高二數(shù)學同角三角函數(shù)的基本關(guān)系-全文預覽
【正文】 s ( 360176。sin25 0176。 ，求 tan α的值． ? [分析 ] sinα與 cosα滿足平方關(guān)系，故可通過解方程組求解． [ 解析 ] 由????? sin α － c os α ＝－55 ( 1 )sin2α ＋ c os2α ＝ 1 ( 2 ) 消去 sin α 得， 5c os2α － 5 c os α － 2 ＝ 0 ， 解得 c os α ＝2 55或 c os α ＝－55. ∵ 180176。 c os α ＋ c os2αsin2α ＋ c os2α ＝2ta n2α － 3ta n α ＋ 11 ＋ tan2α＝2 32－ 3 3 ＋ 11 ＋ 32＝ 1. 解法三： ∵ tan α ＝ 3 ， ∴ sin α ＝ 3c os α 代入 sin2α ＋ c os2α ＝ 1中得 c os2α ＝110， ∴ sin2α － 3sin α 724 [ 例 2] 已知 tan α ＝ 3. (1) 求 sin α 和 c os α 的值． (2) 求3sin α － c os α2c os α ＋ sin α的值． (3) 求 sin2α － 3sin α c os α ＋ 1 的值． ? [分析 ] tanα＝ 3， 即 sinα＝ 3cosα， 結(jié)合sin2α＋ cos2α＝ 1， 解方程組可求出 sinα和cosα；對于 (2)， 注意到分子分母都是 sinα與 cosα的一次式 ， 可分子分母同除以 cosα化為 tanα的表達式；對于 (3)， 如果把分母視作 1， 進行 1的代換 ， 1＝ sin2α＋ cos2α然后運用 (2)的方法 ， 分子分母同除以 cos2α可化為 tanα的表達式 ， 也可以將 sinα＝ 3cosα代入 sin2α＋ cos2α＝ 1中求出 cos2α， 把待求式消去 sinα， 也化為 cos2α的表達式求解 ． [ 解析 ] (1) tan α ＝ 3 ＝sin αc os α0 ， ∴ α 是第一或第三象限角． 當 α 是第一象限角時，結(jié)合 sin2α ＋ c os2α ＝ 1 ，有 ??????? sin α ＝3 1010c os α ＝1010. 當 α 是第三象限角時，結(jié)合 sin2α ＋ c os2α ＝ 1 ，有 ??????? sin α ＝－3 1010c os α ＝－1010. (2) 解法一：由 (1) 當 α 為第一象限角時， 3sin α － c os α2c os α ＋ sin α＝3 3 1010－10102 1010＋3 1010＝85， 當 α 為第三象限角時，同理可得原式＝85. 解法二： ∵ tan α ＝ 3 ， ∴3sin α － c os α2c os α ＋ sin α＝3 tan α － 12 ＋ tan α＝85. ( 3) 解法一：將 ( 1) 的結(jié)果代入得 sin2α － 3sin α ? 1． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ? sin2α＋ cos2α＝ ， ＝ . ? 2． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應用 ? (1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式主要用于： ? ① 已知某角的一個三角函數(shù)值 ， 求它的其余各三角函數(shù)值； ? ② 化簡三角函數(shù)式； ? ③ 證明三角恒等式 ． 1 tanα (2) 已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時，要注意角所在的象限 ．這主要是因為在使用 c os α＝ 177。 c os α 等． ? 3． 應用平方關(guān)系時 ， 要特別注意符號的討論 ． ? 4． 由于平方關(guān)系常常要進行數(shù)值的開方運算 ， 熟記常見的勾股數(shù)組應用起來很方便 ， 常用的有： 3,4,5； 5,12,13； 7,24,25；8,15,17等 ， 它們的 k倍 (k≠0)也都是 ， 如6,8,10； 15,36,39?? . 5 ．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 sin2α ＋ c os2α ＝ 1 ，及sin αc os α＝tan α 可根據(jù)單位圓中的三角函數(shù)線和三角函數(shù)的定義推出． 如圖，角 α 的終邊與單位圓交點為 P ( x ， y ) ，又 x ＝ OM＝ c os α ， y ＝ MP ＝ si
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