含參變量積分word版(編輯修改稿)
2024-09-17 19:06 本頁面
【文章內容簡介】 )，對()式右邊求導得，故有.所以 （c為常數）.當時，有，而，所以，則．綜上，當時，有.（三）、證明不等式關于含積分的不等式的證明，方法較多，如微分法，利用被積函數的不等式法等。若所含積分為含參變量積分，則在微分法中必然會用到含參變量積分的相關性質及定理。例6 證明若，在上連續(xù)，則當時，有．證明：要證，即證.令，由于，故只要證明在內即可。 ．由于，則有，從而．所以，從而，因此．（四）、求極限在求極限過程中，若極限表達式中含有含參變量積分，以前討論的各種方法原則上都適用，所不同的是這里需要充分運用含參變量積分的各種性質及定理。例7 求極限.分析：可化為分數形式，而對于極限，利用洛必達法則逐步求之即可。解： ．由此可見，對于求分數形式的含參變量積分的極限這一類型的題目，在不能直接求出極限或直接約分的情況下，我們可以考慮洛必達法則，利用含參變量積分的性質及定理，對分數中的分子分母進行求導。例8 求極限．分析：在上連續(xù)，且關于在上一致收斂，滿足連續(xù)性定理的條件。解：由于二元函數在上連續(xù)(為任意的實數)，．對有．所以，從而．（五）、求隱函數的導數對于方程(或)所確定的隱函數，若(或，)有連續(xù)的導數，則隱函數也有連續(xù)的導數。并且它的導數可按如下方法求出：將方程中的看成是由方程所確定的隱函數，從而原方程成為恒等式，在等式兩端同時求導，便可求得隱函數導數的線性方程，解之即可求出隱函數的導數。例9 是由方程所確定的隱函數，求其導數．解：對上述方程兩端求導得．，即．所以．又由題知，所以，則，所以．三、含參量反常積分的性質（一）、含參量反常積分的局部一致收斂與連續(xù)性局部一致收斂概念設函數定義在平面點集 上，考慮積分 （） 設積分（）在實數集上收斂于函數,若對任給的正數, 任一實數及上任一點, 總存在正數及實數, 使得對一切, 都有則稱積分（）在數集上局部一致收斂于, 也稱局部一致收斂。連續(xù)的等價條件下面證明積分(1)在區(qū)間上連續(xù)與在區(qū)間上局部一致收斂的等價性。 設函數在區(qū)域 上連續(xù), 且積分()在區(qū)間上收斂于函數, 則在上連續(xù)的充要條件是: 積分()在上局部一致收斂于.證明：(必要性) 對任給的正數及上任一點,由于在連續(xù), 因此, 存在正數, 使得當時，有 （）因為，故對所給的，存在實數，使得當時，有 （）于是，對任一實數，取，則由（）式亦有 （）又因為在連續(xù)，所以對所給的，存在正數，使得當時，有 （）取，則當時，由（）、（）及（）式，有所以，積分（）在上局部一致收斂與.(充分性)設為上任一點, 對任給的正數,由于所以存在實數, 使得當時，有（）式成立，因為積分（）在上局部一致收斂于, 故對所給的及上述的，存在正數及, 使得對一切, 有 （）又因在連續(xù)，故存在正數，使得當時，有（）式成立，取，則當時，由（）、（）及（）式，有所以在連續(xù)，由的任意性，在上連續(xù)。幾種收斂性的關系局部一致收斂和我們熟知的收斂或一致收斂概念既有聯系又有區(qū)別，顯然, 若積分（）在實數集上局部一致收斂于, 則必收斂于, 反之不成立。例10 積分在區(qū)間上收斂于函數 （）且在區(qū)域上連續(xù)，但由于在上處不連續(xù)，積分（）在上非局部一致收斂。由一致收斂的定義易知, 若積分在實數集上一致收斂于, 則必
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