定義有：2） 功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度互為付立葉變換。即： （）證：令f(t)為功率信號(hào)，取其短截： 顯然fT(t)是能量信號(hào)，令其自相關(guān)函數(shù)為RT(τ)則有：據(jù)定義f(t)的自相關(guān)函數(shù)為：T→∞已知：由此有：T→∞ T→∞利用式（）和式（）可根據(jù)已知的相關(guān)函數(shù)求出相應(yīng)的能量譜密度或功率譜密度。例：解：由式（）有：則：定義：令f1(t)和f2(t)為能量信號(hào)，且它們的互相關(guān)函數(shù)為R12（τ），稱R12（τ）的付立葉變換為f1(t)和f2(t)的互能量譜密度，以E12（ω）表示之。即： ()性質(zhì)：令 ， 則有： （）證：定義：令f2(t)為功率信號(hào)，且它們的互相關(guān)函數(shù)為R12（τ），稱R12（τ）的付立葉變換為f1(t)和f2(t)的互功率譜密度，以R12（ω）表示之。即： （） 令有函數(shù)f1(t)和f2(t)，稱積分為f1(t)和f2(t)的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積，通常以f1(t)*f2(t)表示。即：* （）式中α為積分變量，由于定積分值與積分變量符號(hào)無(wú)關(guān)，所以式（）中的積分變量可用任何符號(hào)表示，例如：τ，β，λ等。 1）交換律：f1(t) Vf2(t)= f2(t) V f1(t) 2) 分配律： f1(t) V [f2(t)+f3(t)]= f1(t) Vf2(t)+ f1(t) V f3(t) 3）結(jié)合律：f1(t) V [f2(t) Vf3(t)]=[ f1(t) Vf2(t)] V f3(t) 4）卷積的微分：= fi（t）Vf2(t)= f1(t) Vfi(t)1)時(shí)域卷積定理證畢。2）頻域卷積定理令： 則： （）證：證畢。 由定義和 的性質(zhì)可得到下列各式：相似地，在頻域中有類似的關(guān)系：卷積定理和式（）到式（）在信號(hào)分析中很有用。（濾波） 通信系統(tǒng)由許多部份組成，例如，天線，放大器，信道和調(diào)制解調(diào)器等。其中一些部份可看作是線性系統(tǒng)。例如，信道，放大器，濾波器等。本節(jié)研究確定信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)。并限于研究具有一個(gè)輸入端和一個(gè)輸出端的系統(tǒng)。 x(t)→L→ y(t)一個(gè)輸入信號(hào)x(t)，對(duì)應(yīng)有一個(gè)確定的輸出信號(hào)y(t).將x(t)變換為y(t)的運(yùn)算，數(shù)學(xué)上稱為算子，以L表示。則可表示為： y(t)=L[x(t)] ()令：y1(t)=L[x1(t)] i=1,2,3…..若系統(tǒng)算子滿足以下關(guān)系：其中：ci為任意常數(shù)， i=1,2,3…..則稱此算子為線性算子，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，式（）稱為疊加原理。其表述為：系統(tǒng)輸入線性和的響應(yīng)等于響應(yīng)的線性和。 如前所述，任意信號(hào)x(t)可以表示為：對(duì)于線性算子，有：令：L[δ（tτ）]=h(t0τ), 稱作系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，得到： （）若系統(tǒng)滿足L[δ（tτ）]=h(tτ)， τ則稱系統(tǒng)為時(shí)不變線性系統(tǒng)或稱恒參線性系統(tǒng)。本節(jié)僅研究時(shí)不變（恒參）線性系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為： h(t)=L[δ(t)] ()由此對(duì)于恒參線性系統(tǒng)有： ()或?qū)憺椋簓(t)=x(t)Vh(t) ()式()是恒參線性系統(tǒng)時(shí)域的重要關(guān)系式，它通過(guò)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)將系統(tǒng)的輸入和輸出聯(lián)系起來(lái)。 通過(guò)時(shí)域卷積定理，可將輸入與輸出在頻域的關(guān)系表示出。令：據(jù)式（）有：由此得：y(ω)=x(ω)H(ω) ()式（）是系統(tǒng)輸入輸出的頻域關(guān)系式。即輸出的頻譜密度等于輸入的頻譜密度乘以H（ω）。H（ω）是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的付立葉變換，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，一般它是ω的復(fù)函數(shù)，可表示為： （）稱作系統(tǒng)的幅度頻率特性，簡(jiǎn)稱幅頻特性；φ（ω）稱作相位 頻率特性，簡(jiǎn)稱相頻特性。它們反映正弦信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)后幅度和相位的變化與頻率的關(guān)系。 信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)會(huì)引起變化。從傳送信息的角度考慮，重要的是信號(hào)波形的變化。我們認(rèn)為信號(hào)波形大小和時(shí)延的變化不影響信號(hào)所帶的信息，因此我們定義通過(guò)線性系統(tǒng)信號(hào)不失真的條件為：y(t)=kx(tτ) （）