含參變量積分word版(編輯修改稿)
2025-09-17 19:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )，對(duì)()式右邊求導(dǎo)得，故有.所以 （c為常數(shù)）.當(dāng)時(shí)，有，而，所以，則．綜上，當(dāng)時(shí)，有.（三）、證明不等式關(guān)于含積分的不等式的證明，方法較多，如微分法，利用被積函數(shù)的不等式法等。若所含積分為含參變量積分，則在微分法中必然會(huì)用到含參變量積分的相關(guān)性質(zhì)及定理。例6 證明若，在上連續(xù)，則當(dāng)時(shí)，有．證明：要證，即證.令，由于，故只要證明在內(nèi)即可。 ．由于，則有，從而．所以，從而，因此．（四）、求極限在求極限過(guò)程中，若極限表達(dá)式中含有含參變量積分，以前討論的各種方法原則上都適用，所不同的是這里需要充分運(yùn)用含參變量積分的各種性質(zhì)及定理。例7 求極限.分析：可化為分?jǐn)?shù)形式，而對(duì)于極限，利用洛必達(dá)法則逐步求之即可。解： ．由此可見(jiàn)，對(duì)于求分?jǐn)?shù)形式的含參變量積分的極限這一類型的題目，在不能直接求出極限或直接約分的情況下，我們可以考慮洛必達(dá)法則，利用含參變量積分的性質(zhì)及定理，對(duì)分?jǐn)?shù)中的分子分母進(jìn)行求導(dǎo)。例8 求極限．分析：在上連續(xù)，且關(guān)于在上一致收斂，滿足連續(xù)性定理的條件。解：由于二元函數(shù)在上連續(xù)(為任意的實(shí)數(shù))，．對(duì)有．所以，從而．（五）、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)于方程(或)所確定的隱函數(shù)，若(或，)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則隱函數(shù)也有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。并且它的導(dǎo)數(shù)可按如下方法求出：將方程中的看成是由方程所確定的隱函數(shù)，從而原方程成為恒等式，在等式兩端同時(shí)求導(dǎo)，便可求得隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的線性方程，解之即可求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例9 是由方程所確定的隱函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)．解：對(duì)上述方程兩端求導(dǎo)得．，即．所以．又由題知，所以，則，所以．三、含參量反常積分的性質(zhì)（一）、含參量反常積分的局部一致收斂與連續(xù)性局部一致收斂概念設(shè)函數(shù)定義在平面點(diǎn)集 上，考慮積分 （） 設(shè)積分（）在實(shí)數(shù)集上收斂于函數(shù),若對(duì)任給的正數(shù), 任一實(shí)數(shù)及上任一點(diǎn), 總存在正數(shù)及實(shí)數(shù), 使得對(duì)一切, 都有則稱積分（）在數(shù)集上局部一致收斂于, 也稱局部一致收斂。連續(xù)的等價(jià)條件下面證明積分(1)在區(qū)間上連續(xù)與在區(qū)間上局部一致收斂的等價(jià)性。 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 上連續(xù), 且積分()在區(qū)間上收斂于函數(shù), 則在上連續(xù)的充要條件是: 積分()在上局部一致收斂于.證明：(必要性) 對(duì)任給的正數(shù)及上任一點(diǎn),由于在連續(xù), 因此, 存在正數(shù), 使得當(dāng)時(shí)，有 （）因?yàn)?，故?duì)所給的，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有 （）于是，對(duì)任一實(shí)數(shù)，取，則由（）式亦有 （）又因?yàn)樵谶B續(xù)，所以對(duì)所給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有 （）取，則當(dāng)時(shí)，由（）、（）及（）式，有所以，積分（）在上局部一致收斂與.(充分性)設(shè)為上任一點(diǎn), 對(duì)任給的正數(shù),由于所以存在實(shí)數(shù), 使得當(dāng)時(shí)，有（）式成立，因?yàn)榉e分（）在上局部一致收斂于, 故對(duì)所給的及上述的，存在正數(shù)及, 使得對(duì)一切, 有 （）又因在連續(xù)，故存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有（）式成立，取，則當(dāng)時(shí)，由（）、（）及（）式，有所以在連續(xù)，由的任意性，在上連續(xù)。幾種收斂性的關(guān)系局部一致收斂和我們熟知的收斂或一致收斂概念既有聯(lián)系又有區(qū)別，顯然, 若積分（）在實(shí)數(shù)集上局部一致收斂于, 則必收斂于, 反之不成立。例10 積分在區(qū)間上收斂于函數(shù) （）且在區(qū)域上連續(xù)，但由于在上處不連續(xù)，積分（）在上非局部一致收斂。由一致收斂的定義易知, 若積分在實(shí)數(shù)集上一致收斂于, 則必
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