高二數(shù)學(xué)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(編輯修改稿)
2024-12-18 19:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 [ 答案 ] (1) 177。6 ＋ 2 33； (2)13 － 16 27； (3) －15； (4)5 － 23. [ 例 3] 已知 sin α － c os α ＝－55， 180176。 α 270176。 ，求 tan α的值． ? [分析 ] sinα與 cosα滿足平方關(guān)系，故可通過解方程組求解． [ 解析 ] 由????? sin α － c os α ＝－55 ( 1 )sin2α ＋ c os2α ＝ 1 ( 2 ) 消去 sin α 得， 5c os2α － 5 c os α － 2 ＝ 0 ， 解得 c os α ＝2 55或 c os α ＝－55. ∵ 180176。 α 270176。 ， ∴ c os α 0 ， ∴ c os α ＝－55， 代入 (1) 中得， sin α ＝－2 55. ∴ tan α ＝sin αc os α＝ 2. (1) 已知 sin x － c os x ＝15(0 ≤ x π ) ，則 tan x ＝ ( ) A ．－34 B ．－43 C.34 D.43 (2) 已知 sin θ ＋ c os θ ＝15， θ ∈ (0 ， π) ，則 sin θ － c os θ ＝________. [ 答案 ] ( 1) D ( 2)75 [ 解析 ] ( 1) ∵ 0 ≤ x π ， sin x － c os x ＝15， ∴ 0 x π2， ∴ tan x 0 ，排除 A 、 B ， ∵ sin x － c os x ＝150 ， ∴ sin x c os x 0 ， ∴ tan x 1 ，排除 C ，故選 D. ( 2) 將 sin θ ＋ c os θ ＝15兩邊平方得， sin θ c os θ ＝－12250 ， ∵ 0 θ π ， ∴ sin θ 0 ， c os θ 0 ， ∴ sin θ － c os θ 0 ， ∴ sin θ － c os θ ＝ ( sin θ － c os θ )2＝ 1 － 2sin θ c os θ ＝75. ? [例 4] 求證： 2(1－ sinα)(1＋ cosα)＝ (1－sinα＋ cosα)2. ? [證明 ] 法 1：左邊＝ 2－ 2sinα＋ 2cosα－2sinαcosα ? ＝ 1 ＋ sin2α ＋ cos2α － 2sinα ＋ 2cosα －2sinαcosα ? ＝ (1－ sinα＋ cosα)2＝右邊 ． ? 法 2：右邊＝ 1＋ sin2α＋ cos2α－ 2sinα＋2cosα－ 2sinαcosα＝ 2(1 － sinα＋ cosα－sinαcosα) ? ＝ 2(1－ sinα)(1＋ cosα)＝左邊 ． ? 法 3：右邊－左邊＝ (1－ sinα)2＋ cos2α＋2cosα(1－ sinα)－ 2(1－ sinα)(1＋ cosα) ? ＝ (1－ sinα)2＋ (1－ sin2α)－ 2(1－ sinα) ? ＝ (1－ sinα)(1－ sinα＋ 1＋ sinα－ 2)＝ 0. ? [點評 ] 證明三角恒等式的基本思路是：觀察等式，發(fā)現(xiàn)差異 (角的差別、名稱的差別、表達式結(jié)構(gòu)特征的差別 )，尋求聯(lián)系(平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、平方差、完全平方式等結(jié)構(gòu)關(guān)系 )，聯(lián)想已知，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化． ? 證明三角恒等式的基本原則：由繁到簡 ． ? 常用方法：從左向右證；從右向左證；左 、右歸一 ． ? 常用技巧：切化弦 、 整體代換 、 1的代換 、方程思想 ． ? 求證： ? (1)sin4α－ cos4α＝ 2sin2α－ 1； ? (2)tan2α－ sin2α＝ tan2αsin2α. ? [證明 ] (1)原式左邊＝ (sin2α＋ cos2α)(sin2α－ cos2α)＝ sin2α－ cos2α＝ sin2α－ (1－ sin2α)＝ 2sin2α－ 1＝右邊 ． ∴ 原式成立 ． ? (2) 右 邊 ＝ tan2α(1 － cos2α) ＝ tan2α －tan2αcos2α＝ tan2α－ sin2α＝左邊 ， ∴ 原式成立 ． [ 例 5] 化簡 1 － 2sinα2c osα2＋ 1 ＋ 2sinα2c osα2(0 α π2) ． [ 解析 ] 原式 ＝ ( c osα
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